高等數(shù)學1極限與連續(xù)第910節(jié)連續(xù)函數(shù)

1、第九節(jié)第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) .1lim10exxx ，exxx 11lim，ennn 11lim重要極限重要極限第二個第二個一、一、 ，小結(jié)：小結(jié)：axxeax 10)1(lim axxexa )1(lim無窮小比較無窮小比較二、二、 0lim 0lim ，設設 0lim 1為為高高階階無無窮窮小小，比比則則稱稱，若若高高階階無無窮窮小?。?、 . )0(lim 2為為同同階階無無窮窮小小與與則則稱稱，若若同同階階無無窮窮小?。骸?C. 1lim 3為為等等價價無無窮窮小小與與則則稱稱，若若等等價價無無窮窮小小：、 ).( o 記記為為. 記記為為等

2、等價價無無窮窮小小性性質(zhì)質(zhì)：、 4.limlim 則則存存在在，且且，設設 lim )1(. 以以簡簡化化極極限限的的計計算算替替換換，通通常常可可用用等等價價無無窮窮小小來來無無窮窮小小商商的的極極限限時時，上上述述性性質(zhì)質(zhì)給給出出了了求求兩兩個個說說明明：. )1(加加項項不不能能替替換換分分母母中中的的因因子子可可替替換換但但通通常常分分子子、或或分分母母替替換換，要要求求整整個個分分子子限限時時，用用等等價價無無窮窮小小替替換換求求極極：注注. 0 )2(小小有如下常見的等價無窮有如下常見的等價無窮時，時，當當：注注x，xx sin)1(，xx tan)2(，xx arcsin)4(，

3、xx arctan)5(，xex1)6( ，xx )1ln()7( ，221cos1 )3(xx ，xx 1)1)(8( xnxn111 等等價價無無窮窮小小性性質(zhì)質(zhì)：、 4.limlim 則則存存在在，且且，設設 lim )1( 0lim )2(， ).( o 即即無窮小的階無窮小的階三、三、 . )0 0(lim 階階無無窮窮小小的的是是則則稱稱，若若為為無無窮窮小小，、設設kkCCk 無窮小的主部無窮小的主部四、四、 . )()( 的的主主部部是是則則稱稱，或或設設 oo . 的等價無窮小的等價無窮小是是的主部的主部說明：說明： 函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)的的概概念念五五、 .)( )()()(l

4、im )( 100000的連續(xù)點的連續(xù)點稱為稱為處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點則稱則稱，若若的定義域，的定義域，屬于屬于設設連續(xù)：連續(xù)：、xfxxxfxfxfxfxxx .)( )( )( 2000的的間間斷斷點點稱稱為為間間斷斷，處處在在點點則則稱稱處處不不連連續(xù)續(xù)，在在點點設設間間斷斷點點：、xfxxxfxxf.)( )()(lim 3000處處左左連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱，設設左左連連續(xù)續(xù)：、xxfxfxfxx .)( )()(lim 4000處處右右連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱，設設右右連連續(xù)續(xù)：、xxfxfxfxx 左左右右連連續(xù)續(xù)與與連連續(xù)續(xù)的的關關系系、 5.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右

5、右連連續(xù)續(xù)在在點點處處連連續(xù)續(xù)在在點點xxfxxf的的連連續(xù)續(xù)上上區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)、)( 6.) ()( ) ()()1(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)baxfbaxf的的連連續(xù)續(xù)上上區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)、)( 6.) ()( ) ()()1(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間則則稱稱內(nèi)內(nèi)任任意意一一點點連連續(xù)續(xù)，在在開開區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)baxfbaxf. )( ) ()()2(上連續(xù)上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則稱則稱左連續(xù)，左連續(xù)，在點在點右連續(xù)，右連續(xù)，且在點且在點內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在開區(qū)間在開區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)baxfbabaxf.sin

6、2在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)、例例xy . 1在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù)、例例xay .cos 3在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù)、例例xy 第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)運算與間斷點連續(xù)函數(shù)運算與間斷點第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算二、二、 則則處處連連續(xù)續(xù)，在在點點和和設設運運算算法法則則：、 )()( 10 xxgxf處處連連續(xù)續(xù)；在在點點0)()()1(xxgxf 處處連連續(xù)續(xù)；在在點點0)()()2(xxgxf.)()( 0)()3(00處連續(xù)處連續(xù)在點在點時，時，當當xxgxfxg 處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點則則處連續(xù)，處連續(xù)，在對應點在對應點且且處連續(xù)，處連

7、續(xù)，在點在點設設復合函數(shù)的連續(xù)：復合函數(shù)的連續(xù)：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ，由已知得由已知得證：證：00)()(lim 0uxxxx ，)()(lim00ufufuu )()(lim00ufxfxx ，)(0 xf .)(0處連續(xù)處連續(xù)在點在點故故xxf . 函數(shù)函數(shù)以上結(jié)論可推廣到連續(xù)以上結(jié)論可推廣到連續(xù)說明：說明：).()(lim00 xfxfxx 即即處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點則則處連續(xù)，處連續(xù)，在對應點在對應點且且處連續(xù)，處連續(xù)，在點在點設設復合函數(shù)的連續(xù)：復合函數(shù)的連續(xù)：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ).()(lim00

8、xfxfxx 即即)(lim)(lim 00 xfxfxxxx 由上述結(jié)論可得：由上述結(jié)論可得：. 數(shù)數(shù)符符號號可可交交換換順順序序極極限限運運算算符符號號與與連連續(xù)續(xù)函函說說明明：xxxxba10)2(lim 1 求求、例例xbabaxxxxxxxba22220)221(lim 原原式式解解：220)221ln(22lim xbxaxxxxxbaxbae)11(lim210 xbxaxxxe )ln(ln21bae ab axaxxln1lim0 .)()( 3上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在對對應應區(qū)區(qū)間間則則其其反反函函數(shù)數(shù)上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間設設反反函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)：

9、、yxIyxIxfy 的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得：、及及由由連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的運運算算xx cos sin .sin1csccos1sec sincoscot cossintan連連續(xù)續(xù)、xxxxxxxxxx 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性、 4.)1(域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義.)2(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)初初等等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間：三三角角函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得、反反函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性及及由由 xa.cotarc arctan arccos arcsin log連連續(xù)續(xù)、xxxxxa.ln連連續(xù)續(xù)xex 的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得：、復復合

10、合函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性及及由由xexln .123lim 11 xxx求求、例例)23)(1(43lim 1 xxxx原原式式解解：231lim1 xx.41 .113sinlim 20 xxxx求求、例例xxxxx2)113(sinlim 0 原原式式解解：)2113sin(lim0 xxxxx. 111 5 初等函數(shù)極限求法：初等函數(shù)極限求法：、).()(lim00 xfxfxx 則則 )(為為初初等等函函數(shù)數(shù)，設設xf 0屬于其定義區(qū)間內(nèi)，屬于其定義區(qū)間內(nèi)，x間斷點分類間斷點分類三、三、 . 分界點可能是間斷點分界點可能是間斷點對于分段函數(shù)來說，對于分段函數(shù)來說，間斷點，間斷點，的點

11、為的點為對于初等函數(shù)沒有定義對于初等函數(shù)沒有定義由前面討論可知，由前面討論可知，. )(00為為間間斷斷點點則則處處滿滿足足以以下下條條件件之之一一，在在點點設設xxxf無意義；無意義；)()1(0 xf不存在；不存在；)(lim)2(0 xfxx).()(lim )(lim )()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在，有有意意義義，. )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點點稱稱點點則則都都存存在在，、設設第第一一類類間間斷斷點點：、xxfxf 為為跳跳躍躍間間斷斷點點，點點稱稱時時，當當000 )0()0( )1(xxfxf )( ，函函數(shù)數(shù)例例如如，xxf ，

12、1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳躍間斷點的跳躍間斷點為為xfx . )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點點稱稱點點則則都都存存在在，、若若第第一一類類間間斷斷點點：、xxfxf . )0()0( )1(000為為跳跳躍躍間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf 間斷點分類間斷點分類三、三、 )( ，函函數(shù)數(shù)例例如如，xxf ，1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳躍間斷點的跳躍間斷點為為xfx . )0()0( )2(000為為可可去去間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf sin)( ，函函數(shù)數(shù)例例如如，xxxf ，1)(lim0

13、 xfx.)(0的可去間斷點的可去間斷點為為xfx . )0( )0( 2000為為第第二二類類間間斷斷點點則則稱稱點點不不存存在在，至至少少有有一一個個、若若第第二二類類間間斷斷點點：、xxfxf . )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點點稱稱點點則則都都存存在在，、若若第第一一類類間間斷斷點點：、xxfxf . )0()0( )1(000為為跳跳躍躍間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf 間斷點分類間斷點分類三、三、 . )0()0( )2(000為為可可去去間間斷斷點點點點稱稱時時，當當xxfxf . )0( )0( 2000為為第第二二類類間間斷斷點點則則稱稱點點不不存

14、存在在，至至少少有有一一個個、若若第第二二類類間間斷斷點點：、xxfxf . )(lim )1(00為無窮間斷點為無窮間斷點點點稱稱時，時，當當xxfxx ，由由于于例例如如， xx1lim 0.10的無窮間斷點的無窮間斷點為為故故xyx . )(lim )2(00為振蕩間斷點為振蕩間斷點點點稱稱取無窮多個數(shù)時，取無窮多個數(shù)時，當當xxfxx.1sin0 的的振振蕩蕩間間斷斷點點為為例例如如，xyx .)( 121的的間間斷斷點點并并分分類類求求、例例xexf . 0)( xxf的的間間斷斷點點為為解解： 0lim 210， xxe為第一類間斷點，為第一類間斷點，0 x.1)1(lim)( 2

15、22的間斷點并分類的間斷點并分類求求、例例nnnxxxxf ，時，時，當當解：解：xxfx )( 1 ，時時，當當0)( 1 xfx，時時，當當xxxxxfxnnn 1)1( 1)1(lim)( 122.1 1 01 )( 時時當當，時時當當，時時當當，故故xxxxxxf，1lim)(lim 11 xxfxx，1)(lim)(lim11 xxfxx.1 為第一類間斷點為第一類間斷點 x.1為為第第一一類類間間斷斷點點同同理理 x )(1，若若xexf .0為第二類間斷點為第二類間斷點則則 x.且且為為可可去去間間斷斷點點.且且為為無無窮窮間間斷斷點點第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上

16、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù).)()( )()( 1上上的的最最大大值值在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù)稱稱則則，有有，如如果果，設設最最大大值值：、IxfffxfIxI 最最大大值值與與最最小小值值定定理理一一、 .)()( )()( 上上的的最最小小值值在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱，有有，如如果果，設設同同理理，IxfffxfIxI 1. 32 0sin2 最小值為最小值為、上的最大值為上的最大值為，在在例如，例如， xy . )( )( 2值值上可取到最大值和最小上可取到最大值和最小，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)最值定理：最值定理：、b

17、axfbaxf).(min)( )(max)( xffxffbabxabxa ，使使，、即即ab xyo)(xfy . )( 結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立有間斷點時，有間斷點時，閉區(qū)間換成開區(qū)間或閉區(qū)間換成開區(qū)間或說明：說明：xfxyo)(xfy 211xyo2 )(xfy . )( 不一定成立不一定成立結(jié)論結(jié)論有間斷點時，有間斷點時，閉區(qū)間換成開區(qū)間或閉區(qū)間換成開區(qū)間或說明：說明：xf連連續(xù)續(xù)，在在、例例)2 0(sin)( 1 xxf .)2 0()(及最小值及最小值內(nèi)沒有最大值內(nèi)沒有最大值，在在顯然顯然 xf12 021 3 1 110 1)( 2 xxxxxxxf上有間斷點上有間斷點，

18、在在，、例例.2 0)(及最小值及最小值上沒有最大值上沒有最大值，在在顯然顯然xf,)( 上上連連續(xù)續(xù)在在因因為為函函數(shù)數(shù)證證：baxf，有有，)()()( fxffbax ，取取)( )(max ffM .,)(上上有有界界在在故故baxf. )( )( 3上有界上有界，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)有界定理：有界定理：、baxfbaxf.)( 0MxfbaxM 有有，使使得得，即即).()( )( ffbaxf及及最最小小值值上上可可取取到到最最大大值值，在在所所以以有有，則則 bax Mxf )(介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零點點

19、為為稱稱則則，使使，零零點點：若若、xfxxfIx . 2123)( 2或或有有零零點點例例如如， xxxxf介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零點點為為稱稱則則，使使，零零點點：若若、xfxxfIx . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在一一點點，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)零零點點定定理理：、幾何解釋：幾何解釋：. )(軸軸至至少少有有一一個個交交點點則則曲曲線線弧弧與與軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)，的的兩兩個個端端點點位位于于連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy ab3 2 1 xyo)(xfy . )( 不一定成

20、立不一定成立結(jié)論結(jié)論有間斷點時，有間斷點時，閉區(qū)間換成開區(qū)間或閉區(qū)間換成開區(qū)間或說明：說明：xf介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零點點為為稱稱則則，使使，零零點點：若若、xfxxfIx . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在一一點點，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)零零點點定定理理：、.),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個個實實根根在在方方程程baxf 程程根根的的存存在在性性；利利用用零零點點定定理理可可證證明明方方注注： )1( . )2(數(shù)值相等數(shù)值相等利用零點定理可證明函利用零點定理可證明函.)1

21、1(13 14至至少少有有一一實實根根，在在證證明明方方程程、例例 xx，令令證：證：13)( 4 xxxf 1 1)(上上連連續(xù)續(xù)，在在則則 xf，且且0)1()1(3)1( 3)1( ffff. 0)( )1 1( f使使，故故至至少少存存在在一一點點. 134故故結(jié)結(jié)論論成成立立的的根根，為為方方程程即即 xxx .)() ( )()( )( 3 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在中中的的任任意意一一個個數(shù)數(shù)，與與介介于于是是若若上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)介介值值定定理理：、介介值值定定理理二二、 . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafba

22、xf使使，則則至至少少存存在在一一點點，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)零零點點定定理理：、.)(至至少少有有一一個個交交點點與與直直線線曲曲線線 yxfy，設設證證： )()( xfx上連續(xù)，上連續(xù)，在在則則,)(bax )()( )()(bfbafa，且且 幾何解釋：幾何解釋：，由由已已知知有有0)()( ba . 0)( ),( 使使，至至少少存存在在一一點點ba, 0)( f即即.)( f故故Mmab1 2 3 2x1xxyo)( xfy )(bf )(af.)( ) ( ) ( )( )( 4 fbaMmbaxfMmbaxf使使，至少存在一點至少存在一點則則，若若最大值，最大值，上的最小值與上的最小值與，在在為為分別分別、上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設函數(shù)設函數(shù)推論：推論：、.)() ( )()( )( 3 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在中中的的任任意意一一個個數(shù)數(shù)，與與介介于于是是若若上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設設函函數(shù)數(shù)介介值值定定理理：、介介值值定定理理二二、 . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafba