信號與系統(tǒng)第四章

1、第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.0 4.0 引言引言4.1 4.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數4.2 4.2 傅里葉級數傅里葉級數4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.4 4.4 非非周期信號的頻譜周期信號的頻譜4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜4.7 4.7 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換4.8 LTI4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.9 4.9 取樣定理取樣定理4.10 4.10 序列的傅里葉分析序列的傅里葉分析4.11 4.11 離散傅里葉變換及性質離

2、散傅里葉變換及性質4.0 引言引言第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析 時域分析時域分析，以，以沖激函數沖激函數為基本信號，任意輸入為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列沖激函數之和；而信號可分解為一系列沖激函數之和；而 yzs(t) = h(t)f(t)。 本章將以本章將以正弦信號正弦信號和和虛指數信號虛指數信號ejt為基本信號，為基本信號，任意輸入信號可分解為一系列任意輸入信號可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號的正弦信號或虛指數信號之和?；蛱撝笖敌盘栔汀?用于系統(tǒng)分析的獨立變量是用于系統(tǒng)分析的獨立變量是頻率頻率， 故稱為故稱為頻域頻域分析分析 。頻域分

3、析從本章開始由從本章開始由時域時域轉入轉入變換域變換域分析，首先討論傅里分析，首先討論傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數正交函數展開的基礎上發(fā)展而產生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析礎上發(fā)展而產生的，這方面的問題也稱為傅里葉分析（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函（頻域分析）。將信號進行正交分解，即分解為三角函數或復指數函數的組合。數或復指數函數的組合。頻域分析將頻域分析將時間變量時間變量變換成變換成頻率變量頻率變量，揭示了信號，揭示了信號內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的內在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間

4、的密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調密切關系，從而導出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調制等重要概念。制等重要概念。 發(fā)展歷史1822年年，法國數學家傅里葉，法國數學家傅里葉(J.Fourier,17681830)在研究熱傳導在研究熱傳導理論時發(fā)表了理論時發(fā)表了“熱的分析理論熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數展開，提出并證明了將周期函數展開為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。為正弦級數的原理，奠定了傅里葉級數的理論基礎。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人等人把這一成果應用到電學中去，得把這一成果應用到電學中去，得到廣泛應用。到廣泛應用。進入進入20

5、世紀以后世紀以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的問題的解決為正弦函數與傅里葉分析的進一步應用開辟了廣闊的前景。前景。在在通信與控制系統(tǒng)通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法的理論研究和工程實際應用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點。具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力?？焖俑道锶~變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。 4.1 4.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數第四章第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析矢量正交與

6、正交分解矢量正交與正交分解信號正交與正交函數集信號正交與正交函數集信號的正交分解信號的正交分解一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解 矢量正交的定義：矢量正交的定義： 指矢量指矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3)的內積為的內積為0。即即031yiyixiTxvvVV 正交矢量集：指正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量Vx=（2，0，0）、）、Vy=（0，2，0）、）、Vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個所組成的集合就是一個正交矢量集正交矢量集，且完備。

7、，且完備。矢量矢量A =(2，5，8)表示為表示為 A= Vx+ 2.5 Vy+ 4 Vz 矢量空間矢量空間正交分解的概念可推廣到正交分解的概念可推廣到信號空間信號空間。二、信號正交與正交函數集二、信號正交與正交函數集1. 信號正交：信號正交： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的區(qū)間的 1(t)和和 2(t)滿足滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數的內積為兩函數的內積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內內正交正交。 2. 正交函數集：正交函數集： 若若n個函數個函數 1(t)， 2(t)， n(t)構成一個函數集，構成一個函數集，這些函數在區(qū)間這些函數在

8、區(qū)間(t1，t2)內滿足內滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱此函數集為在區(qū)間則稱此函數集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數集正交函數集。 3. 完備正交函數集：完備正交函數集：如果在正交函數集如果在正交函數集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函數不存在函數(t)(0）滿足）滿足 則稱此函數集為則稱此函數集為完備正交函數集完備正交函數集。例如例如：三角函數集三角函數集 1，cos (nt)，sin (nt)，n=1,2, 虛指數函數集虛指數函數集ejnt，n=0，1，2，是兩組是兩組典型典型的在區(qū)間的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的上的完備

9、正交函完備正交函數集。數集。210d)()(*ttittt( i =1，2，n)三、信號的正交分解三、信號的正交分解設有設有n個函數個函數 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構成一個正交函數空間。將任一函數構成一個正交函數空間。將任一函數f(t)用這用這n個正交個正交函數的線性組合來近似，可表示為函數的線性組合來近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數如何選擇各系數Cj使使f(t)與近似函數之間的誤差在與近似函數之間的誤差在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內為最小。內為最小。通常使誤差的方差均值通常使誤差的方差均值(稱為稱為均方誤差均方誤差)最小。

10、均方誤差為最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(12121122為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展開上式中的被積函數，并求導。上式中只有兩項不展開上式中的被積函數，并求導。上式中只有兩項不為為0，寫為，寫為 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數所以系數212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）代入，得最小均方誤差（推導過程見教材）0d)(112212221n

11、jjjttKCttftt在用正交函數去近似在用正交函數去近似f(t)時，所取的項數越多，即時，所取的項數越多，即n越越大，則均方誤差越小。當大，則均方誤差越小。當n時（為完備正交函數時（為完備正交函數集），均方誤差為集），均方誤差為零零。此時有。此時有 12221d)(jjjttKCttf上式稱為上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾公式帕斯瓦爾公式，表明：在區(qū)間，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量所含能量恒等于恒等于f(t)在完備正交函數集中分解的各在完備正交函數集中分解的各正正交分量能量之和交分量能量之和。 1)()(jjjtCtf函數函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和可分解

12、為無窮多項正交函數之和小結21d)()(1ttiiitttfKC21d)(2ttiittK1)()(iiitCtf函數函數f(t)可分解為無窮多項正交函數之和可分解為無窮多項正交函數之和12221d)(iiittKCttf帕斯瓦爾能量公式帕斯瓦爾能量公式4.2 傅里葉級數傅里葉級數傅里葉級數的三角形式傅里葉級數的三角形式波形的對稱性與諧波特性波形的對稱性與諧波特性傅里葉級數的指數形式傅里葉級數的指數形式周期信號的功率周期信號的功率Parseval等式等式一、傅里葉級數的三角形式一、傅里葉級數的三角形式1. 1. 三角函數集三角函數集 在一個周期內在一個周期內是一個完備的正交函數集。是一個完備的

13、正交函數集。0dsincos22ttmtnTTnmnmTttmtnTT, 0,2dcoscos22nmnmTttmtnTT, 0,2dsinsin22由積分可知由積分可知1，cos (nt)，sin (nt)，n=1，2 ，2級數形式設周期信號設周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率 =2 /T，當滿足，當滿足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件條件時，它可分解為如下三角級時，它可分解為如下三角級數數 稱為稱為f(t)的的傅里葉級數傅里葉級數 110)(sin)(cos2)(nnnntnbtnaatf系數系數an , bn稱為稱為傅里葉系數傅里葉系數 22d)(cos)(

14、2TTnttntfTa22d)(sin)(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數，的偶函數， bn是是n的奇函數。的奇函數。狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件條件條件條件3:3:在一周期內，信號絕對可積。在一周期內，信號絕對可積。條件條件2 2：在一周期內，極大值和極小值的數目應是有在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個。限個。條件條件1 1：在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的在一周期內，如果有間斷點存在，則間斷點的數目應是有限個。數目應是有限個。例例2 2例例1 1例例3 3例1不滿足條件不滿足條件1 1的例子如下圖所示，這個信號的周期為的例子如下圖所示，

15、這個信號的周期為8，它，它是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的是這樣組成的：后一個階梯的高度和寬度是前一個階梯的一半。可見在一個周期內它的面積不會超過一半?？梢娫谝粋€周期內它的面積不會超過8，但不連續(xù)，但不連續(xù)點的數目是無窮多個。點的數目是無窮多個。 tf018 t821例2不滿足條件不滿足條件2 2的一個函數是的一個函數是 10,2sintttf tf011 t1對此函數，其周期為對此函數，其周期為1 1，有，有 1d10ttf例3周期信號周期信號 ，周期為，周期為1 1，不滿足此條件。，不滿足此條件。 10,1tttf tf0121 2 t1其他形式其他形式10)(cos2)

16、(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 A0/2為為直流分量直流分量 A1cos ( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，其角頻率與原周，其角頻率與原周期信號相同期信號相同 A2cos (2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，其頻率是基波的，其頻率是基波的2倍倍一般而言，一般而言，Ancos (n t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見可見：An是是n的偶函數，的偶函數， n是是n的奇函數的奇函數。 an = Ancos n， bn = An

17、sin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫為二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性)()(tftf1 . .f(t)為偶函數為偶函數對稱縱坐標對稱縱坐標22d)(cos)(2TTnttntfTa22d)(sin)(2TTnttntfTbbn =0，展開為，展開為余弦級數余弦級數。2 . .f(t)為奇函數為奇函數對稱于原點對稱于原點an =0，展開為，展開為正弦級數正弦級數。)()(tftf例例求周期鋸齒波的三角函數形式的傅里葉級求周期鋸齒波的三角函數形式的傅里葉級數展開式。數展開式。2200d1TTttTATa220dcos2TTnttntTAT

18、a22dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 ) 1(1nnAn周期鋸齒波的傅里葉級數展開式為周期鋸齒波的傅里葉級數展開式為 tAtAtf2sin2sin022 )(TtTtTAtf直流直流基波基波二次諧二次諧波波t tfA/2/22T2TT2解：解：3 .f(t)為奇諧函數為奇諧函數f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時此時 ，其傅里葉級數，其傅里葉級數中中只含奇次只含奇次諧波分量，諧波分量，而而不含偶次不含偶次諧波分量諧波分量即即 a0=a2=b2=b4=0 4 f(t)為偶諧函數為偶諧函數f(t) = f(tT/2)(tftTT2T2T0 0此時此時 ，其傅里

19、葉級數，其傅里葉級數中中只含偶次只含偶次諧波分量，諧波分量，而而不含奇次不含奇次諧波分量諧波分量即即 a1=a3=b1=b3=0 三、傅里葉級數的指數形式三、傅里葉級數的指數形式 e)(jtnnnFtf三角形式三角形式的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感的傅里葉級數，含義比較明確，但運算常感不便，因而經常采用不便，因而經常采用指數形式指數形式的傅里葉級數。的傅里葉級數。 de )(122jTTtnnttfTF系數系數Fn 稱為稱為復傅里葉系數復傅里葉系數 利用利用 cos x=(ejx + ejx)/2可從三角形式推出：可從三角形式推出：推導推導虛指數函數集虛指數函數集ejnt，n=0，1，

20、2，指數形式傅氏級數推導指數形式傅氏級數推導1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)(cos2)(nnntnAAtf上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式寫為則上式寫為 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntnnnAtfjjee21)(所以所以令復數令復數nnnFFAnnjjee21)j(21)sinjcos(2121jnnnnnnnnbaAAeAFn22j2222de)(1d)(sin)(1jd)cos()(1TT

21、tnTTTTttfTttntfTttntfTntnnFtfje)( n = 0, 1, 2， 22jde)(1TTtnnttfTF表明：任意周期信號表明：任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數信號之和，數信號之和， F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。傅里葉系數之間關系nnnnAbaF212122 nnnabarctan)j(21e21ejnnnnnbaAFFnnn的偶函數：的偶函數：an ， An ， |Fn | n的奇函數的奇函數: bn ， n nnnAacosnnnAbsin四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式nnnnT

22、FAAttfT2122002|21)2(d)(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時，時， |Fn| = An/2。周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為這是這是ParsevalParseval定理在傅里葉級數情況下的具體體現。定理在傅里葉級數情況下的具體體現。證明證明周期信號功率式證明周期信號功率式證明對于三角函數形式的傅里葉級數對于三角函數形式的傅里葉級數10sincos2)(nnntnbtnaatf平均功率平均功率 ttnbtnaaTttfTPTnnnTdsincos21d)(120100

23、212220212nnnbaa1221220212212nnnnAaAa對于指數形式的傅里葉級數對于指數形式的傅里葉級數nnF2TttfTP02d)(1200aF 總平均功率總平均功率= =直流、各次諧波的平均功率之和直流、各次諧波的平均功率之和4.3 4.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜信號頻譜的概念信號頻譜的概念周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點頻帶寬度頻帶寬度一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種從廣義上說，信號的某種特征量特征量隨信號頻率變隨信號頻率變化的關系，稱為化的關系，稱為信號的頻譜信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號的號的頻譜圖頻譜圖。

24、周期信號的頻譜周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關系，即相位隨頻率的變化關系，即 將將An和和 n的關系分別畫在以的關系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因為。因為n0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫也可畫|Fn|和和 n的關系，稱為的關系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實數，也可直接畫為實數，也可直接畫Fn 。圖示圖示頻譜圖示（單邊）頻譜圖示（單邊） 3nA20A1A3A03 n 0幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜離散譜，

25、譜線離散譜，譜線曲線或nnFA曲線曲線 n頻譜概念演示頻譜概念演示)(tf0tTT11 2/T頻譜概念演頻譜概念演示示既是奇函數又是奇諧函數既是奇函數又是奇諧函數只含奇次諧波只含奇次諧波, ,且為正弦波且為正弦波. .例例1 1例例2 2 對于雙邊頻譜，負頻率只有數學意義，而無對于雙邊頻譜，負頻率只有數學意義，而無物物理意義。為什么引入負頻率？理意義。為什么引入負頻率？ f(t)是實函數，分解成虛指數，必須有共軛對是實函數，分解成虛指數，必須有共軛對ejnt和和ejnt，才能保證才能保證f(t)的實函數的性質不變。的實函數的性質不變。 單邊頻譜圖例單邊頻譜圖例1例：例：周期信號周期信號 f(t

26、) =試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率的平均功率P。63sin41324cos211tt解：解： 首先應用三角公式改寫首先應用三角公式改寫f(t)的表達式，即的表達式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41t的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /1234cos21t是是f(t)的的(/4)/(/12 )

27、=3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41t是是f(t)的的(/3)/(/12 )=4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)01264320A2141033461232n1An323741212121122P323cos4134cos211)(tttf例例2請畫出其幅度譜和相位譜。請畫出其幅度譜和相位譜。120A00 236. 251A 15. 01 12A 25. 02 解：解：化為余弦形式化為余弦形式單邊頻譜圖單邊頻譜圖，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 42cos)15. 0(cos

28、51)(11tttf三角函數形式的傅里葉級數的譜系數三角函數形式的傅里葉級數的譜系數 1 1A20A2A12 024. 211nA12 25. 015. 001 n 雙邊頻譜圖42j42jjjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttftttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)(tnnnF1j22e10F15. 0 j1e12. 1j211F15. 0 j112. 1j211eF4j2e21F4j2e21F整理整理12 5 . 001 1 12. 112 12. 15 . 01nF12 25. 0 15. 0 01 1 15. 012

29、 25. 0n 二、周期信號頻譜的特點二、周期信號頻譜的特點舉例：舉例：有一幅度為有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 的周期矩形脈沖，其周的周期矩形脈沖，其周期為期為T，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T- -T122tTttfTFtnTTtnnde1de)(122j22j22sinnnT令令Sa(x)=sin x/x (取樣函數）取樣函數） nnTnTtn)2(sin2je122j)Sa()2Sa(TnTnTFn, n = 0 ,1，2， nF 0(1)(1)包絡線形狀：包絡線形狀：取樣函數取樣函數(3)(3)離散譜（諧波性）離散譜（諧波性） 時取值時取值當當n 。T

30、n處，為處，為 其最大值在其最大值在0(2)數），幅度/相位數），幅度/相位函函是復函數（此處為實是復函數（此處為實nF）（5 2)4 第一個零點坐標：第一個零點坐標：（2T 222令nn。相位為相位為，相位為，相位為, 000 nnFF 5 T圖中圖中周期信號頻譜的周期信號頻譜的特點特點譜線的結構與波形參數的關系譜線的結構與波形參數的關系T一定一定， 變小變小，此時，此時 （譜線間隔）不變。兩零點之（譜線間隔）不變。兩零點之間的譜線數目：間的譜線數目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。 一定一定，T增大增大，間隔，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小

31、。 如果如果周期周期T無限增長（這時就成為無限增長（這時就成為非周期信號非周期信號），那），那么，么，譜線間隔將趨近于零譜線間隔將趨近于零，周期信號的，周期信號的離散頻譜離散頻譜就過渡就過渡到非周期信號的到非周期信號的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜，各頻率分量的幅度也趨近于，各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。無窮小。 (1)周期信號的頻譜具有周期信號的頻譜具有諧波諧波(離散離散)性性，譜線位置是基頻，譜線位置是基頻的整數倍；的整數倍；(2)一般具有一般具有收斂性收斂性，總趨勢減小。，總趨勢減小。三、頻帶寬度1.問題提出nF 02T 2第一個零點集中了信號第一個零點集中了信號絕大部分能量絕大部分能量（平均功率）

32、（平均功率）由頻譜的由頻譜的收斂性收斂性可知，信號的功率集中在低頻段?？芍?，信號的功率集中在低頻段。 周期矩形脈沖信號的功率而總功率而總功率二者比值二者比值181. 02423222124232221205FFFFFFFFFPnnnTFttfTP202d)(12 . 0d)(102TttfTP%5 .905 PPn次諧波次諧波為例，取前為例，取前以以 ,T5s41s2012頻帶寬度在滿足在滿足一定失真條件一定失真條件下，信號可以用某段頻率范圍下，信號可以用某段頻率范圍內的內的信號來表示，此頻率范圍稱為信號來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度頻帶寬度。對于一般周期信號，將幅度下降為對于一般周期信號，將

33、幅度下降為0.1|Fn|max 的頻率的頻率區(qū)間定義為頻帶寬度。區(qū)間定義為頻帶寬度。一般把一般把第一個零點第一個零點作為信號的頻帶寬度。記為：作為信號的頻帶寬度。記為： ，帶寬與脈寬成反比。，帶寬與脈寬成反比。或或 12 fBB語音信號語音信號 頻率大約為頻率大約為 3003 400 Hz，音樂信號音樂信號 5015 000 Hz，擴音器與揚聲器擴音器與揚聲器 有效帶寬約為有效帶寬約為 1520 000 Hz。3系統(tǒng)的通頻帶信號的帶寬，才能不失真4.4 4.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜傅里葉變換傅里葉變換常用函數的傅里葉變換常用函數的傅里葉變換一、傅里葉變換)(tf：周期信號：周期信號

34、非周期信號非周期信號22jde )(1TTtnnttfTF頻譜頻譜連續(xù)譜，幅度無限??；連續(xù)譜，幅度無限??；離散譜離散譜 引出T0再用再用Fn表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數頻譜密度函數。令。令T2 譜線間隔譜線間隔0TFTFFnTnTlim/1lim)(j(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱為稱為頻譜密度函數頻譜密度函數。22jde)(TTtnnttfTFntnnTTFtf1e)(j考慮到：考慮到：T，無窮小，記為無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B

35、續(xù)量），而2d21T同時，同時， 于是，于是，ttfTFFtnTde)(lim)(jjde)(j21)(jtFtf傅里葉變換式傅里葉變換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式F(j)稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數頻譜密度函數，簡稱，簡稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數原函數。由傅里葉級數由傅里葉級數也可簡記為也可簡記為 f(t) F(j)F(j)一般是復函數，寫為一般是復函數，寫為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說明：說明： (1)前面推導并未遵循嚴格的數學步驟?？勺C明，前面推導并未遵循嚴

36、格的數學步驟?？勺C明，函數函數f(t)傅里葉變換存在的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關系還可方便計算一些積分用下列關系還可方便計算一些積分dttfF)()0(d)(j21)0(Ff或或F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)二、常用函數的傅里葉變換二、常用函數的傅里葉變換1.1.矩形脈沖 (門函數）記為記為g(t)10t22g(t)jeede)(j2j2j2/2/jtFt)2Sa()2sin(2頻譜圖 12 fBB或或幅度頻譜幅度頻譜相位頻譜相位頻譜頻寬：頻寬： jF 20 4 2 20 4 2 jF 20 4 2 2單邊指數函數 tf0t1f(t)

37、= e t(t)， 0j1ej1dee)(j0)j(0jttttF頻譜圖221jF0j,1j, 0FF arctan 2,2,0, 0 幅度頻譜：幅度頻譜：相位頻譜：相位頻譜： jF01 0 2 23雙邊指數函數 tf0t1220j0j2j1j1deedee)(jttFttttf(t) = e | |t| | ， 0 jF024沖激函數沖激函數 (t)、 (t)1de)()(jttttjeddde)()(0jjttttttt5直流信號1有一些函數有一些函數不滿足絕對可積不滿足絕對可積這一充分條件，如這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存

38、在。直接用定義式不好求解。 可構造一函數序列可構造一函數序列f (t)逼近逼近f (t) ，即，即而而f (t)滿足絕對可積條件，并且滿足絕對可積條件，并且f (t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列F (j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換F (j )為為)(lim)(tftf)(jlim)(jFF這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 討論：討論：推導 1?構造構造 f (t)=e- - t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(jlim)(j2

39、200FF又又2arctan2limd12limd2lim020220因此，因此， 1212( ( ) )求F 1另一種方法將將 ( (t)1)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21jtt將將 - -t t，t t ，有，有)(de21jtt再根據傅里葉變換定義式，得再根據傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1jtt6. 符號函數符號函數0, 10, 1)sgn(ttttetet11 )sgn(t0不滿足絕對不滿足絕對可積條件可積條件00,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft222jj1j1)(j)( Ftfj22jlim)(jlim)sgn(2200Ft頻譜圖

40、 2je22jj2sgnt是偶函數是偶函數jF 是奇函數是奇函數 0 22 2 )(jF022j2F 0,20 ,202arctan 7. 階躍函數階躍函數10t(t)j1)()sgn(2121)(tt歸納記憶：1. F 變換對變換對2. 常用函數常用函數 F 變換對：變換對：t域域域域ttfFtde)()(jjtFtftde)(j21)(j(t)(t) j1)(e t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()4.5 4.5 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質線性線性奇偶性奇偶性對稱性對稱性尺度變換尺度變換時移特性時移特性頻移特性頻移特性卷積定理卷積定理時域

41、微分和積分時域微分和積分頻域微分和積分頻域微分和積分相關定理相關定理一、線性性質(Linear Property)若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)則則a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 證明證明: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftde)()(j21ttbfttafttde)(de)(j2j1= a F1(j) + b F2(j) 舉例舉例線性性質舉例線性性質舉例例例: 圖示圖示f(t)的頻譜的頻譜F(j) = ?0f ( t )t1-11解解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(

42、t) 2Sa()所以所以 F(j) = 2() - - 2Sa()=0t1f1(t)0t1-11g2(t)- -二、奇偶虛實性(Parity)若若 f (t) 是實函數，且是實函數，且 f (t) F(j)=|F(j)|ej () = R()+jX()則則 R()= R()， X()= X()， |F(j)|= |F(j)|， ()= ()， f (t) F(j) = F *(j) 若若 f (t)= f (t) 則則 X()=0， F(j) = R() 若若 f (t)= f (t) 則則 R()=0， F(j) = jX()證明證明)()(| )(j|22XRF)()(arctan)(RX

43、奇偶虛實性證明奇偶虛實性證明設設f(t)是實函數是實函數（為虛函數或復函數情況相似，略）（為虛函數或復函數情況相似，略） ttfFtde )()(jj tttftttfdsinjdcos 顯然顯然 tttfXtttfRdsindcos RR 的偶函數的偶函數關于關于jj FF所以所以jFtf已知已知jFtf XX的奇函數的奇函數關于關于 三、對稱性三、對稱性(Symmetrical Property)?sin)(1tttf若若 f (t) F(j) 則則證明證明:de)(j21)(jtFtf（1）式式 (1) t ，t 則則ttFftde)(j21)(j （2）式式 (2) 則則ttFftde

44、)(j21)(j F(j t) 2f ()F( jt ) 2f ()舉例舉例?1)(2tttf練練習習對稱性舉例對稱性舉例例例: F(j) = ?211)(ttf解解:22| |2et令令 =1,2| |12et|2e212t|2e11t四、尺度變換性質四、尺度變換性質(Scaling Transform Property)若若 f (t) F(j) 則則 其中其中a為非零的實常數。為非零的實常數。aFaatfj|1)(證明證明特例特例 a = 1時時,f ( t ) F( j) 舉例舉例意義意義尺度變換證明尺度變換證明證明證明:F f (a t ) =teatftd)(ja 0 時時F f

45、(a t ) d1e)(jafaataFaj1 a 0時時 F f (a t ) de)(1d1e)(jjaaatfaafaFaj1故故f (a t ) aFaj|1尺度變換舉例尺度變換舉例1例例1:f(t) = F(j) = ?11jt解解:1j1)(ett)(e21j1t)(e21j1 t利用對稱性利用對稱性,有有尺度變換意義尺度變換意義(1) 0a1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展a倍。倍。 (3) a=- -1 時域反轉，頻域也反轉。時域反轉，頻域也反轉。 0t4 4 tf 2E0 2 E 4 2j21F 4持續(xù)時間短，變化快。信號在頻域高頻分量增加，頻持續(xù)時間短，變化快。信號在

46、頻域高頻分量增加，頻帶展寬，各分量的幅度下降帶展寬，各分量的幅度下降a倍。倍。五、時移特性五、時移特性(Timeshifting Property)若若 f (t) F(j) 則則其中其中t0為實常數。為實常數。)(je)(0j0Fttft證明證明: F f (t t0 ) tttftde)(j000jjede)(tttf)(je0jFt例例 1例例 2例例 3時移特性舉例時移特性舉例例例: 圖示圖示f(t)的頻譜的頻譜 F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t 5) , f2(t) = g2(t 5) g6(t 5) g2(t 5) 所以所以 F(j) =5je)3Sa(65je)S

47、a(25je)Sa(2)3Sa(60f ( t )t2-1214680t221468f1( t )+0t221468f2( t )時移尺度舉例時移尺度舉例例例 2 :已知已知 f (t)F( j), 求求 f (at b) ?解解: f (t b)e - -jb F( j)f (at b) aFabaje|1j或或f (at) aFaj|1f (at b) =)(abtafaFeabaj|1j時移舉例時移舉例3求圖求圖(a)所示三脈沖信號的所示三脈沖信號的頻譜。頻譜。 tft2 2 TT 1( a)( a) 三脈沖信號的波形0解：解： ,j00Ftf信號，其頻譜函數信號，其頻譜函數表示矩形單脈

48、沖表示矩形單脈沖令令2Saj0F 2j0F0(b) 單脈沖信號的頻譜(b) 單脈沖信號的頻譜 2j0F0因為因為 TtfTtftftf 000 : :為為的頻譜函數的頻譜函數數數由時移性質知三脈沖函由時移性質知三脈沖函FtfjTFFTTcos212ee1jjjj0Sa jF0T23( c)( c) 三脈沖信號的頻譜T4 2脈沖個數增多，頻譜脈沖個數增多，頻譜包絡不變，帶寬不變。包絡不變，帶寬不變。 六、頻移特性六、頻移特性(Frequency Shifting Property)若若 f (t) F(j) 則則證明證明:其中其中0為實常數。為實常數。F e j0t f(t)ttfttde)(e

49、jj0ttftde)()j(0= F j(0) )(e)j(0j0tfFt例例 1：f(t) = ej3t F(j) = ?解解: 1 2() ej3t 1 2(- -3)例例 2頻移（調制）特性舉例頻移（調制）特性舉例已知矩形調幅信號已知矩形調幅信號 ,cos0ttEgtf 。試求其頻譜函數試求其頻譜函數, ,為矩形脈沖，脈寬為為矩形脈沖，脈寬為其中其中tg 為為的頻譜的頻譜已知矩形脈沖已知矩形脈沖Gtgj2jSaG解：解：因為因為 tttEgtf00jjee21 為為頻譜頻譜根據頻移性質，根據頻移性質，jFtf)j(21)j(21j00EGEGF t tf02 2 E( a)( a) 矩形

50、調幅信號的波形2Sa22Sa2 00EE0 二，向左、右各平移二，向左、右各平移將包絡線的頻譜一分為將包絡線的頻譜一分為 20 0 00 2 EjF( b)( b) 矩形調幅信號的頻譜)j(21)j(21j00EGEGF七、卷積性質七、卷積性質(Convolution Property)時域卷積：時域卷積：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)則則 f1(t)f2(t) F1(j)F2(j)頻域卷積：頻域卷積：若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)則則 f1(t) f2(t) F1(j)F2(j)21證明證明舉例舉例時域卷積定理的證明 d2121tfftftf

51、F f1(t)f2(t)所以所以交換積分次序交換積分次序 dde j21 ttfft dej j21Ff利用時移特性利用時移特性 ttfftdedj21f1(t)f2(t) F1(j)F2(j)卷積定理舉例例例:?)(jsin2Ftt解解:)Sa(2)(2tg由對稱性得由對稱性得)(2)Sa(22gt)()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggtt22- -20g2()*g2()F(j)2- -20八、時域的微分和積分八、時域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)若若 f (t) F(j) 則則 )

52、(j)(j)()(Ftfnnj)(j)()0(d)(FFxxftttfFFd)()(j)0(0證明證明:f(n)(t) = (n)(t)f(t) (j)n F(j) f(- -1)(t)= (t)f(t) j)(j)()0()(jj1)(FFF例例1例例 2已知已知f (t) F1(j) f (t) F (j)=?時域微分特性舉例1f(t)= 1/t2 ?例例1:解解:j2)sgn(t)sgn(2j2t)sgn(j1t)sgn()sgn(j)(j1ddtt|)sgn(12t時域微分積分特性舉例2例例2:f(t)2- -20t2求求 f (t) F (j)f (t)t2- -20- -11t2-

53、 -2(1)(1)(- -2)f (t)0解解:f (t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f (t) = e j2 2 + e j2= 2cos (2) 2 F (j) =222)2(cos22)(j)(jF注意注意:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)結論結論:若若 f (n)(t) Fn(j)，and f(- -)+ f() = 0則則 f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n九、頻域的微分和積分九、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)若若 f (t)

54、F(j) 則則 (jt)n f (t) F(n)(j) xxFtfttfd)(j)(j1)()0(其中其中d)(j21)0(Ff例例 1例例 2頻域微分積分特性舉例1例例 1:f (t) = t(t) F (j)=?j1)()(t解解:j1)(dd)(jtt21)(j)(tt注意注意: t(t) =(t)(t) j1)(j1)(錯誤錯誤! 因為因為 ( ) ( ) 和和 (1/j ) ( ) 無定義。無定義。頻域微分積分特性例2例例2：求求d)sin(a解解:)(sin2)(2atgade)(sin1de)(sin221)(jj2ttaaatgd)(sin1)0(2aga2d)(sin0a其中

55、，其中，a為非零常數。為非零常數。十、相關定理十、相關定理(Correlation theorem)若若 f1(t) F1(j) ，f2(t) F2(j) ，f(t) F(j) 則則 F R12() = F1(j) F2* (j) F R21() = F1* (j) F2 (j) F R() = |F (j)|2證明證明相關定理證明相關定理證明利用相關函數與卷積積分的關系利用相關函數與卷積積分的關系 R R1212( () = ) = f f1 1( () ) f f2 2( () ) F R R1212( () = ) = F f f1 1( () ) f f2 2( ()= )= F f

56、f1 1( () ) F f f2 2( ()由于由于F f f2 2( () = ) = F F2 2 ( (j j)= )= F F2 2* *(j(j) )故故 F R R1212( () = ) = F F1 1(j(j) ) F F2 2* *(j(j) ) 4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜帕斯瓦爾關系帕斯瓦爾關系Parsevals Relation能量譜能量譜功率譜功率譜能量譜和功率譜分析能量譜和功率譜分析一、帕斯瓦爾關系帕斯瓦爾關系Parsevals Relation 舉例舉例d)(j21d)(22FttfE證明證明帕斯瓦爾能量關系證明帕斯瓦爾能量關系證明證法一：證法

57、一：ttftfttfEd)()(d)(*2tFtftdde)(j21)(j*dde)()(j21j*ttfFtd| )(j|21d)(j)(j212*FFF證法二證法二證明方法二證明方法二由相關定理知由相關定理知 F 2)(j)(FRde)(j21)(j2FR所以所以d)(j21)0(2FR又能量有限信號的自相關函數是又能量有限信號的自相關函數是ttftfRd)()()(*ttfRd)()0(2因此，得因此，得 ttfRd)()0(2d)(j212F帕斯瓦爾能量關系舉例帕斯瓦爾能量關系舉例例例:求下列信號的能量求下列信號的能量: ttt5sin)997(cos2解解:)(5sin10gtt)9

58、97()997(5sin)997(cos21010ggttt10)1010(21d)(2ttfE二、能量譜密度（能量譜）能量譜密度（能量譜） 定義定義能量譜能量譜指單位頻率的信號能量，記為指單位頻率的信號能量，記為E( () ) 在在頻帶頻帶df內信號的能量為內信號的能量為E() df，因而信號，因而信號在整個頻率范圍的在整個頻率范圍的總能量總能量d21dfEE()E()由由帕斯瓦爾關系帕斯瓦爾關系可得可得E()=|F(j)|2R() E()能量譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。能量譜函數與自相關函數是一對傅里葉變換對。三、三、 功率譜是功率有限信號是功率有限信號 )(tf 2 0 2 )

59、()( TtTttftfT令)(j)(TTFtf則則 )(tf的的平均功率平均功率為：為： d| )(j|lim21d)(1lim2222TFttfTPTTTTT)(*)(1limd)()(1lim)(22tftfTttftfTRTTTTTTTT 定義定義d21dfP功率譜功率譜指單位頻率的信號功率，記為指單位頻率的信號功率，記為P()() 在在頻帶頻帶df內信號的功率為內信號的功率為P() df，因而信號，因而信號在整個頻率范圍的在整個頻率范圍的總功率總功率P()P()TFTT2| )(j|limP()=因此因此R() P()功率有限信號的功率譜與自相關函數是一對傅里葉變換。功率有限信號的功

60、率譜與自相關函數是一對傅里葉變換。 維納維納- -欣欽關系欣欽關系式式例例1 1例例2 2功率譜舉例功率譜舉例1求余弦信號求余弦信號f(t)=cos (1t)的自相關函數和功率譜。的自相關函數和功率譜。解：解：對此功率有限信號，由自相關函數的定義，有對此功率有限信號，由自相關函數的定義，有 1221212211111221122cos21dcoscos1limdsinsincoscoscos1limdcoscos1limd1limttTttttTtttTttftfTRTTTTTTTTTTTT求功率譜因為功率有限信號的功率譜函數與自相關函數是一因為功率有限信號的功率譜函數與自相關函數是一對傅里葉