牛吃草問題趣談教師講義

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上牛吃草問題趣談牛吃草問題是經典的奧數(shù)題型之一，這里我只介紹一些比較淺顯的牛吃草問題，給大家開拓一下思維，首先，先介紹一下這類問題的背景，大家看知識要點知識要點一、定義偉大的科學家牛頓著的普通算術一書中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草3格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少牛吃18周吃完?！保ǜ駹柲翀雒娣e單位），以后人們稱這類問題為“牛頓問題”的牛吃草問題。這類問題難在哪呢？大家看看它的特點二、特點在“牛吃草”問題中，因為草每天都在生長，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。難嗎？難什么啊，一點都不難，只要掌握

2、了方法，以后這樣的題就都會了，來，看看這例題典例評析例1 牧場上長滿牧草，每天都勻速生長。這片牧場可供27頭牛吃6天或23頭牛吃9天。問可供21頭牛吃幾天？【分析】這片牧場上的牧草的數(shù)量每天在變化。解題的關鍵應找到不變量即原來的牧草數(shù)量。因為總草量可以分成兩部分：原有的草與新長出的草。新長出的草雖然在變，但應注意到它是勻速生長的，因而這片牧場每天新長出飛草的數(shù)量也是不變的。從這道題我們看到，草每天在長，牛每天在吃，都是在變化的，但是也有不變的，都是什么不變??？草是以勻速生長的，也就是說每天長的草是不變的;，同樣，每天牛吃草的量也是不變的，對吧？這就是我們解題的關鍵。這里因為未知數(shù)很多，我教大家

3、一種巧妙的設未知數(shù)的方法，叫做設“1”法。我們設牛每天吃草的數(shù)量為1份，具體1份是多少我們不知道，也不用管它，設草每天增長的數(shù)量是a份，設原來的草的數(shù)量為b份，那么我們可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a【思考1】一片草地，每天都勻速長出青草，如果可供24頭牛吃6天，或20頭牛吃10天，那么可供18頭牛吃幾天？15天設1頭牛1天吃的草為1份。則每天新生的草量是（20×10-24×6）÷(10-6)=14份，原來的草量是（24-14）×6=60份?？晒?8頭牛吃60÷（18-14）=15天例2 因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反

4、而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33頭牛吃5天，可供24頭牛吃6天，照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天?【分析】與例1不同的是，不但沒有新長出的草，而且原有的草還在勻速減少，但是，我們同樣可以用類似的方法求出每天減少的草量和原來的草的總量【思考2】由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以固定的速度在減少，經計算，牧場上的草可供20頭牛 吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？8天，設一頭牛一天吃的草量為一份。牧場每天減少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原來的草量：（20+4）× 5=120份，可供11頭牛吃12

5、0÷(11+4)=8天。總結：想辦法從變化中找到不變的量。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，但是因為是勻速生長，所以每天新長出的草量也是不變的。正確計算草地上原有的草及每天新長出的草，問題就會迎刃而解。知識衍變牛吃草基本問題就先介紹到這，希望大家掌握這種方法，以后出現(xiàn)樣吃草問題，驢吃草問題也知道怎么做，甚至，以下這些問題都可以應用牛吃草問題解決方法例3 自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25級臺階，小麗每分鐘走20級臺階，結果小明用了5分鐘，小麗用了6分鐘分別到達樓上。該扶梯共有多少級臺階？【分析】在這道題中，“總的草量”變成了“扶梯的

6、臺階總級數(shù)”，“草”變成了“臺階”，“?！弊兂闪恕八俣取?所以也可以看成是“牛吃草”問題來解答?！舅伎?】兩只蝸牛同時從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的，結果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達井底，另一只恰好用了6個晝夜到達井底。那么，井深多少米？大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？15米。蝸牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米所以井深：（20+10）×5=150分米=15米例4 一條船有一個漏洞，水以均勻的速度漏進

7、船內，待發(fā)現(xiàn)時船艙內已進了一些水。如果用12人舀水，3小時舀完。如果只有5個人舀水，要10小時才能舀完。現(xiàn)在要想在2小時舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”問題，找出“牛”和“草”是解題的關鍵【思考4】一個水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機10小時可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機多少小時可以把水抽干？5小時。設一臺抽水機一小時抽水一份。則每小時涌出的水量是：（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池內原有的水是：（10-5）×20=100份.所以,用25部抽水機需要:100÷(

8、25-5)=5小時思維拓展例5 有一牧場長滿牧草，牧草每天勻速生長，這個牧場可供17頭牛吃30天，可供19頭牛吃24天，現(xiàn)在有若干頭牛在吃草，6天后，4頭牛死亡，余下的牛吃了2天將草吃完，問原來有牛多少頭？【分析】“牛吃草”問題的特點是隨時間的增長，所研究的量也等量地增加。解答時，要抓住這個關鍵問題，也就是要求出原來的量和每天增加的量各是多少?！舅伎?】一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？25頭。設每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（23×9-27

9、15;6）÷（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）×6=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天內吃草量72+15×8+2×4=200份。所以這群牛原來有200÷8=25頭例6 有三塊草地，面積分別為5公頃，6公頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長的一樣快，第一塊草地可供11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。第三塊草地可供19頭牛吃多少天？【分析】由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個問題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來。鞏固練習1.一塊牧場長滿了草，每天均勻生長。這塊牧場的草可供10頭牛吃40天，供

10、15頭牛吃20天?？晒?5頭牛吃天。 （ ）A. 10 B. 5 C. 20A 假設1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10×40-40×5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長出來的草，這塊牧場可供25頭牛吃：200÷（25-5）=10（天）。2.一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時間，把這塊草地的草吃光，需要只羊。 （ ）A. 22 B. 23 C. 24B假設1

11、只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：20×5-8×560（份）安排8只羊專門吃每天新長出來的草，4天時間吃光這塊草地共需羊：60÷4+823（只）3畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場。從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，9點9分就不再有人排隊了，那么第一個觀眾到達的時間是8點分。 （ ）A. 10 B. 12 C. 15C假設每個人口每分鐘進入的觀眾量是1份。每分鐘來的觀眾人數(shù)為（3×9-5×5）÷（9-5）=0

12、.5（份）到9時止，已來的觀眾人數(shù)為：3×9-0.5×922.5（份）第一個觀眾來到時比9時提前了：22.5÷0.545（分）所以第一個觀眾到達的時間是9時-45分=8時15分。4. 經測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或 可供80億人生活300年。假設地球新生成的資源增長速度是一樣的。那么，為了滿足人類不斷發(fā)展的要求，地球最多只能養(yǎng)活（ ）億人。70 設1億人1年所消耗的資源為1份那么地球上每年新生成的資源量為：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）只有當?shù)厍蛎磕晷律Y源不少于消耗點的資源時，地

13、球上的資源才不至于逐漸減少，才能滿足人類不斷發(fā)展的需要。所以地球最多只能養(yǎng)活：70÷1=70（億人）5. 快、中、慢三車同時從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24千米、20千米、19千米。快車追上自行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用（ ）小時。12 自行車的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小時）三車出發(fā)時自行車距A地：（24-14）×6=60（千米）慢車追上自行車所用的時間為：60÷（19-14）=12（小時）6. 一水池中原有一些水，裝有一根進水管，若干

14、根抽水管。進水管不斷進水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ ）小時可將可將水池中的水抽干。18 設1根抽水管每小時抽水量為1份。（1）進水管每小時卸貨量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）（2）水池中原有的水量為：21×8-12×872（份）（3）16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小時）7. 某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運完。如果開始只用3輛汽車，10小時

15、后增加若干輛，再過4小時也能運完，那么后來增加的汽車是（ ）輛。19 設每兩汽車每小時運的貨物為1份。（1）進水管每小時的進水量為：（8×16-9×12）÷（16-12）=5（份）（2）碼頭原有貨物量是：9×12-12×548（份）（3）3輛汽車運10小時后還有貨物量是：48+（5-3）×10=68（份）（4）后來增加的汽車輛數(shù)是：（68+4×5）÷4-3=19（輛）8有一片草地，每天都在勻速生長，這片草可供16頭牛吃20天，可供80只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可

16、以吃多少天？8天 （1）按牛的吃草量來計算，80只羊相當于80÷4=20（頭）牛。（2）設1頭牛1天的吃草量為1份。（3）先求出這片草地每天新生長的草量：（16×20-20×12）÷（20-12）=10（份）（4）再求出草地上原有的草量：16×20-10×20120（份）（5）最后求出10頭牛與60只羊一起吃的天數(shù)：120÷（10+60÷4-10）=8（天）9. 某水庫建有10個泄洪閘，現(xiàn)在水庫的水位已經超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設每個閘門泄洪的速度相同，經測算，若打開一個泄洪閘，30小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘，10小時水位降到安全線?，F(xiàn)在抗洪指揮部要求在5.5小時內使水位降到安全線，問：至少要同時打開幾個閘門？4個 設1個泄洪閘1小時的泄水量為1份。（1）水庫中每小時增加的上游河水量：（1×30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（2）水庫中原有的超過安全線的水量為：1×30-0.5×3015（份）（3）在5.5小時內共要泄出的水量是：15+0.5×5.517.75（份）（4）至少要開的閘門個數(shù)為：17