版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領(lǐng)
文檔簡介
1、高中數(shù)學(xué)必修3第一章算法初步算法知識結(jié)構(gòu):算法知識結(jié)構(gòu):基本概念基本概念算法算法基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)表示方法表示方法自然語言自然語言基本算法語句基本算法語句順序結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)條件結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損數(shù)輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損數(shù)秦九韶算法秦九韶算法進位制進位制賦值語句賦值語句條件語句條件語句循環(huán)語句循環(huán)語句輸入、輸出語句輸入、輸出語句算法的定義:算法的定義: 通常指可以用計算機來解決的某一類通常指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟,這些程序或步驟必問題的程序或步驟,這些程序或步驟必須是明確和有效的,而且能夠在有限步須是明確和有效的,而且能夠在有限步之內(nèi)完成。之內(nèi)完成。算
2、法最重要的特征:算法最重要的特征:1.有序性有序性 2.確定性確定性 3.有限性有限性算法的基本特點1、有限性一個算法應(yīng)包括有限的操作步驟,能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束。2、確定性算法的計算規(guī)則及相應(yīng)的計算步驟必須是唯一確定的,既不能含糊其詞,也不能有二義性。3、有序性算法中的每一個步驟都是有順序的,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步后,才能執(zhí)行后一步,有著很強邏輯性的步驟序列。 用程序框、流程線及文字說明來表示算用程序框、流程線及文字說明來表示算法的圖形稱為程序框圖,它使算法步驟顯得法的圖形稱為程序框圖,它使算法步驟顯得直觀、清晰、簡明直觀、清晰、簡明. .終端框終端框 (起止框起止框
3、) 輸入、輸入、輸出框輸出框 處理框處理框 (執(zhí)行框執(zhí)行框) 判斷框判斷框 流程線流程線 連接點連接點 二、程序框圖二、程序框圖程序框圖又稱流程圖,是一種用規(guī)定的圖形,指向線及程序框圖又稱流程圖,是一種用規(guī)定的圖形,指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。程序框名稱功能終端框(起止框)表示一個算法的起始和結(jié)束輸入、輸出框表示算法的輸入和輸出的信息處理框(執(zhí)行框)賦值、計算判斷框判斷一個條件是否成立,用“是”、“否”或“Y”、“N”標明二、程序框圖二、程序框圖l1、順序結(jié)構(gòu)l 2、條件結(jié)構(gòu)l 3、循環(huán)結(jié)構(gòu)步驟步驟n步驟步驟n+1滿足條件?滿足條件?步驟
4、步驟A步驟步驟B是是否否滿足條件?滿足條件?步驟步驟A是是否否循環(huán)體循環(huán)體滿足條件滿足條件?否否是是循環(huán)體循環(huán)體滿足條件滿足條件?是是否否先做后判,先做后判,否去循環(huán)否去循環(huán)先判后做,先判后做,是去循環(huán)是去循環(huán)二、程序框圖二、程序框圖l1、順序結(jié)構(gòu)設(shè)計一算法,求和1+2+3+ +100,并畫出程序框圖。算法:算法:第一步:取第一步:取n=100;第二步:計算第二步:計算 ;(1 )2nn 第三步:輸出結(jié)果。第三步:輸出結(jié)果。開始開始結(jié)束結(jié)束輸入輸入n=100s=(n+1)n/2輸出輸出s二、程序框圖二、程序框圖l2、條件結(jié)構(gòu)算法:算法:第一步:輸入第一步:輸入x;第二步:如果第二步:如果x0;
5、則輸出則輸出x;否則輸出;否則輸出x。設(shè)計一個算法,求數(shù)x的絕對值,并畫出程序框圖。YN結(jié)束x0輸入x開始輸出x輸出-x算法分析:實數(shù)算法分析:實數(shù)X的絕對值的絕對值(0)(0)xxxxx二、程序框圖二、程序框圖l3、循環(huán)結(jié)構(gòu)AP是是否否否否 是是AP(A)AP否否是是(C)是是 否否AP(B)(D)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)對應(yīng)的程序框圖是 當型循環(huán)結(jié)構(gòu)對應(yīng)的程序框圖是 直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 當型循環(huán)結(jié)構(gòu)當型循環(huán)結(jié)構(gòu) AD 設(shè)計一個計算1+2+3+100的值的算法,并畫出程序框圖。算法:算法:第一步:令第一步:令i=1,s=0;第二步:第二步:s=s+i第三步:第三步:i=i+1;第四步:第四步
6、: 直到直到i100時時,輸出輸出S,結(jié)束算法,否則返回第二步。結(jié)束算法,否則返回第二步。程序框圖如下:程序框圖如下:i100?i=1開始輸出s結(jié)束否是s=0i=i+1s=s+i否否 是是循環(huán)體循環(huán)體條件條件循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu) 設(shè)計一個計算設(shè)計一個計算1+2+3+100的值的算法,并畫出程序框圖。的值的算法,并畫出程序框圖。算法:算法:第一步:令第一步:令i=1,s=0;第二步:若第二步:若i=100成立,則執(zhí)行第三步;否則,輸出成立,則執(zhí)行第三步;否則,輸出s,結(jié)束算法;,結(jié)束算法;第三步:第三步:s=s+i;第四步:第四步:i=i+1,返回第二步。返回第二步。i=
7、0 THEN PRINT XELSE PRINT -XEND IF程序程序:INPUT XEND條件語句:條件語句:練:設(shè)計一算法練:設(shè)計一算法,求和求和1+2+3+ +100。循環(huán)體循環(huán)體條件條件是是否否1i 0S 1i i S S i 100?i 是是否否1i 0S 1ii SSi 100?i 直到型循環(huán)語句否否是是否否 是是循環(huán)體循環(huán)體條件條件一、輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得算法)一、輾轉(zhuǎn)相除法(歐幾里得算法)1、定義:、定義: 所謂輾轉(zhuǎn)相除法,就是對于給定的兩個所謂輾轉(zhuǎn)相除法,就是對于給定的兩個數(shù),用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為數(shù),用較大的數(shù)除以較小的數(shù)。若余數(shù)不為零,則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)
8、成新的一對數(shù),零,則將余數(shù)和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù),繼續(xù)上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則繼續(xù)上面的除法,直到大數(shù)被小數(shù)除盡,則這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。這時較小的數(shù)就是原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。(1)(1)、算法步驟:、算法步驟:第一步:輸入兩個正整數(shù)第一步:輸入兩個正整數(shù) m,n(mn).第二步:計算第二步:計算m除以除以n所得的余所得的余 數(shù)數(shù)r.第三步:第三步:m=n,n=r.第四步:若第四步:若r0,則則m,n的最大的最大 公約數(shù)等于公約數(shù)等于m;否則;否則 轉(zhuǎn)到第二步轉(zhuǎn)到第二步. 第五步:輸出最大公約數(shù)第五步:輸出最大公約數(shù)m.以求以求8251和和6105的最大公約數(shù)的
9、過程為例的最大公約數(shù)的過程為例步驟:步驟:8251=61051+2146 6105=21462+1813 2146=18131+3331813=3335+148333=1482+37148=374+0顯然顯然37是是148和和37的最大公約數(shù),的最大公約數(shù),也就是也就是8251和和6105的最大公約的最大公約數(shù)數(shù) 更相減損術(shù)更相減損術(shù) 可半者半之,不可半者,副置分母、子之數(shù),以少減多,可半者半之,不可半者,副置分母、子之數(shù),以少減多,更相減損,求其等也,以等數(shù)約之。更相減損,求其等也,以等數(shù)約之。第一步:任意給定兩個正整數(shù);判斷他們是否都是偶數(shù)。若第一步:任意給定兩個正整數(shù);判斷他們是否都是偶
10、數(shù)。若是,則用是,則用2約簡;若不是則執(zhí)行第二步。約簡;若不是則執(zhí)行第二步。第二步:以較大的數(shù)減較小的數(shù),接著把所得的差與較小的第二步:以較大的數(shù)減較小的數(shù),接著把所得的差與較小的數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作,直到所得的減數(shù)數(shù)比較,并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作,直到所得的減數(shù)和差相等為止,則這個等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。和差相等為止,則這個等數(shù)就是所求的最大公約數(shù)。(1)、九章算術(shù)中的更相減損術(shù):1、背景介紹:(2)、現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的更相減損術(shù):2、定義:、定義: 所謂更相減損術(shù),就是對于給定的兩個所謂更相減損術(shù),就是對于給定的兩個數(shù),用較大的數(shù)減去較小的數(shù),然后將差和數(shù),用較大的數(shù)減去較
11、小的數(shù),然后將差和較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù),再用較大的數(shù)減較小的數(shù)構(gòu)成新的一對數(shù),再用較大的數(shù)減去較小的數(shù),反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較去較小的數(shù),反復(fù)執(zhí)行此步驟直到差數(shù)和較小的數(shù)相等,此時相等的兩數(shù)便為原來兩個小的數(shù)相等,此時相等的兩數(shù)便為原來兩個數(shù)的最大公約數(shù)。數(shù)的最大公約數(shù)。例例: : 用更相減損術(shù)求用更相減損術(shù)求9898與與6363的最大公約數(shù)的最大公約數(shù). .解:由于解:由于6363不是偶數(shù),把不是偶數(shù),把9898和和6363以大數(shù)減小數(shù),以大數(shù)減小數(shù),并輾轉(zhuǎn)相減并輾轉(zhuǎn)相減 989863633535636335352828353528287 728287 7212121217 72121
12、14147 77 7所以,所以,9898和和6363的最大公約數(shù)等于的最大公約數(shù)等于7 7 3、方法:比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別比較輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別(1 1)都是求最大公約數(shù)的方法,計算上輾轉(zhuǎn)相除)都是求最大公約數(shù)的方法,計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主,更相減損術(shù)以減法為主,計算次數(shù)法以除法為主,更相減損術(shù)以減法為主,計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少,特別當兩個數(shù)字上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少,特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。(2 2)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看,輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果)從結(jié)果體現(xiàn)形式來看,輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余
13、數(shù)為是以相除余數(shù)為0 0則得到,而更相減損術(shù)則以減數(shù)與則得到,而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相等而得到。差相等而得到。1、用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)、用更相減損術(shù)求兩個正數(shù)84與與72的最大公約數(shù)的最大公約數(shù) 練習(xí):練習(xí):思路分析:先約簡,再求思路分析:先約簡,再求21與與18的最大公約數(shù)的最大公約數(shù),然后乘以兩次約簡的質(zhì)因數(shù)然后乘以兩次約簡的質(zhì)因數(shù)4。2、求、求324、243、135這三個數(shù)的最大公約數(shù)。這三個數(shù)的最大公約數(shù)。思路分析:求三個數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個思路分析:求三個數(shù)的最大公約數(shù)可以先求出兩個數(shù)的最大公約數(shù),第三個數(shù)與前兩個數(shù)的最大公約數(shù)的最大公約數(shù),第三個數(shù)與前兩個數(shù)的最大公約數(shù)
14、的最大公約數(shù)即為所求。數(shù)的最大公約數(shù)即為所求。數(shù)書九章數(shù)書九章秦九韶算法秦九韶算法0111)(axaxaxaxfnnnn設(shè)設(shè))(xf是一個是一個n 次的多項式次的多項式對該多項式按下面的方式進行改寫:對該多項式按下面的方式進行改寫:0111)(axaxaxaxfnnnn01211)(axaxaxannnn012312)(axaxaxaxannnn0121)(axaxaxaxannn0121)()(axaxaxaxaxfnnn要求多項式的值,應(yīng)該先算最內(nèi)層的一次多項式的值,即要求多項式的值,應(yīng)該先算最內(nèi)層的一次多項式的值,即11nnaxav然后,由內(nèi)到外逐層計算一次多項式的值,即然后,由內(nèi)到外逐
15、層計算一次多項式的值,即212naxvv323naxvv01axvvnn這種將求一個這種將求一個n次多項式次多項式f(x)的值轉(zhuǎn)化成求的值轉(zhuǎn)化成求n個一個一次多項式的值的方法,稱為秦九韶算法。次多項式的值的方法,稱為秦九韶算法。 通過一次式的反復(fù)計算,逐步得出高次多通過一次式的反復(fù)計算,逐步得出高次多項式的值,對于一個項式的值,對于一個n次多項式,只需做次多項式,只需做n次乘次乘法和法和n次加法即可。次加法即可。秦九韶算法的特點:秦九韶算法的特點:),2 ,1(循環(huán)體:10nkaxvvavknkkn在在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟,可用循環(huán)結(jié)秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟,可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)。構(gòu)來實
16、現(xiàn)。例例:用秦九韶算法求多項式用秦九韶算法求多項式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當當x=5時的值時的值.解法一解法一:首先將原多項式改寫成如下形式首先將原多項式改寫成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以所以,當當x=5時時,多多項式的值是項式的值是2677.然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值,即即2 -5 -4 3 -6
17、 7x=5105252110510854053426702677所以所以,當當x=5時時,多項式的值是多項式的值是2677.原多項式原多項式的系數(shù)的系數(shù)多項式多項式的值的值.例例.用秦九韶算法求多項式用秦九韶算法求多項式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當當x=5時的值時的值.解法二解法二:列表列表2進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)。進位制是人們?yōu)榱擞嫈?shù)和運算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)。進位制是一種記數(shù)方式,用有限的進位制是一種記數(shù)方式,用有限的數(shù)字數(shù)字在不同的位在不同的位置表示不同的數(shù)值??墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基置表示不同的數(shù)值??墒褂脭?shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù),基數(shù)
18、為數(shù),基數(shù)為n n,即可稱,即可稱n n進位制,簡稱進位制,簡稱n n進制。進制。“滿幾進一”就是幾進制,幾進制的基數(shù)就是幾.基數(shù):基數(shù):二進制、七進制、八進制、十二進制、六十進制等二進制只有0和1兩個數(shù)字,七進制用06七個數(shù)字十六進制有09十個數(shù)字及ABCDEF六個字母. 式中式中1 1處在百位,第一個處在百位,第一個3 3所在十位,第二個所在十位,第二個3 3所在所在個位,個位,5 5和和9 9分別處在十分位和百分位。十進制數(shù)是逢分別處在十分位和百分位。十進制數(shù)是逢十進一的。十進一的。 我們最常用最熟悉的就是十進制數(shù),它的數(shù)值部分是十個不我們最常用最熟悉的就是十進制數(shù),它的數(shù)值部分是十個不
19、同的數(shù)字符號同的數(shù)字符號0 0,1 1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 9來表示的。來表示的。十進制:十進制:例如,它可用一個多項式來表示:例如,它可用一個多項式來表示:133.59=1133.59=1* *10102 2+3+3* *10101 1+3+3* *10100 0 +5+5* *1010-1-1+9+9* *1010-2-2 為了區(qū)分不同的進位制,常在數(shù)的右下角標明基數(shù),為了區(qū)分不同的進位制,常在數(shù)的右下角標明基數(shù),十進制一般不標注基數(shù)十進制一般不標注基數(shù). .例如十進制的,寫成例如十進制的,寫成(10)(10)七進制的七進制的1313,寫成,寫成13
20、13(7)(7);二進制的;二進制的1010,寫成,寫成1010(2) (2) 一般地,若一般地,若k是一個大于是一個大于1的整數(shù),那么以的整數(shù),那么以k為基數(shù)的為基數(shù)的k進制可以表示為一串數(shù)字連寫在一起進制可以表示為一串數(shù)字連寫在一起的形式:的形式:11 0( )110(0,0, , ,).n nknnaaaaakaa ak二進制與十進制的轉(zhuǎn)換二進制與十進制的轉(zhuǎn)換1 1、二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)、二進制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進制數(shù)例例1 1:將二進制數(shù):將二進制數(shù)110011110011(2)(2)化成十進制數(shù)?;墒M制數(shù)。解:解:根據(jù)進位制的定義可知根據(jù)進位制的定義可知012345)2(2121202
21、0212111001112116132151所以,所以,110011110011(2 2)=51=51110( )110110(10)nnknnnna aa aakakakak把其他進位制的數(shù)化為十進制數(shù)的公式是什么?把其他進位制的數(shù)化為十進制數(shù)的公式是什么?方法:除方法:除2取余法,即用取余法,即用2連續(xù)去除連續(xù)去除89或所得的商,然后取余數(shù)?;蛩玫纳?,然后取余數(shù)。例、例、 把把89化為二進制數(shù)化為二進制數(shù)解:解:根據(jù)根據(jù)“逢二進一逢二進一”的原則,有的原則,有892441 2 (2220)+1 2( 2( 2110)+0)+1 2 (2 (2 (2 51)+0)+0)+15 2 212(
22、2(2(2(221)1)0)0)189126025124123022021120所以:所以:89=1011001(2)2(2(2(2321)0)0)12(2(242220)0)12(2523+2200)12624+23002089244144 222022 211011 2 51 2 (2 (2 (2 (2 21)+1)+0)+0)+1所以所以892(2(2(2(2 2 1)1)0)0)1十進制轉(zhuǎn)換為二進制十進制轉(zhuǎn)換為二進制注意:注意:1. 1.最后一步商為最后一步商為0 0,2.2.將上式各步所得的余數(shù)從下到上排列,得到:將上式各步所得的余數(shù)從下到上排列,得到: 89=101100189=1
23、011001(2 2)另解(除另解(除2 2取余法的另一直觀寫法):取余法的另一直觀寫法):5 52 22 22 21 12 20 01 10 0余數(shù)余數(shù)11112222444489892 22 22 22 20 01 11 10 01 1練習(xí)練習(xí)將下面的十進制數(shù)化為二進制數(shù)?將下面的十進制數(shù)化為二進制數(shù)?(1 1)1010(2 2)2020例:把例:把8989化為五進制數(shù)?;癁槲暹M制數(shù)。解:解:根據(jù)除根據(jù)除k k取余法取余法以以5 5作為除數(shù),相應(yīng)的除法算式為:作為除數(shù),相應(yīng)的除法算式為:所以,所以,89=32489=324(5 5)89895 517175 53 35 50 04 42 23 3余數(shù)余數(shù)除除k取余法取余法:十進制數(shù)轉(zhuǎn)化為k進制數(shù)的方法 用用k連續(xù)去除該十進制數(shù)或所得的商,直連續(xù)去除該十進制數(shù)或所得的商,直到商為零為止,然后把每次所得的余數(shù)倒著到商為零為止,然后把每次所得的余數(shù)倒著排成一個數(shù),就是相應(yīng)的排成一個數(shù),就是相應(yīng)的k進制數(shù)。進制數(shù)。
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 二零二五年企業(yè)用車借用協(xié)議范本3篇
- 2025年度文化旅游融合項目投資借款協(xié)議
- 買賣合同第三方保證擔保合同(2024版)
- 二零二五年度旅行社旅游培訓(xùn)合作合同4篇
- 2025年度女方婚內(nèi)出軌離婚財產(chǎn)分割及贍養(yǎng)費協(xié)議
- 2025年度個人商鋪租賃合同能源消耗監(jiān)測與管理合同4篇
- 2025年度個人與企業(yè)間特殊用途車輛租賃合同3篇
- 二零二五年度農(nóng)民工勞動保護補貼發(fā)放合同標準
- 2024苗木運輸合同范本全面規(guī)范運輸過程中的風險防控3篇
- 二零二五年度加油站LED廣告屏安裝裝修合同3篇
- 北師大版小學(xué)三年級上冊數(shù)學(xué)第五單元《周長》測試卷(含答案)
- DB45T 1950-2019 對葉百部生產(chǎn)技術(shù)規(guī)程
- 資源枯竭型城市的轉(zhuǎn)型發(fā)展 課件 2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期地理人教版選擇性必修2
- 2025屆河北省衡水市衡水中學(xué)高考仿真模擬英語試卷含解析
- 新修訂《保密法》知識考試題及答案
- 電工基礎(chǔ)知識培訓(xùn)課程
- 住宅樓安全性檢測鑒定方案
- 廣東省潮州市潮安區(qū)2023-2024學(xué)年五年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題
- 市政道路及設(shè)施零星養(yǎng)護服務(wù)技術(shù)方案(技術(shù)標)
- 選擇性必修一 期末綜合測試(二)(解析版)2021-2022學(xué)年人教版(2019)高二數(shù)學(xué)選修一
- 《論語》學(xué)而篇-第一課件
評論
0/150
提交評論