空間向量及其運算

1、空間向量及其運算空間向量及其運算 高二備課組高二備課組一、復習1、平面向量的概念2、平面向量的加減和數(shù)乘運算 1空間向量的概念在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 注意：空間的平移就是一個向量。平移實際就是點 到點的一次變換，因此我們說空間任意兩個向 量是共面的向量一般用有向線段表示。同向等長的有向線段 表示同一或相等的向量。 空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示 2空間向量的運算結(jié)論：空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面 向量的運算一樣 （指向被減向量）=a+b，ABOAOBOAOBABOP)(Ra 運算律：加法交換律： 加法結(jié)合律： 數(shù)乘分配律： abba)()(cb

2、acbababa )(空間向量加法的運算律要注意以下幾點：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量即：首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量即：兩個向量相加的平行四邊形法則在空間仍然成立nnnAAAAAAAAAA11433221011433221AAAAAAAAAAnnn例已知平行六面體 （如圖），化簡下列向量表達式，并標出化簡結(jié)果的向量 DCBAABCD ；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADAB3.共線向量（平行向量）（1）概念：如果表示空間向量的有向線段所在的直線 互相平行或重合，則這些向量叫做共線向 量或平行向量 a

3、a平行于b,b,記作a ab b（2）共線向量定理：a aA AB BP PO Ol 對空間任意兩個向量a、b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使a=b。 推論：如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知向量a a的直線，那么對任一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式 a a 其中向量a叫做直線l的方向向量。 OPOAt OPOAt A B OP (1 ) t OA tOB 或式都叫做空間直線的向量參數(shù)方程空間直線的向量參數(shù)方程 （1）概念：已知平面與 向量，作 ，如果直線OA平行于平面或在內(nèi)，那么我們說向量 平行于平面，記作 。通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任

4、意兩個向量總是共面的； 空間任意三個向量不一定共面； 空間四邊形ABCD中 、 、 不共面。aOA4共面向量aOA a aaaAB AC AD（2）共面向量定理如果兩個向量 、 不共線，則向量 與向量 、共面的充要條件是，存在實數(shù)對x、y，使 =x +ypababpab推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使 =x +y或?qū)臻g任一點O，有 = +x +y 平面MAB內(nèi)，點P對應的實數(shù)對（x,y）是唯一的，式叫做平面MAB的向量表達式。MPMAMBOP O M MAMB例2、對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，試問滿足向量關系式 = =x +y +Z (+y +Z (其中其中x+y+z=1)的四點的四點P、A、B、C是否共面是否共面 OP O AOB OC例3、已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量 =k ， =k , =k , =k ,求證：四點E、F、G、H共面；OE O A OF OB O GOC OHOD平面EG平面AC。ABCDOEFHG小結(jié)：1、空間向量的概念 2、空間向量的運算 3 、共線向量（平行向量）的概念及空 間向量共線的充要條件 4、共面向量的概念及向量共面的充要 條件作業(yè) .2.如圖設A是BCD所在平面外的一點，G是BCD的重心。求證：P36 1