小波分析與實(shí)例

1、小波分析小波分析講解傅里葉變換與小波分析小波分析的基本知識(shí)多尺度分析與Mallat算法小波分析的應(yīng)用1、傅里葉變換與小波分析小波分析是近年來(lái)迅速發(fā)展起來(lái)的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。除了在數(shù)學(xué)學(xué)科本身中的價(jià)值外，小波分析在許多非數(shù)學(xué)的領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。1、傅里葉變換與小波分析一、傅里葉變換 對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，做完FFT（快速傅里葉變換）后，可以在頻譜上看到清晰的四條線，信號(hào)包含四個(gè)頻率成分。1、傅里葉變換與小波分析頻率隨著時(shí)間變化的非平穩(wěn)信號(hào)，進(jìn)行FFT后：如左圖，最上邊的是頻率始終不變的平穩(wěn)信號(hào)。而下邊兩個(gè)則是頻率隨著時(shí)間改變的非平穩(wěn)信號(hào)，它們同樣包含和最上信號(hào)相同頻率的四個(gè)成分。做FFT后，我們發(fā)現(xiàn)這三

2、個(gè)時(shí)域上有巨大差異的信號(hào)，頻譜（幅值譜）卻非常一致。尤其是下邊兩個(gè)非平穩(wěn)信號(hào)，我們從頻譜上無(wú)法區(qū)分它們，因?yàn)樗鼈儼乃膫€(gè)頻率的信號(hào)的成分確實(shí)是一樣的，只是出現(xiàn)的先后順序不同。1、傅里葉變換與小波分析 可見(jiàn)，傅里葉變換處理非平穩(wěn)信號(hào)有天生缺陷。它只能獲取一段信號(hào)總體上包含哪些頻率的成分，但是對(duì)各成分出現(xiàn)的時(shí)刻并無(wú)所知。因此時(shí)域相差很大的兩個(gè)信號(hào)，可能頻譜圖一樣。然而平穩(wěn)信號(hào)大多是人為制造出來(lái)的，自然界的大量信號(hào)幾乎都是非平穩(wěn)的，所以在比如生物醫(yī)學(xué)信號(hào)分析等領(lǐng)域的論文中，基本看不到單純傅里葉變換這樣簡(jiǎn)單的方法。事件相關(guān)電位股市折線圖1、傅里葉變換與小波分析加窗傅里葉變換（短時(shí)傅里葉變換STFT）

3、1、傅里葉變換與小波分析窗劃分太窄，窗內(nèi)的信號(hào)太短，會(huì)導(dǎo)致頻率分析不夠精準(zhǔn)，頻率分辨率差。窗劃分太寬，時(shí)域上又不夠精細(xì)，時(shí)間分辨率低。1、傅里葉變換與小波分析小波定義：小波動(dòng)性：0)(dxx小波的小波的3 個(gè)特點(diǎn)個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過(guò)濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí)， Fourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：MOMMOwf,log21、傅里葉變換與小波分

4、析1、傅里葉變換與小波分析小波運(yùn)算的步驟（1）選擇小波函數(shù)，并與分析信號(hào)起點(diǎn)對(duì)齊；（2）計(jì)算在這一時(shí)刻要分析信號(hào)與小波函數(shù)的逼近程度，即小波變換系數(shù)C。C越大，就意味著此刻信號(hào)與所選擇的小波函數(shù)波形越相近；（3）將小波函數(shù)沿時(shí)間軸右移一個(gè)單位時(shí)間，然后重復(fù)（1）、（2）步驟，求出變換系數(shù)C，直到覆蓋整個(gè)信號(hào)長(zhǎng)度；小波運(yùn)算的步驟 （4）將所選擇的小波函數(shù)尺度伸縮一個(gè)單位，然后重復(fù)步驟（1）、（2）、（3）； （5）對(duì)所有的伸縮尺度重復(fù)步驟（1）、（2）、（3）、（4）。2、小波分析的基本知識(shí)小波基礎(chǔ)術(shù)語(yǔ)小波基礎(chǔ)術(shù)語(yǔ):緊支撐緊支撐:對(duì)于函數(shù)f(x)，如果自變量x在0附近的取值范圍內(nèi)，f(x)能取到

5、值；而在此之外，f(x)取值為0。 那么這個(gè)函數(shù)f(x)就是緊支撐函數(shù)，而這個(gè)0附近的取值范圍就叫做緊支撐集。 比如：在(-1,1)之間的高斯函數(shù)。L（R）:滿足 成立的自變量為實(shí)數(shù)的實(shí)值或復(fù)值函數(shù)f的全體。 L（0,2）：f（x+2）=f（x），dttf2)(dttf202)(2、小波分析的基本知識(shí)小波定義： 設(shè)L（R）L（R），在R上不幾乎處處為0，且滿足 則稱為小波。其中 為的傅里葉變換。dtetit)(21)(d| )( |C22、小波分析的基本知識(shí) abtatba21, 0,RaRb 稱為依賴參數(shù)a，b的連續(xù)小波，叫基本小波或小波。若是窗函數(shù)，就叫為窗口小波函數(shù)，一般我們恒假定為窗口

6、小波函數(shù)。2、小波分析的基本知識(shí)a為尺度參數(shù)2、小波分析的基本知識(shí)b為位移參數(shù)2、小波分析的基本知識(shí)小波正變換：小波逆變換： dtttfbaWbaf)()(),(),()()(2RLtf2),()(),(1)(adadbtbaWCtfbaf 是f（t）在函數(shù) 上的投影。),(baWf)(),(tba一維連續(xù)小波的例子：1. Haar小波：2022-4-121 others 01t1/2 1,-1/2t0 1,(t), Haar小波是一組相互正交的函數(shù)集，是一個(gè)最簡(jiǎn)單的時(shí)域不連續(xù)的二進(jìn)小波，Haar的應(yīng)用十分廣泛，常用與圖像處理。一維連續(xù)小波的例子2. Mexico草帽小波：2022-4-122

7、2t -2412)t-(132(t)/e 草帽函數(shù)又稱為Marr小波。其在時(shí)域、頻域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函數(shù)不存在，主要用于信號(hào)處理和邊緣檢測(cè)。一維連續(xù)小波的例子：3. Morlet小波：2022-4-1232-ttj2(t)/ee 式中，i表示虛數(shù)，w表示常數(shù)。Morlet小波不具有正交性的同時(shí)也不具有緊支集。其特點(diǎn)是能夠獲取信號(hào)中的幅值和相應(yīng)的信息，廣泛應(yīng)用于地球物理信號(hào)處理中。Daubechies(dbN)小波系（多貝西） 多貝西小波是以英格麗多貝西的名字命名的一種小波函數(shù)，多貝西小波主要應(yīng)用在離散型的小波轉(zhuǎn)換，是最常使用到的小波變換。多貝西小波是一種正交小波，所以它很容

8、易進(jìn)行正交變換。 對(duì)于有限長(zhǎng)度的小波，應(yīng)用于快速小波變換時(shí)，會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)組成的數(shù)列：一是作為高通濾波器的系數(shù)，稱作小波濾波器；二是低通濾波器的系數(shù)，稱為調(diào)整濾波器（尺度濾波器）。 我們通常以濾波器長(zhǎng)度N來(lái)形容濾波器為dbN，例如N=2的多貝西小波寫(xiě)作db2；N=4的多貝西小波寫(xiě)作db4。Daubechies(dbN)小波系（多貝西）圖1.4小波函數(shù)表小波函數(shù)表2、小波分析的基本知識(shí)連續(xù)小波變換 這就是信號(hào)f(t)的連續(xù)小波變換公式，其中參數(shù)a和b都是連續(xù)變化的參數(shù)，a為尺度參數(shù)（在某種意義上就是頻率的概念），b是時(shí)間參數(shù)或平移參數(shù)。不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刂v，Wf(a,b)指的是對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行小波變換后當(dāng)

9、頻率為a時(shí)間為b時(shí)的變換值?？梢钥闯觯痪S信號(hào)f(t)經(jīng)過(guò)小波變換后將變成二維信號(hào)。2、小波分析的基本知識(shí)連續(xù)小波變換例：已知一信號(hào)f(t)3sin(100t)2sin(68t)5cos(72t)，且該信號(hào)混有白噪聲，對(duì)該信號(hào)進(jìn)行連續(xù)小波變換。小波函數(shù)取db3，尺度為1、1.2、1.4、1.6、3。其MATLAB程序如下：t0：0.01：1；f3*sin(100*pi*t)2*sin(68*pi*t)5*cos(72*pi*t)randn(1，length(t)；coefscwt(f，1：0.2：3，db3，plot)；title(對(duì)不同的尺度小波變換系數(shù)值)；Ylabel(尺度)；Xlabe

10、l(時(shí)間)；2、小波分析的基本知識(shí)連續(xù)小波變換 小波變換的系數(shù)如圖所示的灰度值圖表征，橫坐標(biāo)表示變換系數(shù)的系號(hào)，縱坐標(biāo)表示尺度，灰度顏色越深，表示系數(shù)的值越大。離散小波變換：在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此，有必要討論一下連續(xù)小波a，b(t)和連續(xù)小波變換Wf(a，b)的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)a和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間變量t的。 在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)這里，bR，aR，且a0，是容許的，為方便起見(jiàn)，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)?、小波分析的基本知識(shí)離散小波變換)()(2/1,abtatbad)(

11、0C2、小波分析的基本知識(shí)二進(jìn)小波變換2、小波分析的基本知識(shí)二進(jìn)小波變換定義：設(shè)yj，k(t)L2(R)，且滿足(1.64)由此得到的小波j，k(t)稱為二進(jìn)正交小波。 2( )1j Z R*22d)2()(21)(),()(tkttfktfkfWjjjjZ22Z22d)2()()()()(jjjkktxfWtkfWtfjjjj3、多尺度分析與Mallat算法多分辨分析 為了改變信號(hào)的分辨率使得人們可以根據(jù)特定的目標(biāo)處理相關(guān)的細(xì)節(jié)，1983年，P.J.Burt與E.A.Adelson在計(jì)算機(jī)視覺(jué)的應(yīng)用中引進(jìn)了一個(gè)能夠處理低分辨率圖像，同時(shí)根據(jù)需要進(jìn)一步提高圖像分辨率的多分辨率Laplace塔式

12、算法。1986年Mallat和Meyer構(gòu)造了多分辨分析公式。隨著多分辨分析的出現(xiàn)，構(gòu)造小波的困難得到了較圓滿的解決。為了對(duì)信號(hào)進(jìn)行較高分辨率的處理，需要一種所謂的“增量信息”。為此，Mallat選用正交小波基作為對(duì)“增量信息”進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，并最終發(fā)展成為了多分辨分析。3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法參考：M. Vetterli,”Wavelets and Subband Coding “, Prentice Hall PTR, 1995 p.113、多尺度分析與Mallat算法濾波器族：下圖是一系列帶通濾波器的頻域圖3、多尺度分析與Mallat算法一個(gè)信號(hào)離散

13、信號(hào)x(n)經(jīng)過(guò)這一系列帶通濾波器濾波后，將得到一組系數(shù)Vi(n)。如下圖所示：這樣，我們就把一個(gè)信號(hào)分解成了不同頻率的分量。只要這些帶通濾波器的頻率能夠覆蓋整個(gè)原信號(hào)x(n)的頻譜范圍，反變換時(shí)，把這些不同頻率信號(hào)，按其分量大小組合起來(lái)，就可得到原信號(hào)x(n)。這樣一組帶通濾波器就稱為濾波器族。3、多尺度分析與Mallat算法濾波器族能實(shí)現(xiàn)將信號(hào)分為不同頻率分量，從而實(shí)現(xiàn)分解信號(hào)并分析信號(hào)的目的。但是在濾波器族的計(jì)算中，我們需要指定頻域分割方式。研究者們給出了一種分割方式，即均分法，從而引出了子帶編碼的概念。子帶編碼通過(guò)使用均分頻域的濾波器，將信號(hào)分解為若干個(gè)子帶。這樣是可以實(shí)現(xiàn)無(wú)冗余且無(wú)誤

14、差地對(duì)數(shù)據(jù)分解及重建目的。但是Mallat在1989年的研究表明，如果只分為2個(gè)子帶，可以實(shí)現(xiàn)更高效的分解效率。從而引入了多分辨率分析（MRA）。3、多尺度分析與Mallat算法多分辨率分析： 如果子帶編碼時(shí)將信號(hào)帶寬先對(duì)分為高通（實(shí)際為帶通）和低通兩個(gè)部分，對(duì)應(yīng)于兩個(gè)濾波器。然后對(duì)低通部分繼續(xù)等分。下圖為子帶編碼示意圖。3、多尺度分析與Mallat算法 從圖中看出，每次分割保留高通部分的濾波結(jié)果，因?yàn)檫@里已經(jīng)是信號(hào)的細(xì)節(jié)了，而且通常我們分析的信號(hào)，其絕大部分能量都在低頻部分。所以高頻部分的分割可以到此為止，但是低通部分仍然有更多的細(xì)節(jié)可以劃分劃分出來(lái)，所以將低通部分繼續(xù)等分。分割迭代進(jìn)行。

15、這樣做的優(yōu)點(diǎn)是，我們只需要設(shè)計(jì)兩個(gè)濾波器，然后每次迭代將其對(duì)分。缺點(diǎn)是，頻域的分割方式確定。對(duì)于某些信號(hào)來(lái)說(shuō)，這樣的劃分并不是最優(yōu)的。3、多尺度分析與Mallat算法 這里仍然有個(gè)問(wèn)題。每次都將頻譜分為剩下的一半，那實(shí)際上，我們永遠(yuǎn)也取不到整個(gè)頻段。就好比一杯水，每次都只許喝一半，那將永遠(yuǎn)無(wú)法把它完全喝完。所以，這樣分割后的函數(shù)仍然是無(wú)限多的。為解決這個(gè)問(wèn)題，終于引出了我們最初想討論的尺度函數(shù)的概念。 在上圖中，我們對(duì)頻域進(jìn)行分割，當(dāng)分割到某個(gè)頻率j時(shí)，不再繼續(xù)分割了，剩下的所有低頻部分由一個(gè)低通濾波器來(lái)表示，這就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)頻譜的完整分割。這個(gè)剩余低通濾波器就是尺度函數(shù)。事實(shí)上，很容易看出

16、，尺度函數(shù)無(wú)非就是某級(jí)多分辨率分析中的低通濾波器。也就是圖中最下面一級(jí)的LP。3、多尺度分析與Mallat算法load noissinc = cwt(noissin,1:48,db4);c = cwt(noissin,1:48,db4,plot);c = cwt(noissin,2:2:128,db4,plot);3、多尺度分析與Mallat算法3、多尺度分析與Mallat算法 SA3D3D2D1 設(shè)以Vj表示圖1.17分解中的低頻部分Aj，Wj表示分解中的高頻部分Dj，則Wj是Vj在Vj1中的正交補(bǔ)，即)(1ZjVWVjjjmjmjjjjVWWWV13、多尺度分析與Mallat算法 SA3D

17、3D2D1 若令fjVj代表分辨率為2j的函數(shù)fL2(R)的逼近(即函數(shù) f 的低頻部分或“粗糙像”)，而djWj代表逼近的誤差(即函數(shù) f 的高頻部分或“細(xì)節(jié)”部分)，則上式意味著：fNf1fdf2d2d1fN-1dN1d2d1 所以上式可簡(jiǎn)寫(xiě)為 這表明，任何函數(shù) fL2(R)都可以根據(jù)分辨率為2N時(shí) f 的低頻部分(“粗糙像”)和分辨率2j(1 j N)下f的高頻部分(“細(xì)節(jié)”部分)完全重構(gòu)，這恰好是著名Mallat塔式重構(gòu)算法的思想。NiiNdff13、多尺度分析與Mallat算法小波重構(gòu) Mallat算法中僅僅對(duì)低頻系數(shù)進(jìn)行分解，但是對(duì)于有些信號(hào)來(lái)說(shuō)，對(duì)高頻系數(shù)進(jìn)行分解更加合適。小波包

18、分解即將低頻系數(shù)和高頻系統(tǒng)都進(jìn)行同樣的分解，然后選取一個(gè)最合適的分解路徑。然后通過(guò)構(gòu)建一個(gè)代價(jià)函數(shù)求來(lái)對(duì)于路徑進(jìn)行評(píng)價(jià)，選取最優(yōu)路徑。3、多尺度分析與Mallat算法4、小波分析的應(yīng)用小波的信號(hào)分解與求頻小波在圖像壓縮中的應(yīng)用小波變換在圖像去噪與圖像增強(qiáng)中的應(yīng)用機(jī)械故障診斷小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)4,小波的應(yīng)用小波的信號(hào)分解與求頻clear all clcfs=1024; %采樣頻率f1=100; %信號(hào)的第一個(gè)頻率f2=300; %信號(hào)第二個(gè)頻率t=0:1/fs:1;s=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t); %生成混合信號(hào)tt=wpdec(s,3,dmey); %小波包分解，

19、3代表分解3層plot(tt) wpviewcf(tt,1); 4,小波的應(yīng)用小波的信號(hào)分解與求頻65-128Hz257-320Hz4,小波的應(yīng)用小波在圖像壓縮中的應(yīng)用 小波變換的基本思想是用一組小波或基函數(shù)表示一個(gè)函數(shù)或信號(hào)，例如圖像信號(hào)。以哈爾（Haar）小波基函數(shù)為例，基本哈爾小波函數(shù)（Haar wavelet function）定義如下： 1, 當(dāng)0 x1/2 (x) = -1, 當(dāng)1/2x350) c(I)=2*c(I); else c(I)=0.5*c(I); endendnx=waverec2(c,s,sym4);%分解系數(shù)重構(gòu)subplot(122);image(nx);tit

20、le(增強(qiáng)圖像)%畫(huà)出增強(qiáng)圖像4,小波的應(yīng)用機(jī)械故障診斷當(dāng)機(jī)械運(yùn)行發(fā)生故障時(shí)，其振動(dòng)信號(hào)中往往是首先出現(xiàn)相應(yīng)的瞬態(tài)脈沖波形。能否及時(shí)準(zhǔn)確地予以捕捉分析，常常是能否及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障，采用相應(yīng)對(duì)策，避免出現(xiàn)重大損失的先決條件。傳統(tǒng)的傅里葉分析和時(shí)域分析由于需要的數(shù)據(jù)量較大，難以及時(shí)作出有效的診斷，而小波分析具有良好的時(shí)域定位特征，只需要少數(shù)數(shù)據(jù)就可以對(duì)振動(dòng)信號(hào)在時(shí)域和頻域進(jìn)行定量分析，從而為及時(shí)發(fā)現(xiàn)故障提供了一種有力的分析手段。4,小波的應(yīng)用機(jī)械故障診斷齒輪裂紋和斷裂41%齒面疲勞31%齒面擦傷和劃痕10%齒面磨損10%其他故障類(lèi)型8%4,小波的應(yīng)用機(jī)械故障診斷clc; clear all; clos

21、e all;load leleccum; % 載入信號(hào)數(shù)據(jù)s = leleccum;Len = length(s);ca1, cd1 = dwt(s, db1); % 采用db1小波基分解a1 = upcoef(a, ca1, db1, 1, Len); % 從系數(shù)得到近似信號(hào)d1 = upcoef(d, cd1, db1, 1, Len); % 從系數(shù)得到細(xì)節(jié)信號(hào)s1 = a1+d1; % 重構(gòu)信號(hào)figure;subplot(2, 2, 1); plot(s); title(源信號(hào));subplot(2, 2, 2); plot(ca1); title(一層小波分解的低頻信息);subpl

22、ot(2, 2, 3); plot(cd1); title(一層小波分解的高頻信息);subplot(2, 2, 4); plot(s1, r-); title(一層小波分解的重構(gòu)信號(hào));4,小波的應(yīng)用機(jī)械故障診斷4,小波的應(yīng)用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入預(yù)測(cè)領(lǐng)域使得預(yù)測(cè)理論及方法產(chǎn)生了質(zhì)的飛越。目前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有分布式、聯(lián)想。記憶和很強(qiáng)的泛化能力，以及自學(xué)習(xí)和容錯(cuò)性可以以任意精度逼近非線性函數(shù)等優(yōu)點(diǎn)。 但是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于預(yù)測(cè)中存在如下問(wèn)題： 難以確定網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)； 訓(xùn)練速度較慢； 容易陷入局部次優(yōu)點(diǎn)等。4,小波的應(yīng)用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)小波方法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的方法有兩種：一種是先通過(guò)小波對(duì)網(wǎng)絡(luò)流量時(shí)間序列進(jìn)行小波分解，得到小波變換尺度系數(shù)序列和小波系數(shù)序列，然后輸入到一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中加以訓(xùn)練得到預(yù)測(cè)。二是把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的傳輸函數(shù)用小波函數(shù)代替，這樣從本質(zhì)上改變了預(yù)測(cè)模型的結(jié)構(gòu)，在不影響預(yù)測(cè)精度的前提下，大大縮短了模型的訓(xùn)練時(shí)間，提高了訓(xùn)練速度，克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部次優(yōu)點(diǎn)的缺點(diǎn)，而且把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層的傳輸函數(shù)用小波函數(shù)代替、算法易實(shí)現(xiàn)和推廣。4,小波的應(yīng)用小