高觀點(diǎn)下的幾何學(xué)練習(xí)題及參考答案(東師)

1、高觀點(diǎn)下的幾何學(xué)練習(xí)題參考答案一、填空題。1 .公理法的三個(gè)基本問(wèn)題是相容性問(wèn)題、獨(dú)立性問(wèn)題和完備性問(wèn)題。2 .公理法的結(jié)構(gòu)是原始概念的列舉、定義的表達(dá)、公理的表達(dá)和定理的表達(dá)和證明3 .仿射變換把矩形變成平行四邊形4 .仿射變換把平行線(xiàn)變成平行線(xiàn)5 .仿射變換把正三角形變成三角形二、簡(jiǎn)答題。1 .試給一個(gè)羅氏幾何的數(shù)學(xué)模型。答：羅氏幾何的Cayley-F.kLein模型在歐氏平面上任取一個(gè)圓，把圓內(nèi)部的點(diǎn)所構(gòu)成的集合看成是羅氏“平面”。羅氏平面幾何的原始概念解釋成：羅氏點(diǎn)：圓內(nèi)的點(diǎn)；羅氏直線(xiàn)：圓內(nèi)的開(kāi)弦兩個(gè)端點(diǎn)除外，它們可稱(chēng)為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。結(jié)合關(guān)系：圓內(nèi)原來(lái)的點(diǎn)和線(xiàn)的結(jié)合關(guān)系；介于關(guān)系：圓內(nèi)弦上

2、三點(diǎn)的介于關(guān)系；運(yùn)動(dòng)關(guān)系：歐氏平面上，將圓K變成自身的射影變換。羅氏平行公理在羅氏平面上通過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)至少存在兩直線(xiàn)與已知直線(xiàn)不相交。2 .試給一個(gè)黎曼幾何的數(shù)學(xué)模型答：黎曼幾何的F.KLein模型黎曼幾何的原始概念解釋成：黎氏點(diǎn)：歐氏球面上的點(diǎn)，但把每對(duì)對(duì)徑點(diǎn)看成一點(diǎn)；黎氏直線(xiàn)：球面上的大圓；黎氏平面：改造后的球面。黎氏點(diǎn)與黎氏直線(xiàn)的基本關(guān)系：(1)通過(guò)任意兩個(gè)黎氏點(diǎn)存在一條黎氏直線(xiàn)；(2)通過(guò)任意兩個(gè)黎氏點(diǎn)至多存在一條黎氏直線(xiàn)；(3)每條黎氏直線(xiàn)上至少有兩個(gè)黎氏點(diǎn)；至少存在三個(gè)黎氏點(diǎn)不在同一條黎氏直線(xiàn)上。黎曼幾何平行公理：黎氏平面上任意兩條直線(xiàn)相交。3 .簡(jiǎn)述公理法的基本思想。答：假設(shè)干個(gè)

3、原始概念包括元素和關(guān)系、定義和公理一起叫做一個(gè)公理體系，構(gòu)成了一種幾何的基礎(chǔ)。全部元素的集合構(gòu)成了這種幾何的空間。在這個(gè)公理體系的基礎(chǔ)上，每個(gè)概念都必須給出定義，每個(gè)命題都必須給出證明，原始概念、定義、公理和定理按照邏輯關(guān)系有次序地排列而構(gòu)成命題系統(tǒng)一一邏輯結(jié)構(gòu)，這就是公理法思想。4 .簡(jiǎn)述公理系統(tǒng)的獨(dú)立性答：如果一個(gè)公理系統(tǒng)中的某條公理不能由其余公理證明，即不時(shí)其余公理的推論，則稱(chēng)這跳公理在公理系統(tǒng)中是獨(dú)立的。如果一個(gè)公理系統(tǒng)中的沒(méi)一條工理都是獨(dú)立的，則稱(chēng)這個(gè)公理系統(tǒng)是獨(dú)立的。5試著陳述非歐幾何是怎樣產(chǎn)生的？答：眾所周知，歐幾里得幾何原本是演繹體系的里程碑，雖然它不盡完善，但它確實(shí)是建立科學(xué)

4、演繹體系的最早的代表作，它一經(jīng)問(wèn)世，就引起了學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注，歐幾里得之后的數(shù)學(xué)家們?cè)趯?duì)幾何原本的研究過(guò)程發(fā)現(xiàn)，它的第五公設(shè)的內(nèi)容不象前四條公設(shè)表達(dá)的那么簡(jiǎn)單，同時(shí)它又是在第二十九條命題之后才出現(xiàn)的，于是這些數(shù)學(xué)家很自然提出這樣一個(gè)問(wèn)題：是否底五公設(shè)它不是一條公理，而是一條命題呢？與是他們?cè)噲D去論證第五公設(shè)的獨(dú)立性，在這種論證過(guò)程中，羅巴切夫斯基與黎曼分別建立了新的無(wú)矛盾的科學(xué)演繹體系，即羅氏及何與黎曼幾何，這兩種幾何與歐氏幾何有共同的絕對(duì)幾何公理體系，只是平行公理不同。6簡(jiǎn)述公理系統(tǒng)的完備性。答：如果公理系統(tǒng)的所有模型都是同構(gòu)的，則稱(chēng)這個(gè)公理系統(tǒng)是完備的，或稱(chēng)其具有完備性。7簡(jiǎn)述公理系統(tǒng)的相

5、容性。答：公理系公理系統(tǒng)的相容性是指這個(gè)系統(tǒng)的所有構(gòu)成要素是無(wú)矛盾的。任何一個(gè)公理系統(tǒng)都要滿(mǎn)足無(wú)矛盾性。證明公理系統(tǒng)的相容性常用的方法是模型法。三、選擇題。1 三角形內(nèi)角和等于180度與AA歐氏平行公理等價(jià)B羅氏平行公理等價(jià)C橢圓幾何平行公設(shè)等價(jià)D不可判定2 歐氏幾何與非歐幾何的本質(zhì)區(qū)別為AA平行公設(shè)不同B結(jié)合公理相同C絕對(duì)公設(shè)不同D結(jié)合公理不同3 .設(shè)點(diǎn)A,B,C共線(xiàn)，且在仿射變換下分別變成A',B',C',則A',B',C'三點(diǎn)AA.共線(xiàn)B.三角形頂點(diǎn)C.可能不共線(xiàn)D.可能重合4 正方形在仿射變換下變成BA正方形B.平行四邊形C.菱形D.矩形

6、5 正方形的以下性質(zhì)中哪些是仿射的(1，4)1對(duì)邊平行；2四角相等；3四邊相等；4對(duì)角線(xiàn)互相平分；5對(duì)角線(xiàn)互相垂直；6角被對(duì)角線(xiàn)平分；7對(duì)角線(xiàn)相等；8面積6 在仿射對(duì)應(yīng)下，哪些量不變？C，DA長(zhǎng)度B.角度C.單比D.交比四、計(jì)算與證明題。1求出將點(diǎn)(3,1)變成點(diǎn)(1,3)的繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，再將所得的變換用于拋物線(xiàn)y2x8y180上。解：設(shè)所求的旋轉(zhuǎn)變換為x'xcosysiny'xsinycos則一2于是所求的旋轉(zhuǎn)變換為x'y即xy'y'xyx將此變換用于所給的拋物線(xiàn)得.2_.一一x8x'y180。2.試確定仿射變換，使y軸、x軸的象分別為直線(xiàn)

7、x y 10和x y 1 0 ,且點(diǎn)(1,1)的象為原點(diǎn)。解：所求變換的公式為xX 1V' 1y2x'2y' 2則x 0變成直線(xiàn)1x' 1y' 1 0但由題設(shè)x 0變成x' y' 1 0可知，其中 110221x'1y' 1 0與x' y' 1 0表示同一直線(xiàn)。即y'2x' 0所以1111h因此hxx'y'1同理kyx'y'1此處h,k是參數(shù)。1,所以，所求變換的逆式為又因?yàn)辄c(diǎn)1,1的象為原點(diǎn)，于是h1,kxx'y'1y(x'y'

8、;1)由此得出所求的仿射變換為3.求出將點(diǎn)(2,3)變成點(diǎn)(0,1)的平移變換，在這個(gè)平移變換下，拋物線(xiàn)y2x8y180變成什么曲線(xiàn)?解：設(shè)所求的平移變換為x'xay'yb將已知對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式得02a13b于是a2,b4所以所求的平移變換為x'x2,xx'2即y'y4yy'4將此變換用于所給的拋物線(xiàn)上(y'4)2(x'2)8(y'4)1804.求仿射變換x' 7x y 1的二重直線(xiàn)。y' 4x 2y 4解：設(shè)所求的不變直線(xiàn)為Ax By C 0A,B不同時(shí)為0即在所給的變換下，Ax By C 0對(duì)應(yīng)Ax

9、' By' C 0因?yàn)锳x' By' C A(7x y 1) B(4x 2y 4) C(7A 4B)x ( A 2B)y(A 4B C)7A 4B A所以A 2B B(2)A 4B C C (3)消去A,B,C得展開(kāi)化簡(jiǎn)得(1)(7)(2) 4(1) 0解得 1,3,6由于當(dāng)1時(shí)，A B 0,因此不對(duì)應(yīng)不變直線(xiàn)，分別將3,6代入1，2，得.C八3cAB,C-B和A4B,C02所以不變直線(xiàn)為2x2y30和4xy05 .證明，直線(xiàn)AxByC0將兩點(diǎn)國(guó)對(duì),)與P2(x2,y2)的連線(xiàn)段分成的比是Ax1By1C,Ax2By2c6 .求證：相交于影消線(xiàn)的二直線(xiàn)必射影成兩平

10、行線(xiàn)。證明：設(shè)二直線(xiàn)11和12交于P點(diǎn)，P點(diǎn)在影消線(xiàn)上，11和12經(jīng)射影對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)直線(xiàn)為11和12,則P點(diǎn)對(duì)應(yīng)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。由于射影對(duì)應(yīng)保持結(jié)合性不變，所以P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是11和12的交點(diǎn)，即無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，也就是11/、填空題。1 .設(shè)共線(xiàn)三點(diǎn)A0,2,B(2,0),C(1,1),則(ACB)22 .如果兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，則它們的位置關(guān)系是共線(xiàn)或平行，夾角為0或。3 .空間中三個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們共面，空間中的四個(gè)向量一定線(xiàn)性相關(guān)4 .設(shè)a與b是兩個(gè)非零向量，假設(shè)a與b線(xiàn)性相關(guān)，則ab0o5-已知向量ax1,x2,x3,b%,丫2,丫3,則a與b之間的內(nèi)積ab收乂則2。二、選擇題。1 .以下性質(zhì)或量

11、中哪些是仿射的(1,3,4,8)1線(xiàn)段的中點(diǎn)；2角的平分線(xiàn)；3交比；4點(diǎn)偶的調(diào)和共軻性5角度6三角形的面積7兩相交線(xiàn)段的比8兩平行線(xiàn)段的比9對(duì)稱(chēng)軸10對(duì)稱(chēng)中心2 .設(shè)a與b是兩個(gè)非零向量，假設(shè)ab0,則B。aa與b平行ba與b垂直ca與b線(xiàn)性相關(guān)da與b的夾角為3 .設(shè)a與b是兩個(gè)非零向量，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是a。AabiabBaba|bCab司bDab,卜4 .以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是B,CA.平面上兩個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們不共線(xiàn)；B.平面上兩個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們垂直C.平面上兩個(gè)向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們平行平面上的三個(gè)向量一定線(xiàn)性相關(guān)9A a與b平行5 .設(shè)a與b是兩個(gè)非零向量，假

12、設(shè)a與b交角為銳角。C a與b線(xiàn)性相關(guān)a與b的夾角為三、計(jì)算與證明題。1.設(shè)平面上的點(diǎn)變換分別由2x2y5yy 一表不，求(1) 12；2一11；(3)21；解：1(x2(xy) 2(x2) 3y) 5(x 2) 13x7xy2y1112假設(shè)求1 ,只需從1中求出x,y即可。所以x y 2x 7y 5x 2y 17x2 1 :3(x 2y 3) (2x 5y 1)x2 1 :y (x 2y 3) 2 ，即yx 3y 4x 2y 51 x y 21_.2 :4假設(shè)求2 ,只需從2中求出x，y即可，所以 y x y 22 .求線(xiàn)坐標(biāo)1,0,1所表示的直線(xiàn)方程。解：1,0,1表示直線(xiàn) x 0或x 1

13、 03 .求線(xiàn)坐標(biāo)1,1, 1所表示的直線(xiàn)方程。解：1,1,1表示直線(xiàn)x1 x2 x30或x y 1 04 .求線(xiàn)坐標(biāo) 2,2, 2所表示的直線(xiàn)方程。解：2,2, 2表示直線(xiàn)x1x2x3 0或x y 1 05 .求線(xiàn)坐標(biāo)0,1,1所表示的直線(xiàn)方程。解：0,1,1表不直線(xiàn)x2 x3 0或y 1 06 .試用向量法證明：等腰三角形的中線(xiàn)垂直于底邊。證明：設(shè)4 ABC為等腰三角形，記 AB a,AC b,則"BC b 1 ,并設(shè)中線(xiàn) AD m ,見(jiàn)圖一1 -m -a1b2上式兩端同ba做內(nèi)積，得22一一_1-121-2mba-abba5bl-|ai,根據(jù)已知條件所以mba0,即AD，BC。

14、7 .證明：使向量?jī)?nèi)積不變的仿射變換是正交變換。證明：設(shè)在使二向量?jī)?nèi)積不變的仿射變換下，點(diǎn)A變成點(diǎn)A，點(diǎn)B變成點(diǎn)B,則.2.2d2(A,B)ABABABABABABd2(A,B)所以d(A,B)d(A,B)d表示兩點(diǎn)間的距離。由于這個(gè)變換保持兩點(diǎn)間的距離不變，因此它是正交變換8 .試用向量法證明：半圓的圓周角是直角。證明：設(shè)O為半圓的圓心，AB為直徑，C為半圓上任意一點(diǎn)，見(jiàn)圖,要證明/ACBOBa,設(shè)OC c,由于OA,OB,OC都是圓的半徑，所以由圖有BCa, AC c aBCAC(c a)(c a)c2所以即/ACB9 .假設(shè)存在，求以下各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)(1)(舊55,3)(2).(0,1,0)。解：.存在，設(shè)區(qū)2以3)Q3，J53)，則這個(gè)點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為(x,y)(-,-)(,X3X333(2).不存在，因?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒(méi)有非齊次坐標(biāo)。10 .假設(shè)存在，求以下各點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)(1) (0,5,6),(2)(1,8,0)。xXc5解：(1).存在,設(shè)(X1,X2,X3)(0,5,6),則這個(gè)點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)為(X,y)(,)(0,),X3X36(2) .不存在，因?yàn)闊o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒(méi)有非齊次坐標(biāo)。11 .假設(shè)存在，求以下各點(diǎn)的非齊