解直角三角形精彩回眸

1、.解直角三角形精彩回眸一、銳角三角函數(shù)本專題包括兩個(gè)方面的知識(shí)點(diǎn)，一是銳角三角函數(shù)的概念；二是一般的銳角三角函數(shù)值的計(jì)算；這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)是本章的基礎(chǔ)，也是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵，通過本專題的復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：（1）掌握銳角三角函數(shù)定義；（2）掌握銳角三角函數(shù)值的幾種不同的計(jì)算方法例1三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖1所示，則的值是（）分析：本題是一道設(shè)計(jì)比較新穎的試題，它通過網(wǎng)格的特征給出解題信息，由正方形網(wǎng)格可知角的對(duì)邊的長(zhǎng)為3，鄰邊的長(zhǎng)為4，要求，只要根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算即可解：設(shè)的對(duì)邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則a=3，b=4，所以，所以，選C說明：解決這類

2、問題的思路是依據(jù)圖形確定三角形的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)定義進(jìn)行計(jì)算 例2如圖2，ABC中，C=90°，AC+BC=7（AC>BC），AB=5，則tanB=_分析：要求tanB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，則需要求對(duì)邊AC和鄰邊BC的長(zhǎng)，因?yàn)橹佬边?，且，所以可以根?jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算解：設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，得，解得所以所以說明：本題的解題思路是根據(jù)已知條件確定B的對(duì)邊和鄰邊的長(zhǎng)，采用了一般的解題方法，并體現(xiàn)了方程思想在求三角函數(shù)值中的應(yīng)用實(shí)際上，本題是一道填空題，不通過計(jì)算直接觀察就可以解決因?yàn)樾边吺?，且兩條直角邊的和為7，所以兩條直角邊的長(zhǎng)分別是4和3例3在RtABC中，C=90&

3、#176;，若AB=2AC，則cosA的值等于（）A分析：已知三角形的兩邊的關(guān)系，要求cosA，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，所以只要由已知條件求到即可解：因?yàn)椋运赃xC說明：本題是一道選擇題，解決問題時(shí)可以采用取特殊值的方法，即令，則這樣更簡(jiǎn)單同步練習(xí)一：1在ABC中，C=90°，AB=2，AC=1，則sinB的值是（）22在ABC中，C=90°，BC=2，sinA=，則邊AC的長(zhǎng)是（）33在RtABC中，C=90°，若AB=5，BC=3，則cosB=（）4如圖3，在RtABC中，ACB=90°，CDAB于點(diǎn)D已知AC=，BC=2，那么sinACD （）

4、 二、特殊角的三角函數(shù)值本專題主要是特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計(jì)算，特殊角的三角函數(shù)值在解決實(shí)際問題中應(yīng)用非常廣泛，所以通過復(fù)習(xí)應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：熟練掌握30°，45°、60°角的三角函數(shù)值，并能通過特殊角的銳角三角函數(shù)值進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算例1tan30°的值等于（）分析：本題考查特殊角三角函數(shù)值理解情況解決本題需要熟練記住特殊角的三角函數(shù)值解：選C說明：如果沒有記住30°的正切值，可以先畫一個(gè)含有30°角的直角三角形，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，找到三邊關(guān)系，根據(jù)定義求解例2計(jì)算tan60°+2sin45&#

5、176;-2cos30°的結(jié)果是（）A2BCD1分析：本題是一道與銳角三角函數(shù)值有關(guān)的計(jì)算問題，解決問題的關(guān)鍵是先確定函數(shù)值，然后再進(jìn)行實(shí)數(shù)的運(yùn)算解： 故選C說明：與特殊角三角函數(shù)值有關(guān)的運(yùn)算，先寫出每個(gè)角的函數(shù)值，然后轉(zhuǎn)成實(shí)數(shù)運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算的順序和計(jì)算的方法同步練習(xí)二：1計(jì)算： _2計(jì)算： _3銳角A滿足，則_4如果，那么銳角的度數(shù)是（）15°B30°C45°D60°5在ABC中，C=90°，若B=2A，則cosB的值等于（）ABCD三、解直角三角形本專題主要是根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，確定邊長(zhǎng)、角的度數(shù)以及三角函數(shù)值等，此類問題

6、是銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題中的一個(gè)過渡，通過本專題的復(fù)習(xí)，應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：能根據(jù)直角三角形中的邊角關(guān)系，求邊長(zhǎng)，角的度數(shù)以及銳角三角函數(shù)值等例1如圖4，已知AD為等腰三角形ABC底邊上的高，且tanB=，AC上有一點(diǎn)E，滿足AEEC=23那么，tanADE等于（）ABCD 分析：要求tanADE值，需要構(gòu)造包含ADE的直角三角形，為此需要過點(diǎn)E作FEAD，再求即可解：因?yàn)锳DBC于D，AB=AC，所以BAD=CAD因?yàn)閠anB=，B+CAD=90°，所以tanCAD=作EFAD交AD于F，則tan CAD所以因?yàn)椋訣FCB又AEEC=23，所以AFFD=23所以FD=AF所以故選

7、C說明：當(dāng)要求銳角三角函數(shù)值的角不在直角三角形內(nèi)時(shí)，其解題思路是構(gòu)造直角三角形或?qū)ふ业冉潜绢}采用了構(gòu)造直角三角形的方法例2如圖5，梯形ABCD中，ADBC，B=45°，C=120°，AB=8，則CD的長(zhǎng)為（）ABCD分析：求CD的長(zhǎng)可構(gòu)造直角三角形利用三角函數(shù)求解：如圖，作AFBC于點(diǎn)F，DEBC于點(diǎn)E，則根據(jù)已知條件可求出DE=AF=AB·sinB，再根據(jù)三角函數(shù)求出CD的長(zhǎng)解：作AFBC于F，DEBC并交BC的延長(zhǎng)線于E 在RtABF中，因?yàn)锳B=8，B=45°，所以AF=AB·sin45°=8×4，所以DE=AF=4在

8、RtCDE中，因?yàn)镈CE=180°-120°=60°，所以，故選A說明：在利用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)時(shí)，若所求的邊不在直角三角形內(nèi)，則要將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑比較多，如構(gòu)造直角三角形或用已知的直角三角形的邊或角來代替同步練習(xí)三：1如圖6，CD是RtABC斜邊上的高，AC=4，BC=3，則cosBCD=_2如圖7，在ABC中，BAC=90°，AD是高，AC=，tanDAC=，則AB=（）A5 BCD3如圖8，在ABC中，B=60°，BC=2，中線CDBC，求AB，tanA的值四、用銳角三角函數(shù)計(jì)算高度本專題主要涉及高度的計(jì)算，如計(jì)算旗桿

9、的高度，樓房的高度、山的高度等此類問題的解題思路是構(gòu)建直角三角形模型，一般需要將兩個(gè)直角三角形聯(lián)系起來，通過列方程解決問題通過本專題的復(fù)習(xí)，應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：能構(gòu)造直角三角形解有關(guān)高度問題例1小劉同學(xué)為了測(cè)量雷州市三元塔的高度，如圖9，她先在A處測(cè)得塔頂C的仰角為32°，再向塔的方向直行35米到達(dá)B處，又測(cè)得塔頂C的仰角為60°，請(qǐng)你幫助小劉計(jì)算出三元塔的高度（小劉的身高忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1米）分析：要計(jì)算三元塔的高度，反映到幾何圖形上，就是求CO的長(zhǎng)，根據(jù)已知條件可用含有CO的關(guān)系表示OA、OB，然后根據(jù)OA-OB=AB去求CO解：在RtAOC中，OA=在RtBOC中，O

10、B=因?yàn)锳B=OA-OB，所以所以（米）所以三元塔的高度約是34米說明：利用直角三角形求高度，一般是從實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形，或?qū)⒁阎獔D形中的兩個(gè)直角三角形聯(lián)合起來例2原電視發(fā)射塔為BC為穩(wěn)固塔身，周圍拉有鋼絲地錨線（如圖10線段AB），若AB=60m，并且AB與地面成45°角，欲升高發(fā)射塔的高度到CB，同時(shí)原地錨線仍使用，若塔升高后使地錨線與地面成60°角，求電視發(fā)射塔升高了多少米？（即BB的高度）（精確到0.01m）分析：要求電視發(fā)射塔升高了多少米，反映到圖形上即求BB的長(zhǎng)度關(guān)鍵在于求出原電視發(fā)射塔的高度和升高后發(fā)射塔的高度可通過解直角ABC求出BC，再解直角ABC，

11、求出BC，從而BB=BCBC解：在tACB中，因?yàn)椋裕╩）在中，所以（m）所以電視塔升高的高度為：（m）評(píng)注：求電視塔升高的高度，其解題思路是從實(shí)際問題中構(gòu)造直角三角形模型，通過解直角三角形求到相應(yīng)線段的長(zhǎng)度進(jìn)而求到線段的差同步練習(xí)四：1如圖11，在把易拉罐中水倒入一個(gè)圓水杯的過程中，若水杯中的水在點(diǎn)P與易拉罐剛好接觸，則此時(shí)水杯中的水深為（）A2cmB4cmC6cmD8cm2如圖12，為了測(cè)量某建筑物AB的高度，在平地上C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為30°，沿CB方向前進(jìn)12m到達(dá)D處，在D處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為45°，則建筑物AB的高度等于（）A mB mCmDm

12、3“平陽府有座大鼓樓，半截子插在天里頭”如圖13，為測(cè)量臨汾市區(qū)鼓樓的高AB，在距B點(diǎn)50m的C處安裝測(cè)傾器，測(cè)得鼓樓頂端A的仰角為40°12，測(cè)傾器的高CD為1.3m，則鼓樓高AB約為_m（tan40°120.85）4（廣西玉林）某科技館座落在山坡M處，從山腳A處到科技館的路線如圖14所示已知A處海拔高度為103.4m，斜坡AB的坡角為30°，AB=40m，斜坡BM的坡角為18°，BM=60m，那么科技館M處的海拔高度是多少？（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin18°=0.309）五、用銳角三角函數(shù)解航海問題航行問題主要包括求航行的時(shí)間，求航行

13、速度，判斷是否有觸礁危險(xiǎn)等，是考試中的熱點(diǎn)問題解決航行問題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)建一個(gè)或兩個(gè)直角三角形，通過三角函數(shù)直接解決或根據(jù)圖形中的數(shù)量關(guān)系建立方程解決例1如圖15，燈塔A周圍1 000米水域內(nèi)有礁石，一艦艇由西向東航行，在O處測(cè)得燈塔A在北偏東74°方向線上，這時(shí)、A相距4 200米，如果不改變航向，此艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)？分析：要判斷艦艇是否有觸礁的危險(xiǎn)，關(guān)鍵比較點(diǎn)A到正東方向的距離與1 000米的大小，因此，需過點(diǎn)A向正東方向引垂線，轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題解：如圖15，過點(diǎn)A作AB與正東方向線垂直，垂足為B在tAOB中，OA=4 200，AOB=90°-74&

14、#176;=16°AB=AO·sinAOB=4 200·sin16°=4 200×0.275 61 158（米）因?yàn)? 158>1 000，所以此艦艇按原航向繼續(xù)航行沒有觸礁的危險(xiǎn)說明：本題是一道比較簡(jiǎn)單的航行問題，不僅要能從實(shí)際問題中構(gòu)造出直角三角形，而且還要注意一些解題技巧，如能用乘法運(yùn)算的，不用除法，能用正弦計(jì)算的，不用余弦例2如圖6，某船以每小時(shí)36海里的速度向正東方向航行，在點(diǎn)A測(cè)得某島C在北偏東60°方向上，航行半小時(shí)后到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得該島在北偏東30°方向上，已知該島周圍16海里內(nèi)有暗礁（1）試說明點(diǎn)B是否

15、在暗礁區(qū)域外？（2）若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由分析：要判斷點(diǎn)B是否在暗礁區(qū)域外則需要計(jì)算BC的長(zhǎng)度，看其長(zhǎng)度是否大于16海里，若BC>16海里，則點(diǎn)B在暗礁區(qū)域外；要判斷繼續(xù)向東航行有無觸礁危險(xiǎn)，則需要計(jì)算船到島C的最短距離，看是否小于16海里若小于16海里，則有觸礁的危險(xiǎn)為此，需要構(gòu)造直角三角形解決解：（1）過點(diǎn)B作BDAE，交AC于點(diǎn)D因?yàn)锳B=36×0.5=18（海里），ADB=60°，DBC=30°，所以ACB=30°又CAB=30°，所以BC=AB即BC=AB=18>16所以點(diǎn)B在暗礁區(qū)域外（2）過點(diǎn)C作CHA

16、B，垂足為H，在RtCHB中，BCH=30°，令BH=x，則CH=x在RtACH中，CAH=30°，所以AH=CH=·x=3x因?yàn)锳H=AB+BH，所以3x=18+x解得x=9所以CH=9<16所以船繼續(xù)向東航行有觸礁的危險(xiǎn)說明：有無觸礁問題是航海中的熱點(diǎn)，也是中考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的試題解決此類問題需要正確理解題意，根據(jù)實(shí)際問題構(gòu)建直角三角形模型同步訓(xùn)練五：1如圖17，一艘船向正東方向航行，在B處測(cè)得有一燈塔在它的北偏東30°，距離為72海里的A處當(dāng)行至C處測(cè)得燈塔恰好在它的正北方向，求此時(shí)它與燈塔的距離AC（計(jì)算結(jié)果精確到0.1海里）2如圖18，海

17、上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁一艘客輪以9海里/時(shí)的速度由西向東航行，行至A點(diǎn)測(cè)得P在它的北偏東60°的方向，繼續(xù)行駛20分鐘后，到達(dá)B處又測(cè)得燈塔P在它的北偏東45°方向 問客輪不改變方向繼續(xù)前進(jìn)有無觸礁的危險(xiǎn)？六、用三角函數(shù)設(shè)計(jì)測(cè)量方案問題用三角函數(shù)設(shè)計(jì)測(cè)量是中考試題中的常見題型其中以測(cè)量河的寬度，測(cè)量物體的高度為重要題型，解決測(cè)量問題需要熟練掌握銳角三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，能從實(shí)際問題中構(gòu)造一個(gè)或兩個(gè)直角三角形，并能根據(jù)自己所設(shè)計(jì)的方案進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算例1如圖19，河邊有一條筆直的公路L，公路兩側(cè)是平坦的草地在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求測(cè)量河對(duì)岸點(diǎn)B到公路的距離，

18、請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案要求：（1）列出你測(cè)量所使用的測(cè)量工具；（2）畫出測(cè)量的示意圖，寫出測(cè)量的步驟；（3）用字母表示測(cè)得的數(shù)據(jù)，求出B到公路的距離分析：本題是一道測(cè)量點(diǎn)到公路距離的實(shí)際問題可構(gòu)造有公共邊的兩個(gè)直角三角形來解決解：（1）測(cè)角器、尺子；（2）測(cè)量示意圖如圖20；測(cè)量步驟：在公路上取兩點(diǎn)C、D，BCD、BDC為銳角；用測(cè)角器測(cè)出BCD=，BDC=；用尺子測(cè)得CD的長(zhǎng)，記為m米；計(jì)算求值（3）設(shè)B到CD的距離為x米，作BACD于點(diǎn)A，在CAB中，x=CA·tan，在DAB中，x=AD·tan，所以CA=，AD=因?yàn)镃A+AD=m，所以m所以說明：本題是一道測(cè)量距離的方案設(shè)計(jì)問題，解決問題的關(guān)鍵在于正確地構(gòu)造直角三角形同步練習(xí)六