分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用

1、分塊矩陣的初等變換及應(yīng)用錢(qián)拓寬（紹興文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，浙江紹興 312000）摘要：矩陣的初等變換與初等矩陣是矩陣?yán)碚摰闹匾椒?在處理一些矩陣問(wèn)題有著重要的作用，將分塊矩陣的初等變換到分塊矩陣上， 使分塊矩陣也有類(lèi)似的初等變換和初等矩陣， 從而在處理分塊矩陣時(shí)起到事半功倍的效果.關(guān)于分塊矩陣和初等矩陣有不少文章有所涉及，但是他們都不夠全面本文做了一些總結(jié)性的工作.關(guān)鍵詞：分塊矩陣；初等變換；應(yīng)用1、分塊矩陣的初等變換與初等矩陣吳云在 1997 年 8 月的工科數(shù)學(xué)上的分塊矩陣的初等變換一文中提到定義 1 分塊矩陣的行（歹 U）初等變換是指：（1）交換兩行（歹 U）的位置；（2）第 1 行（歹

2、U）的各個(gè)元素分別左乘（右乘）該行（列）的一個(gè)h階（1階）左（右）保秩因子 H;（3）第 1 行（歹 U）的各個(gè)元素分別左乘（右乘）一個(gè)h（i）階（1（i）階）矩陣 K 后加到第 J 行定義 2 對(duì)應(yīng)于分塊矩陣（A）網(wǎng)的初等分塊矩陣是指：E11EH(1)Pi(i+j(k)=,ZEjjEnEiiE11EssJE11E|E11Ri(H)=或Pk(H)=EssJEiiJ其中 H 為第 1 行（歹 U）的一個(gè)左（右）保秩因子;1Ei十.EHK(2)或Pk(i+j(k)=：初等分塊矩陣與通常的初等矩陣類(lèi)似，但由于矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，故需要分為左、右兩種.直接驗(yàn)算可得：定理 1(1)交換(A)s乂的第

3、i 行與第 j 行，相當(dāng)于左乘一個(gè) m 階初等分塊矩陣PijL,其中PjL 中的元素Eii 為 h(i)階單位矩陣，Ejj 為 h(j)階單位矩陣，當(dāng) rwi 且 rwj 時(shí),Err為 h(r)階單位矩陣；交換(Aj)s筑的第 i 列與第 j 列相當(dāng)于右乘一個(gè) n 階初等分塊矩陣Pjk,其中EH為 1(i)階單位矩陣，Ejj 為 1(j)階單位矩陣當(dāng) rwi 且 rwj 時(shí),Err為 1(r)階單位矩陣；(2)(Aj)s(的第 1 行的每一個(gè)元素左乘一個(gè)矩陣 H 相當(dāng)于(Aj)s左乘一個(gè) m 階分塊矩陣PL(H)中 H 為 h(1)階方陣；(入)蟲(chóng)的第 1 列的每一個(gè)元素右乘一個(gè)矩陣 H，相當(dāng)

4、于(Aj)s：4 右乘一個(gè) n 階初等到變換矩陣 Pik(H),其中 H 為 1(1)階方陣；(3)(為 h*的第 J 行的每個(gè)元素分別左乘一個(gè) h(i)Xh(J)矩陣 K 后加到第 1 行相當(dāng)于(Aj)sx：左乘一個(gè)初等分塊矩陣P.(i+j(k)；第 J 列的每一個(gè)元素分別右乘1(j)x1(1)矩陣K后加到第 1 列，相當(dāng)于(Aj)sx 右乘Pk(i+j(k).定理 2 設(shè)A為方陣，則分塊矩陣(Aj)獷施行第一種行初等變換后，對(duì)應(yīng)的行列式為(-1hdA，其中h(i,j)=h(i)h(j)-l+h(i+l)+,+h(j)h(i)+h(i+j)+,+h(j-l),l(i,j)=l(i)h(j)-

5、l+l(i+l)+,+l(j)l(i)+l(i+j)+,+l(j-l),施行第二種初等變換后，對(duì)應(yīng)的行列式為|H|A|;施行第三種初等變換后，對(duì)應(yīng)的行列式的值不變.證明：IP(H)|=|H|,|P(i+j(心)|=IA顯然成立.下證PrL=(-th(i，j),Eii 所在的第 1 行逐次與它相鄰的行交換，移至Ejj 前，共進(jìn)行 h(i)-1+h(i+1)+,+h(j-1)次交換兩行，第 2 行逐次與它相鄰的行交換，移至Ejj 前,同樣進(jìn)行相同次交換兩行，依此類(lèi)推，把所在的行移至Ej所在的行前，共進(jìn)行rEiiP(ij(k)=EHK*aEIIEssA11-PQA21A10=P1Q，I舊20A12A

6、1=P9A02Q,h(i)h(i)-1+h(i+1)+,+h(j-1)次交換兩行,然后把Ejj移至適當(dāng)?shù)奈恢?同理共進(jìn)行 h(j)h(i)+h(i+1)+,+h(j-1)次交換兩行，所以交換兩行的總次數(shù)為h(1,J),故|P,J=(_1)j)；同理事.所以有同牛同|牛(-1)帥1)卜或伊味|=4味|=(-1)1(14(H)A=|R(H)|A=|H|A或|A|(k(H)|=|H|*|APi(ij(k)A|=|P(ij(k),|A=|A|APK(ij(k)|=|4|Pk(ij(k)|=|A則稱(chēng)Aj為極大元.定理 5 分塊矩陣(Aj)2X2可以用分塊矩陣的初等變換對(duì)角化的充要條件是：它有一個(gè)極大元.

7、證明：充分性.不妨設(shè)AI為極大元(否則可以通過(guò)第一種分塊矩陣的初等變換把極大元移到第一行，第一列交叉位置).由定理 4,存在可逆矩陣P,Q，使Pil定理 3 分塊矩陣進(jìn)行初等變換后，秩不變.證明：對(duì)于(1)，相當(dāng)于對(duì) A=(aij)mM進(jìn)行若干次行定義 1,顯然成立；對(duì)于(3),相當(dāng)于進(jìn)行若干次把到另一行(列，故命題成立.定理 4(1)設(shè) A,B 的行數(shù)均為 m,則矩陣方程 AX(列)的交換，故命題成立；對(duì)于(2)，根據(jù)A=(aij)mXn行(列)乘以一個(gè)倍數(shù)后加=B，當(dāng)rank(A)=rank(A,B)=m時(shí)有唯一解，當(dāng)rank(A)=rank(A,B)m 時(shí)有無(wú)窮多解，當(dāng)rank(A)ra

8、nk(A,B)時(shí)無(wú)解；(2)設(shè) A,B的列數(shù)均為 n，則矩陣方程 xA=B,Hrank(A)=rank(AT,BT)=n 時(shí)有唯一解，當(dāng)rank(A)=rank(AT,BT)當(dāng)rank(A)rank(AT,BT)時(shí)無(wú)解.證明：(1)設(shè)rank(A)=rank(A,B)m,n 有無(wú)窮多解，則存在可逆矩陣P其中Ir 為 r 階單位矩陣，BI為r階方陣，設(shè)Xo則有：AXo=P-0Q%B2【B41B二Q尼rIrQ=PlQB2B4Q,O_BBIB2P00Q=B所以Xo為AX=B的解，其中B3,巳是任意的當(dāng)rank(A)=rank(A,B)=m 時(shí)，A=P(1mO)Q,B=(BB2),顯然，AX=B有唯一

9、解：Xo=Q(BBJQ;當(dāng)rank(A)rank(A,B)時(shí)，AX=B無(wú)解.同理可證(2)成立(當(dāng)rank(A)=rank(At,定義 3 對(duì)于任意的 u,v,如果rank(A)=rank_TjIrB)n 時(shí),X=PQ(Aj,Av)=rank(O1OAijTP)AA.則AMK，+A2=0,所以 I12的第一列右乘 K后加到第二列g(shù)KA12+A22一/曰OI得OKA12+A22（如先進(jìn)行列變換，再進(jìn)行行變換，得 I101OA21K+A22.，A1A1A1A21因?yàn)镵A12+A22=I1,1,+A22=KA21+42，故兩種運(yùn)算順序結(jié)果相同）A2A1A2A2必要性.反證法，不妨設(shè)rank(Al1)

10、rank(A：,A)或rank(AT,AT21)rank(A21),則由定理 4,XA1=-A2XA1=-A1 無(wú)解，從而不存在 K,使（Aj）2M2對(duì)角化.同理,當(dāng)rank（Al1）rank（AI1,A2）或rank（A11,A2）wrank（A2）時(shí)，不存在K使加二或-A2K,=A1成立.定理 5 表明：并不是所有的 2X2 分塊矩陣都可以用分塊矩陣初等變換對(duì)角化，如果分塊矩陣沒(méi)有極大元，則需分得更細(xì)，才能對(duì)角化.定理 6 矩陣Am洵的一種分塊方法（Aj）s”可以用分塊矩陣的初等變換對(duì)角化的充分條件是存在 s-1 行且存在 t-1 列有極大元.證明：用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng) s=t=1 時(shí)，只有一

11、塊，命題成立；設(shè) se,tf 時(shí)命題成立.當(dāng) s=c+1,t=f 時(shí)，存在 e 行且存在 f-1 列有極大元顯然可以用第一種分塊矩陣的初等變換，通過(guò)交換兩行或兩列的位置，使（A）山的前 e行與前 f-1列都有極大元， 再把前 e行， 前 f-1列看成一塊， 得到一個(gè)新的 2X2分塊矩陣， 記為（Bj”X2.顯然 Bn 為極大元，根據(jù)定理 4,（By他可以化成對(duì)角形：BO.L“”，又 Bn=（）e（f4）,它的每行、列都有極大，故由假設(shè) B1 可以對(duì)OKB21B22角化，從而（Aj）（一加可以對(duì)角化.同理可證當(dāng) s=e,t=f+1 時(shí)，（Aj）e：f4t）可以對(duì)角化.由此命題成立.下面討論對(duì)角化

12、后的非零塊Ai進(jìn)一步化簡(jiǎn)的方法.設(shè)Ai=PF0b,Li=YiB1P與R=Q.IR0I.根據(jù)定理 1,：OO,i&B2R匕C2.Li,R為Ai的左（右）保秩因子，顯然也是Ai所在行（列）的左（右）保秩因子，故對(duì)角化后的令 K=-PAlA2A3A4P 二,其中 4,A4為適當(dāng)階數(shù)的任意矩陣.則AA2JKA11+A21=-PIP,PJAA4一第一行左乘 K 加到第二行，得A11gO、八Q，所以（Aj）2M2A21IA1C2,同理，令 K/=-QIKA12+A221AA3Q,A40分塊矩陣第1行、第1列分別左乘Li,右乘R后，Ai可以化成討論分塊方陣行列式的計(jì)算，先討論分塊初等陣的行列式設(shè) I

13、 為 SxS 分塊單位陣：(ri、1r21r3Irs其中 Iri為 ri階單位陣(1iS),對(duì) I 施行一次初等變換可得定義 2 所述的三種分塊初等陣，它們的行列式有下列計(jì)算公式.引理分塊初等陣的行列式有以下性質(zhì)：(一1產(chǎn),其中。=5(ri+1+,+rj)+rj(ri+1+,+rj-1)(ij).特別地，若 j=i+1,貝U|I(i,j)|=(-1)rirj；(2)|I(i(K)|=|k|,其中 K 是 rj階可逆陣；(3)|I(j(K),i)|=1,其中 K 是 rjxrj矩陣.證(1)不難 3證，將 I(i,j)的元素行進(jìn)行。次相鄰的對(duì)調(diào)可將 I(i,j)變成 I,由行列式的性質(zhì)，|I(i

14、，j)尸(-1)|I|=(-1).(2),(3)由對(duì)角分塊方陣及三角形分塊方陣的行列式計(jì)算方法即知由于對(duì)分塊方陣 A 施行一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的分塊初等陣左乘 A,由上述引理，我們有下列分塊方陣的行列式計(jì)算性質(zhì).定理 7 設(shè) A 是一個(gè)分塊方陣.(1)交換|A|的 i,j 兩行(列)，行列式變?yōu)?-1)T|A|,其中T=ri(ri+1+,+rj)+rj(ri+1+,+rj-1);特別地，交換|A|的相鄰兩行(列)(i 行和 i+1 行)，行列式變?yōu)?-1)riri+1|A|;(2)用一個(gè) ri階可逆陣 K 左(右)乘|A|的第 i 行(列)的所有矩陣，等于用|K|乘以|A|;(3)用一

15、個(gè)矩陣左(右)乘|A|的某一行(列)的所有矩陣再加到另一行(歹U)的對(duì)應(yīng)元素上行列式不變.由定理 7 的(2)可得推論分塊行列式|A|的某一行(列)的所有矩陣的可逆左(右)因子 K,可以行列式|K|的形式提到行列式符號(hào)外.2、分塊矩陣初等變換的應(yīng)用一、利用分塊矩陣的初等變換求矩陣的逆.廖中彳 T 在 2002 年 05 期四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)上的初等變換在分塊矩陣乘法的一文中提到D其中B 是 rxr 可逆陣，(sXs 可逆陣，求證：P 可逆，并C求 P分析：本題是一個(gè)分塊陣的求逆問(wèn)題，一般可用待定子塊法，也可利用廣義初等變換，還可用左乘分塊初等陣的方法.解：因 B、C 可逆，故|B|w0,|C|w

16、0.根據(jù)拉普一BDr八拉斯展開(kāi)，有 P=BC金 0,故 P 可逆.求 C 有二種辦法：OC解法一：利用廣義初等行變換法例 1:陣相同.作初等行（歹U）變換時(shí)，對(duì)矩陣p應(yīng)左（右）乘相應(yīng)的分塊單位陣.上述分塊初等變換的0-100BDE-BM1，C父2EBDB-0C(B,D)b+r一 J1-B故 P,=0E_1-BDCC本題對(duì)分塊矩陣進(jìn)行廣義初等變換是般矩陣的初等變換的一種推廣,其方法和一般矩過(guò)程也可用分塊陣左乘相應(yīng)的分塊初等陣解法可用左乘分塊初等陣的方法求PB，,可表不如下：J即:故有0E010例 2:已知 A=-BD-BD1001CJJ10BDI。15-1E0、0、/BDWE-BD/10B0C=

17、EB，求 A.-V分析：本題是一個(gè)矩陣的求逆問(wèn)題塊矩陣初等變換法求A.利用分塊矩陣初等變換法般可用公式法,矩陣的初等變換法求；可先 A 化分成分塊矩陣,A=其中 B=從而求得 B1C=1J0-1，C，D=-1025-146；然后對(duì) A 進(jìn)行廣義初等變換，即:例 3 設(shè) P=解:C由推論及定理ABBi 是一個(gè)分塊方陣，其中D7 的(3):A 是 r 階可逆陣，求|P|.解:IrC1_AB=AIr0A,BD-CAB=ADCAB若 A 與 D 可乘,則|P|=|AD-ACAB|;又若 A 與 C 可交換(即 AC=CA),則|P|=|AD-CB|.例設(shè)D2n其中 20,求冏2n由于 A,C 可交換，

18、所以adD2n=AD-CB=|(ad-bc)I|=(ad-bc)ad設(shè) A,B,C 和 D 是 n 階方陣，試證明兩次利用定理 4 的(1)，得bcjC-1；如果用其它方法來(lái)求解將會(huì)變得很繁瑣，用分塊矩陣的初等變換發(fā)來(lái)求解就顯的比較簡(jiǎn)單二、利用分塊矩陣初等變換求行列式的值宋玉英在 2002 年 04 期的 蘭州教育學(xué)院學(xué)報(bào) 上的 “用廣義初等變換”法求“分塊矩陣”的逆矩陣一文中提到BDB-xr1，C-xr2B,DB-A100C(BD)r2+r1.0B-BDCrir(A)+r(B)0B并且當(dāng) A(或 B)是方陣且非異時(shí)，或者 C=0 時(shí)上式的等號(hào)成立.n2CDAB例 6.設(shè) A 是 mXn 陣的

19、非異順序主子陣，=r(A)+n=1,2 是命題顯然成立設(shè)階數(shù)小于 n 時(shí)命題為真則對(duì) n 階及對(duì)稱(chēng)矩陣 AAC0ai2、.A=，其中 A1=不妨 Ta12W0.BDa12010AC1II-BA1I.|BD0ACA1r(A)=rI=r：BD_10=r(A1)+r(D-BAC)=2+r(D-BAJC)但 D-BAjc 為階數(shù)比 A 低的反對(duì)稱(chēng)矩陣，由歸納假設(shè) r(D-BA/C)為偶數(shù),故 r(A)為偶數(shù).四、分塊矩陣的初等變換在矩陣分解中的應(yīng)用例 8.設(shè) A=(aj)是 n 階方陣，它的順序主子式全不為零，證明：存在非異下三角形矩陣 B 與非異上三角形矩陣 C，使 A=BC證：對(duì) n 用歸納法n=

20、1 時(shí)顯然成立An”設(shè)當(dāng) n-1 時(shí)，結(jié)論成立，則對(duì) n,將 A 分塊成 A=；一IPann一Ir證：j|-CA1m_rHABNAB一二一D-CAB而 A 是非異陣A,由以上性質(zhì)知 rC例 7.設(shè) n 階方陣 A=(Qij)為反對(duì)稱(chēng)矩陣證： 對(duì) n用歸納法DHA,證明：rB【一一1_D-CAB(A)必為偶數(shù),、，1r(A)+r(D-CAB)-A/CLKI，001D-BACD：Ca1,1由歸納假設(shè)對(duì)An=并,1非異下三角形與上三角形矩陣上式兩端取行列式有：|A=|AnJb,b:0人OIJBICI01,CIBa【I0b/0I|ob_中曰/日AAn;_In0BI0CI于:AIR_IRj_*IPamP

21、An1_|o10苴中B=JnO.；BI0LJn,I-BA；111oIMnIOGBI%1c-I。b一PB=B1=0,C=bC1=0J。B與C分別是非奇異的下三角與上三角形矩陣.類(lèi)似的例子還可以舉出很多，由于篇幅有限，不再贅述.總之，在矩陣乘法中，只要對(duì)矩陣進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆謮K，結(jié)合矩陣初等變換的方法，就能大大的簡(jiǎn)化其運(yùn)算參考文獻(xiàn)：1 北大數(shù)學(xué)系，高等代數(shù)M(第二版),1987,3.2 區(qū)詩(shī)德加邊矩陣的求逆J玉林師專(zhuān)學(xué)報(bào)，1998(3),29313 陳祖明.矩陣論引論M北京：北京航空航天大學(xué)出版社，1998,6164 陳景良，陳向輝特殊矩陣M北京：清華大學(xué)出版社，2000,4624695 劉桂香，分塊矩陣1AB的奇異性J寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999,611(CD；6 史永鈴，分塊矩陣初等變換及其應(yīng)用J淮南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(2)7 吳云，分塊矩陣的初等變換J,工科數(shù)學(xué)，1997(8)8 吳云，分塊矩陣的初等變換及其在求逆和行列式中的應(yīng)用J,自貢師范專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，1996(3)9 廖中行，初等變換在分塊矩陣乘法J,四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(5)10 宋玉英，