初等數(shù)學(xué)研究(第一講)

1、初等數(shù)學(xué)（方法）研究初等數(shù)學(xué)（方法）研究石家莊學(xué)院數(shù)信系石家莊學(xué)院數(shù)信系 孫慶利孫慶利TELmail：課程簡(jiǎn)介課程簡(jiǎn)介 初等數(shù)學(xué)（方法）研究初等數(shù)學(xué)（方法）研究主要包括初等代數(shù)和初等主要包括初等代數(shù)和初等幾何兩部分內(nèi)容，它是一門(mén)古老而又充滿生命力的學(xué)幾何兩部分內(nèi)容，它是一門(mén)古老而又充滿生命力的學(xué)科，是師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的必修課程。本課程比科，是師范院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的必修課程。本課程比較系統(tǒng)地闡述了初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，其中包括集合較系統(tǒng)地闡述了初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，其中包括集合與邏輯、數(shù)與式的理論及方法、函數(shù)、方程與不等式與邏輯、數(shù)與式的理論及方法、函數(shù)、方程與不等式的

2、理論及方法、幾何變換、幾何推理論證的理論與方的理論及方法、幾何變換、幾何推理論證的理論與方法、排列組合與概率統(tǒng)計(jì)初步以及中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略法、排列組合與概率統(tǒng)計(jì)初步以及中學(xué)數(shù)學(xué)解題策略等內(nèi)容。為密切聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實(shí)際，本課程配置了與等內(nèi)容。為密切聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實(shí)際，本課程配置了與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題相吻合的例題與習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題相吻合的例題與習(xí)題，并在內(nèi)容、形式上略作提高。例題分析，著重揭題，并在內(nèi)容、形式上略作提高。例題分析，著重揭示初等代數(shù)與初等幾何問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及通示初等代數(shù)與初等幾何問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及通性通法，以提高用數(shù)學(xué)的思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)性通

3、法，以提高用數(shù)學(xué)的思想方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。題的能力。 參考書(shū)目參考書(shū)目 1 趙振威趙振威,章士藻，章士藻，初等代數(shù)研究初等代數(shù)研究，華東師，華東師大出版社大出版社, 2008年印。年印。 2 趙振威趙振威,章士藻，章士藻，初等幾何研究初等幾何研究，華東師，華東師大出版社，大出版社，2008年印。年印。 3余元希編著，余元希編著，初等代數(shù)研究初等代數(shù)研究，高等教育，高等教育出版社出版社, 2010年印。年印。 4李長(zhǎng)明李長(zhǎng)明,周煥山，周煥山，初等數(shù)學(xué)研究初等數(shù)學(xué)研究，高等教，高等教育出版社，育出版社，2007年印。年印。 數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，它是以解決客數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的

4、關(guān)系的一門(mén)學(xué)科，它是以解決客觀世界的事物的內(nèi)在邏輯聯(lián)系的觀世界的事物的內(nèi)在邏輯聯(lián)系的“問(wèn)題問(wèn)題”為主要目為主要目的在這個(gè)意義上來(lái)講，探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題規(guī)的在這個(gè)意義上來(lái)講，探索解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題規(guī)律及解題方法就是十分重要的通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)的內(nèi)律及解題方法就是十分重要的通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)形態(tài)的內(nèi)在基本結(jié)構(gòu)的分析和研究，從而順利地解決問(wèn)題，對(duì)在基本結(jié)構(gòu)的分析和研究，從而順利地解決問(wèn)題，對(duì)提高我們的數(shù)學(xué)思維方式及解決問(wèn)題的能力都有十分提高我們的數(shù)學(xué)思維方式及解決問(wèn)題的能力都有十分重要的意義重要的意義 數(shù)學(xué)的內(nèi)容就是由一種形態(tài)與另一種形態(tài)的對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容就是由一種形態(tài)與另一種形態(tài)的對(duì)比和關(guān)系的轉(zhuǎn)化（化歸）要解

5、決好一個(gè)數(shù)學(xué)比和關(guān)系的轉(zhuǎn)化（化歸）要解決好一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，首要的是要對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，首要的是要對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)成的結(jié)構(gòu)要先有充分的認(rèn)識(shí)，再熟知一些推演關(guān)系的基要先有充分的認(rèn)識(shí)，再熟知一些推演關(guān)系的基本手段及方法其次，要善于把問(wèn)題的假設(shè)和本手段及方法其次，要善于把問(wèn)題的假設(shè)和結(jié)論溝通起來(lái)，借助已有的（盡可能多的）數(shù)結(jié)論溝通起來(lái)，借助已有的（盡可能多的）數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論，從而順利地解決問(wèn)題學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)理論，從而順利地解決問(wèn)題 解決問(wèn)題有解決問(wèn)題有“通法通法”和和“技巧技巧”，但我們一定要知道，但我們一定要知道“巧巧”不是解題的大道，只是一條捷徑，而捷徑不是不是解題的大道，只是一條捷徑

6、，而捷徑不是處處都有的只有練好解題的基本功，則解題的捷徑處處都有的只有練好解題的基本功，則解題的捷徑也就不難找到要掌握解題的通法，必須要知道一些也就不難找到要掌握解題的通法，必須要知道一些數(shù)學(xué)形態(tài)的數(shù)學(xué)形態(tài)的“通性通性”，即它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及這些結(jié)構(gòu)的，即它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及這些結(jié)構(gòu)的邏輯聯(lián)系、演化規(guī)律每一種典型的基本結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)邏輯聯(lián)系、演化規(guī)律每一種典型的基本結(jié)構(gòu)在數(shù)學(xué)形態(tài)中的作用以及處理它的一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)形態(tài)中的作用以及處理它的一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識(shí)解題能力的大小，就是你擁有的這種數(shù)學(xué)知學(xué)知識(shí)解題能力的大小，就是你擁有的這種數(shù)學(xué)知識(shí)的體現(xiàn)它就像要給人治病，必須先了解人體的各識(shí)的體現(xiàn)它就

7、像要給人治病，必須先了解人體的各部分組成的器官和構(gòu)成器官的細(xì)胞和它們的生命作部分組成的器官和構(gòu)成器官的細(xì)胞和它們的生命作用只有這樣練好了基本功，就會(huì)得到解題的通法，用只有這樣練好了基本功，就會(huì)得到解題的通法，找到處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的找到處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的“大道大道” 總之，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的分析，總之，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行深入的分析，對(duì)各種基本結(jié)構(gòu)彼此關(guān)聯(lián)的本質(zhì)進(jìn)行探索，掌握好處對(duì)各種基本結(jié)構(gòu)彼此關(guān)聯(lián)的本質(zhì)進(jìn)行探索，掌握好處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般的數(shù)學(xué)思維方式和方法，才能達(dá)到理數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般的數(shù)學(xué)思維方式和方法，才能達(dá)到掌握解決問(wèn)題的本領(lǐng)把初等數(shù)學(xué)作為一個(gè)系統(tǒng)，用掌握解決問(wèn)題的本領(lǐng)把初

8、等數(shù)學(xué)作為一個(gè)系統(tǒng)，用“結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析研究。的觀點(diǎn)來(lái)進(jìn)行分析研究。 第一講第一講 元的認(rèn)識(shí)元的認(rèn)識(shí)-主元及常用的元主元及常用的元 第二講第二講 數(shù)系的擴(kuò)充與數(shù)學(xué)歸納法數(shù)系的擴(kuò)充與數(shù)學(xué)歸納法 第三講第三講 關(guān)于解析式理論的一些問(wèn)題及方法關(guān)于解析式理論的一些問(wèn)題及方法 第四講第四講 關(guān)于函數(shù)的思想與方法關(guān)于函數(shù)的思想與方法 第五講第五講 關(guān)于方程與不等式關(guān)于方程與不等式 第六講第六講 關(guān)于幾何證明與推理關(guān)于幾何證明與推理 第七講第七講 關(guān)于幾何量計(jì)算的有關(guān)問(wèn)題關(guān)于幾何量計(jì)算的有關(guān)問(wèn)題 第一講第一講 元的認(rèn)識(shí)元的認(rèn)識(shí)內(nèi)容簡(jiǎn)介：內(nèi)容簡(jiǎn)介： 代數(shù)一個(gè)主要內(nèi)容是對(duì)數(shù)符、字符和運(yùn)算符組合代數(shù)一個(gè)

9、主要內(nèi)容是對(duì)數(shù)符、字符和運(yùn)算符組合成的代數(shù)式進(jìn)行研究，通過(guò)運(yùn)算、恒等變形、轉(zhuǎn)換形成的代數(shù)式進(jìn)行研究，通過(guò)運(yùn)算、恒等變形、轉(zhuǎn)換形式及數(shù)理的邏輯推演，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的自然形式及數(shù)理的邏輯推演，從而達(dá)到對(duì)客觀世界的自然形態(tài)的認(rèn)識(shí)和變化規(guī)律的認(rèn)知，使人類改造世界的目標(biāo)態(tài)的認(rèn)識(shí)和變化規(guī)律的認(rèn)知，使人類改造世界的目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)；初等數(shù)學(xué)中，代數(shù)的基本內(nèi)容主要是對(duì)數(shù)得以實(shí)現(xiàn)；初等數(shù)學(xué)中，代數(shù)的基本內(nèi)容主要是對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、式子的恒等變形的技巧訓(xùn)練、方程的求解、的認(rèn)識(shí)、式子的恒等變形的技巧訓(xùn)練、方程的求解、函數(shù)觀點(diǎn)的確定、不等量的比較等；它對(duì)學(xué)者有一個(gè)函數(shù)觀點(diǎn)的確定、不等量的比較等；它對(duì)學(xué)者有一個(gè)最基本的要求就

10、是要建立對(duì)最基本的要求就是要建立對(duì)“基元基元”的認(rèn)識(shí)下面舉的認(rèn)識(shí)下面舉例說(shuō)明：例說(shuō)明： 1、 解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，如果直接解決原問(wèn)題有困難，或原問(wèn)題不易下手，或由原問(wèn)題的條件難以直接得出結(jié)論時(shí)，往往需要引入一個(gè)或若干個(gè)“新元”代換問(wèn)題中原來(lái)的“元”，使以“新元”為基礎(chǔ)的問(wèn)題求解比較容易，解決以后將結(jié)果恢復(fù)為原來(lái)的元，即可得原問(wèn)題的結(jié)果。這種解決問(wèn)題的方法稱為換元法。又稱變量代換法或輔助元素法。2、換元的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的一種解題方法。換元法的基本思想是通過(guò)變量代換，使原問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易，使問(wèn)題發(fā)生有利的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的 。換元法是

11、數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的基本方法之一。換元法是數(shù)學(xué)中經(jīng)常采用的基本方法之一。3、利用換元法的關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)剡x擇“新元”，引進(jìn)適當(dāng)?shù)拇鷵Q，找到較容易的解題思路，能使問(wèn)題簡(jiǎn)化。或把未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題，把復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。 例例9 分解因式 112xyxyxyyxyx解: 設(shè) bxyayx, 原式 ) 1)(1(2bbbaa1222baba1 b) (a211baba11yxxyyxxy111yxxyyx 222)66)(64(xxxxx例10 在實(shí)數(shù)域內(nèi)分解因式解一：令解一：令mx62原式原式=2)6)(4(xxmxm2222410 xxxm222510 xxm2

12、)5(xm22)65(xx22) 3()2(xx解二：令解二：令mxx642原式原式=2)2(xxmm222xmxm2)(xm22)65(xx22) 3()2(xx可以嗎？令mxx652思考：思考：例11 ：求證任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積再加上1 是一個(gè)完全平方數(shù)。分析證明：設(shè)任意四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)最小的為x3x2,x1,x為則其它三個(gè)自然數(shù)分別由題意：x(x+1)(x+2)(x+3)+11)2)(1)(3(xxxx1)23)(3(22xxxxmxx32令12)m(m上式122mm2) 1( m22) 13(xx主元及常用的元主元及常用的元 在一個(gè)數(shù)學(xué)形態(tài)中，可作元的基本在一個(gè)數(shù)學(xué)形態(tài)中，可作元的

13、基本結(jié)構(gòu)可能不止一個(gè)，有些元是明確的，結(jié)構(gòu)可能不止一個(gè)，有些元是明確的，有的元是模糊的；有的元處于主導(dǎo)地位，有的元是模糊的；有的元處于主導(dǎo)地位，有的元處于從屬地位；有些元互相關(guān)聯(lián)，有的元處于從屬地位；有些元互相關(guān)聯(lián)，有些元之間關(guān)系不太明朗；所以在應(yīng)用有些元之間關(guān)系不太明朗；所以在應(yīng)用方面技巧性強(qiáng)，比較靈活處理相關(guān)問(wèn)方面技巧性強(qiáng)，比較靈活處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要留心觀察，認(rèn)真比較，仔細(xì)分題時(shí)，要留心觀察，認(rèn)真比較，仔細(xì)分析，反復(fù)思考，在一個(gè)問(wèn)題的眾多元中，析，反復(fù)思考，在一個(gè)問(wèn)題的眾多元中，選擇主元十分重要，根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)關(guān)選擇主元十分重要，根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)關(guān)系等特征，解決問(wèn)題采用的變形手段也系等特征，

14、解決問(wèn)題采用的變形手段也是有一定的規(guī)律可遵循的是有一定的規(guī)律可遵循的例12 分解因式3723222bababa解一：注意到解一：注意到)2)(2(23222babababa)2)(2(ybaxba觀察原式可設(shè)原式=yx,為待定系數(shù)。故，原式故，原式=)32)(12(baba展開(kāi)上式，原式=xybyxayxbaba)2()2(23222由多項(xiàng)式恒等定理知：37212xyyxyx31:yx解得解二：解二：)372() 13(222bbaba原式)3)(12() 13(22bbaba)32)(12(babaa2a-(2b-1)b-3例13在實(shí)數(shù)集內(nèi)解方程02772222xxxx時(shí)當(dāng)21y21xx即2

15、1x解得：解: 原方程可化為: 02)1(72)1(22xxxx yxx1設(shè)則方程化為: 23, 221yy解方程,得 06722yy時(shí)當(dāng)232y231xx即221-或解得： x經(jīng)檢驗(yàn),知它們都是原方程的解。 yx,3222yxxy例14 如果實(shí)數(shù)滿足那么的最大值是多少？ 解：令kxy（比值換元）kxy 則代入原式化簡(jiǎn)得:014)1 (22xxk)1 (4)4(22k2412k0由題意知必有04122 k即：解得:33kxy所以,的最大值是. 3例15 若滿足zyx, 1zyx的最小值。求222zyx解：32131,31,31tztytx設(shè). 0321ttt由題意知：（均值換元）232221222)31()31()31(tttzyx則232221321)(3231tttttt23222131ttt31”）時(shí)取“（當(dāng)且僅當(dāng)0321ttt。的最小值為故31222zyx例16 已知Rba,1ba2252222ba且，求證：。分析一：由可得1baab1代入消元可以求解。分析二： 對(duì)