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文檔簡介
1、專題講座小學數(shù)學中培養(yǎng)學生推理能力的教學策略周愛東 順義區(qū)教育研究考試中心小學生在數(shù)學課上學習一點有關推理的知識,是課標指定的一個重要教學內(nèi)容。 在課標(修改稿)的第三頁倒數(shù)第一行,就有明確的規(guī)定:“ 在數(shù)學教學中,應當注 重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直覺、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力 和模型思想?!?課標還具體地作出了解釋“推理能力的發(fā)展應貫穿在整個數(shù)學學習過程 中。推理是數(shù)學的基本思維方式, 也是人們學習和生活經(jīng)常使用的思維方式。 推理一般包括 合情推理和演繹推理, 合情推理是從已有的事實出發(fā), 憑借經(jīng)驗和直覺, 通過歸納和類比推 斷某些結果;演繹推理是從已有的事實(包括
2、定義、公理、定理等)和確定的規(guī)則(包括運 算的定義、法則、順序等)出發(fā)按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中,合 情推理用于探索思路,發(fā)現(xiàn)結論; 演繹推理用于證明結論。 在小學階段, 主要學習合情推理, 即歸納推理和類比推理。而歸納推理又多表現(xiàn)為“不完全歸納推理”。一、知識結構、邏輯推理及相互間的關系在小學數(shù)學教學中,構建良好的數(shù)學知識結構是培養(yǎng)發(fā)展學生邏輯思維能力的一個重 要途徑。烏辛斯基早就指出:“所謂智力發(fā)展不是別的,只是很好組織起來的知識體系?!?而知識體系因為其內(nèi)在的邏輯結構而獲得邏輯意義。數(shù)學中基本的概念、性質(zhì)、法則、 公式 等都是遵循科學的邏輯性構成的?!皵?shù)學作為一種演
3、繹系統(tǒng),它的重要特點是,除了它的基本概念以外,其余一切概念 都是通過定義引入的” 。這種演繹系統(tǒng)一方面使得數(shù)學內(nèi)容以邏輯意義相關聯(lián)。 另一方面從 知識結構所蘊含的邏輯思維形式中得到的研究方法 (如邏輯推理等) ,再去獲取更多的知識。例如:在教學正方形面積計算公式時 , , 我們通過演繹推理得到的:長方形面積=長乂寬正方形長=寬因此得出正方形面積=邊長 X 邊長數(shù)學中的這種推理形式一旦被學生所熟識,他們又會運用它在已有知識的基礎上作出 新的判斷和推理。、邏輯推理在教與學過程中的應用根據(jù)奧蘇貝爾的認知同化理論,學生知識的習得和構建,主要依賴認知結構中原有的適當觀念,去影響和促進新的理解、掌握,溝通
4、新舊知識的互相聯(lián)系, 形成新的認知結構系 統(tǒng),這是數(shù)學知識學習過程中的同化現(xiàn)象。它包含三方面的內(nèi)容:一是新舊知識建立下位聯(lián) 系;二是新舊知識建立上位聯(lián)系;三是新舊知識建立聯(lián)合意義。這三方面與邏輯結構中的三 類推理恰好建立相應的聯(lián)系。1.1. 下位關系一一演繹推理2.2. 上位關系歸納推理3.3. 并列關系一一類比推理(一)下位關系一一演繹推理如果原有的認知結構觀念極其抽象,概括性和包容性高于新知識,新舊知識建立下位聯(lián)系、新知識從屬于舊知識時,那么宜適當運用演繹推理的規(guī)則,由一般性的前提推出特殊性的結論?!把堇[的實質(zhì)就是認為每一特殊(具體)情況應當看作一般情況的特例”。為了得以 關于某一對象的具
5、體 知識,先要找出這一對象的類(最近的類概念),再將這一對象的類 的屬性應用于哪個對象。例如:由四條線段圍成的圖形叫做四邊形。長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是由四條線段圍成的圖形。那么這些圖形都是 四邊形。再如:兩種量分別用 x x 和 y y 表示,若 y/y/ x x = k k (一定),則 x x 和 y y 是成正比例的量。 同圓中周長比半徑=刪頂說之砒相對應IfflR如識If寶下烷黑i-鼻姓ML春峠草總上葦拖產(chǎn)去財托加X不魅產(chǎn)生上竝薫廉,MMimRM樓皋旳赴咼鼻豎曲總戈束莊真比龍 -_1理:禪脣的人卑唏糾號含二、斷IRIR知識立上愎嚥黑:Ak-歸辭ft瑞從轉出一經(jīng)垃杲骼2 2
6、n (定)。同圓中周長和半徑是成正比例的量。當學生理解這種推理的順序,且懂得要使演繹推理正確,首先要前提正確,并學會使 用這樣的語言:只有兩個因數(shù)( 1 1 和它本身)的數(shù)是質(zhì)數(shù);101101 只有兩個因數(shù);101101 是質(zhì)數(shù)。那么,符合形式邏輯的演繹法則就初步被學生所掌握。在知識層面中,這種類屬過程的多次進行,就導致知識不斷產(chǎn)生新的層次,其邏輯結 構就越加嚴密,新的知識也就會不斷分化和精確化, 就可以逐漸演繹出新的類屬性的具體知 識。教學中正確把握這種結構,用演繹 推理的手段組織學習過程,不但能培養(yǎng)學生的思考 方法,理解內(nèi)容的邏輯結構,還能提高學生的模式辨認能力,縮短推理過程,快速找到解題
7、途徑。比如:運用乘法分 配律簡便運算時, 學生必須以清晰、 穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎, 才能實現(xiàn)簡算。a a x c c + b b x c c = ( a a + b b)x c c對比題:9999 x 9999 + 9999 x 1 1 = 9999 x (9999 + 1 1)=9900=99009999 x 9999 99991919 x 8686 1414 x 26261919 x ( ( 8686 1414 ) )(二)上位關系歸納推理如果原有認識結構已形成幾個觀念,要在原有的觀念上學習一個抽象、概括和包容性高于舊知識的新知識,即新舊知識建立上位聯(lián)系時,那么適當運用歸納推理的規(guī)則
8、,可由特殊的前提推出一般性的結論。當需要研究某一對象集時,先要研究各個對象(情況),從中 找出整個對象集所具有的性質(zhì),這就是歸納推理。歸納推理的基礎是觀察和試驗,是從具體的、特殊的情況過渡到一般情況(結論、推論)。例如:在學習兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)時,先讓學生列舉出多個兩個奇數(shù)相加的例子,最后得出兩個奇數(shù)相加和是偶數(shù)的結論。1 1 和 2 2 互質(zhì),1 1 和 3 3 互質(zhì),1 1 和 4 4 互質(zhì)T1 1 和任意一個自然數(shù)互質(zhì)。2 2 和 3 3 互質(zhì),3 3 和 4 4 互質(zhì),4 4 和 5 5 互質(zhì)T相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。3 3 和 5 5 互質(zhì),5 5 和 7 7 互質(zhì),7 7 和 9
9、9 互質(zhì)T相鄰的兩個奇數(shù)互質(zhì)。教材中關于概念的形成,運算法則和運算定律、性質(zhì)得出,一般是通過歸納推理得到的。運用歸納推理傳授知識時,要根據(jù)學生的實際經(jīng)驗,選取典型的特例,并能夠通過典型特例的推理得出一般性的結論。又要用這個“一般結論”,去解決具體特例。在教與學的進 程中,歸納和演繹不是孤立地出現(xiàn)的,它們緊密交織在一起。(三)并列關系一一類比推理如果新舊知識間既不產(chǎn)生從屬關系,又不能產(chǎn)生上位關系,但是新知識同原有知識有某種吻合關系或類 比關系,則新舊知識間可產(chǎn)生并列關系。那么可以運用類比推理。教材中,商不變性質(zhì)和分數(shù)基本性質(zhì),乘數(shù)是整數(shù)的乘法和乘數(shù)是分數(shù)的乘法等,學習這類與舊知識處于并列結合關系
10、的新知識時, 既不能以上位演繹推理到下位, 又不能以下 位歸納推理到上位,只能采用類比推理。如五年級學習“一輛卡車平均每小時行 4040 千米,小時行了多少千米”時,學生還無法根據(jù)小數(shù)乘法的意義列出此題的解答等式。所以, 中一般用整數(shù)乘法中的數(shù)量關系來類推。新舊知識的三種聯(lián)系與三類推理相呼應,不是一種巧合,是知識結構本身科學的邏輯結構使然。正確地運用邏輯推理的原則可以將學生的認識結構分化的程度提高,教師會不斷注意新知識的穩(wěn)定性、清晰性,新知識的固定點、生長點。數(shù)學教學更富有科學意義。三、在小學數(shù)學教學中培養(yǎng)學生推理能力的策略(一)新知識轉化舊知識的學習中,溝通的策略。(二)習得新知以后深化舊知
11、,用新的視角看舊知的策略。(三)在學習新知時,關鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的策略。(四)設計開放練習,培養(yǎng)學生推理能力的策略。(五)構建可操作的教學模式,培養(yǎng)學生推理能力的策略。(一)新知識轉化舊知識的學習中,溝通的策略1 1立體圖形的體積計算,分為兩個階段,長、正方體體積;圓柱、圓錐的體積。學習了圓柱體積計算之后,可以把長方體,正方體,圓柱都看成是柱體, 他們的體積都可以用底面積乘高來計算。如圖,它們的體積公式可以統(tǒng)一成(V V = shsh )。2 2學習了小數(shù)除法,要溝通整數(shù)除法中有余數(shù)的除法,和小數(shù)除法的關系。例如:教師設計的開放練習;甲數(shù)除以乙數(shù)的商是1212,余數(shù)是 8 8,如果商用
12、小數(shù)表示是,那么甲數(shù)是(),教學A Vt=abhI乙數(shù)是()。(二)學了新知以后深化舊知,用新的視角看舊知的策略學習了分解質(zhì)因數(shù)之后,可以深化整除的概念。A A = 2 2 X 3 3 X 5 5; B B = 2 2 X 3 3 2 2 X 5 5 因為我們知道 B B 包含 A A 的所有因數(shù),那 么 B B 是 A A 的倍數(shù),A A 是 B B 的因數(shù)。質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念,是依據(jù)一個數(shù)的因數(shù)個數(shù)多少來分類建立概念的。學習了分解質(zhì) 因數(shù)的概念后,學生又認識到,任何一個合數(shù)都可以表示成幾個質(zhì)因數(shù)相乘的形式。教師應及時深化概念。從新的角度看舊知。(三)在學習新知時,關鍵處設問引發(fā)思考點撥思路的
13、策略1 1.關鍵處點撥:案例:商不變的性質(zhì)教學片段。首先是計算:8 8 0 0 十 4=4= ( ) + ()學生都能找到一個正確答案,方法無一例外都 是先算出商 2020 ,然后想哪兩個數(shù)相除商是 2020 ,學生很難將兩個算式中的被除數(shù)和除數(shù) 建立起聯(lián)系。第二是觀察:我寫出一組算式:2020 - 2=102=104040 - 4=104=108080 - 8=108=10 ,讓學生說說發(fā)現(xiàn)了什么學生都發(fā)現(xiàn)了商沒變,被除數(shù)和除數(shù)變了,具體說說怎樣變了有的學生說被除數(shù)增加了,除數(shù)也增加了,有的學生說被除數(shù)擴大 了,除數(shù)也擴大了,學生習慣上從上向下觀察,從直觀上感知被除數(shù)和除數(shù)發(fā)生了變化,增 加
14、了或擴大了,但對于被除數(shù)和除數(shù)變化之中的內(nèi)在聯(lián)系卻很難發(fā)現(xiàn)。如何讓學生主動探求被除數(shù)和除數(shù)的變化規(guī)律,并有所發(fā)現(xiàn)呢我通過對情境的加工, 提取出數(shù)學實例,學生在觀察、猜想、驗證、反思等學習過程中,運用不完全歸納法總結出 商不變的性質(zhì),從而豐富學生探索規(guī)律的數(shù)學活動經(jīng)驗。我充分利用教材中猴王分桃子的情境:3 3 只小猴子,猴王給了 6 6 個桃子,小猴子說不夠不夠,每人才 2 2 個桃子,太少了。 猴王說:“少沒關系,我有神奇寶盒,那給你們變一變,”猴王利用寶盒變成: 6060 個桃子分給 3030 個小猴子, 600600 個桃子分給 300300 只小猴子。600600 和 300300 ,
15、你們猜結果怎樣真讓你們猜對了小猴子還是覺得少,奇怪了,桃子明 明是越變越多了,小猴子為什么還說不夠呢學生很容易發(fā)現(xiàn)雖然桃子也就是被除數(shù)多了,分給猴子的只數(shù)也就是除數(shù)也多了,每個人分得的桃子也就是商沒變。? ? 真是神奇,被除數(shù)和除數(shù)同時都變了,商竟然沒變,那是不是不管被除數(shù)和除數(shù)怎 樣變,商都不變呢? ? 提出猜想:你認為被除數(shù)、除數(shù)發(fā)生怎樣的變化,商就能不變呢2 2在觀察中引發(fā)思考。3 3.在確定思考方向處教師應設問點撥蜘蛛有 8 8 條腿,蜻蜓有 6 6 條腿?,F(xiàn)在這兩種小蟲共1818 只,共有 118118 條腿。問蜘 蛛有幾只呻迭令余敖怎也求131同葩比校90商陰巧站RS700Q |高
16、鳩語淺訓間病比戦;:怕庵庫理?hft虹祥闌億蘭符題棗龍址成右限屮曲.衛(wèi)忡乞 砧,22233030-A- A.6a崔現(xiàn)煎中引竄恩培G0和竝313 1 WKW0C7047fl4蜘蛛8腿876蜻艇6腿g10111213腿條126124122120ita |列表解答雞兔問題,可以從中間設數(shù)枚舉。但是下一個數(shù)需要思考。確定試算的方向。教師應設問點撥。(四)設計開放練習,培養(yǎng)學生推理能力的策略。1 1 追根尋源:如果下圖中圓的面積等于長方形的面積,那么圓的周長()長方形的周長。A.A.等于 B.B.大于 C C 小于圓的周長是厘米,陰影部分的周長是多少厘米陰影部分的周長等于圓的周長加1/41/4 圓周=X
17、( 1 1 + 1/41/4 )= =厘米。2 2 估算要有方法。三位同學晨練,張華 5 5 分鐘走了 351351 米,李明 2 2 分鐘走了 131131 米,陸宇 3 3 分鐘走了 220220 米,()走得最快。A.A.張華 B.B.李明 C.C.陸宇李明+陸宇=張華。 張華 1分鐘大約走了7070 米,李明 1 1 分鐘走路不足 7070 米。所以陸宇走路最快。3 3 .整體考慮:用下面的三個圖形可以拼成一個軸對稱圖形,把拼法畫在下面的網(wǎng)格中,并畫出所拼圖形的對稱軸。*ihI1iN111it|l11i11k11TT 1 H rH*f - C * Hi * - 1l- T T nrkA
18、fIAiiI1I甲iIVr Jiillih*i|i*itAI|!p1!iiVifiItk4i1P tV14 .-* t -i 產(chǎn) *h F q fVi1電il111II1AtA11ii*PXI1$1rii1lV1V三個圖形拼成一個軸對稱圖形,對稱軸可以有三個方向,沿著對稱軸等成分兩部分,每部分面積是 8 8橫向:3 3 + 5 5 = 8 8 層次:易??v向: 2 + 3 + 3 = 8 層次:易。三個圖形拼成一個軸對稱圖形,對稱軸可以有三個方向,沿著對稱軸等成分兩部分,每部分面積是 8 84545 方向: + 4 4 = 8 8 層次:難。4545 方向: += 6 6 每部分+2 2 =
19、8 8 層次:難。(五)構建可操作的教學模式,有效發(fā)展推理能力案例: 感知、猜想、驗證、結論、推廣應用五步教學法三年級學生學習了乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法后,為了激發(fā)學生的學習的興趣,使體驗到數(shù)學計算中的趣味與魅力, 在提高學生的計算能力的同時有意識地培養(yǎng)學生的推理能力,我們可以設計一些題組, 清晰地呈現(xiàn)題組間邏輯關系,為學生提供充分觀察思考的思維空間,讓學生在經(jīng)歷觀察、感知、猜想、驗證結論、推廣應用的數(shù)學活動中,培養(yǎng)學生比較、分析、概括、探究等能力,發(fā)展學生的數(shù)學思考能力。1.1.利用題組,初步感知規(guī)律先計算下列乘法算式的乘積,然后再認真觀察:你有什么發(fā)現(xiàn)121518 X6?67X3667Il 1
20、1 11 f1 1 1口1_i|_1|_1!J1_112 X 67=S 0415X67=100513X67=120639X67=261336X67=2412學生通過計算后發(fā)現(xiàn):因數(shù)的特點:1.1. 一個因數(shù)都是 67672.2. 一個因數(shù)數(shù) 12,15,1812,15,18都是 3 3 的倍數(shù)積的特點:1 1、積的前兩位數(shù)都是后兩位數(shù)的2 2 倍。2.2. 根據(jù)發(fā)現(xiàn),提出猜想是不是只要是 3 3 的倍數(shù)與 6767 相乘,它們的乘積就可能具有這個2 2 倍的關系呢3.3. 結合實例,驗證猜想這時教師為學生提供如下的算式,讓學生親自對猜想加以驗證:通過計算以上題組加以驗證,學生會發(fā)現(xiàn)自己的猜想得到了驗證。那為什么這些乘法算式的結果會呈現(xiàn)有趣的2 2 倍的關系呢會不會是3 3 倍、4 4 倍呢4.4.明晰道理,提升認識3 3 X 67=67= 2 2 0 0 1 1看來這些算式的乘積:前兩位數(shù)是后兩位數(shù)的2 2 倍,一定與 6767、以及 3
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