高等數(shù)學(xué)1極限與連續(xù)第910節(jié)連續(xù)函數(shù)

1、第九節(jié)第九節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) .1lim10exxx ，exxx 11lim，ennn 11lim重要極限重要極限第二個(gè)第二個(gè)一、一、 ，小結(jié)：小結(jié)：axxeax 10)1(lim axxexa )1(lim無(wú)窮小比較無(wú)窮小比較二、二、 0lim 0lim ，設(shè)設(shè) 0lim 1為為高高階階無(wú)無(wú)窮窮小小，比比則則稱稱，若若高高階階無(wú)無(wú)窮窮小?。骸?. )0(lim 2為為同同階階無(wú)無(wú)窮窮小小與與則則稱稱，若若同同階階無(wú)無(wú)窮窮小?。骸?C. 1lim 3為為等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小與與則則稱稱，若若等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小?。骸?).( o 記記為為. 記記為為等

2、等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小性性質(zhì)質(zhì)：、 4.limlim 則則存存在在，且且，設(shè)設(shè) lim )1(. 以以簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化極極限限的的計(jì)計(jì)算算替替換換，通通常常可可用用等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小來(lái)來(lái)無(wú)無(wú)窮窮小小商商的的極極限限時(shí)時(shí)，上上述述性性質(zhì)質(zhì)給給出出了了求求兩兩個(gè)個(gè)說(shuō)說(shuō)明明：. )1(加加項(xiàng)項(xiàng)不不能能替替換換分分母母中中的的因因子子可可替替換換但但通通常常分分子子、或或分分母母替替換換，要要求求整整個(gè)個(gè)分分子子限限時(shí)時(shí)，用用等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小替替換換求求極極：注注. 0 )2(小小有如下常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮有如下常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)：注注x，xx sin)1(，xx tan)2(，xx arcsin)4(，

3、xx arctan)5(，xex1)6( ，xx )1ln()7( ，221cos1 )3(xx ，xx 1)1)(8( xnxn111 等等價(jià)價(jià)無(wú)無(wú)窮窮小小性性質(zhì)質(zhì)：、 4.limlim 則則存存在在，且且，設(shè)設(shè) lim )1( 0lim )2(， ).( o 即即無(wú)窮小的階無(wú)窮小的階三、三、 . )0 0(lim 階階無(wú)無(wú)窮窮小小的的是是則則稱稱，若若為為無(wú)無(wú)窮窮小小，、設(shè)設(shè)kkCCk 無(wú)窮小的主部無(wú)窮小的主部四、四、 . )()( 的的主主部部是是則則稱稱，或或設(shè)設(shè) oo . 的等價(jià)無(wú)窮小的等價(jià)無(wú)窮小是是的主部的主部說(shuō)明：說(shuō)明： 函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)的的概概念念五五、 .)( )()()(l

4、im )( 100000的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)稱為稱為處連續(xù)，處連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱，若若的定義域，的定義域，屬于屬于設(shè)設(shè)連續(xù)：連續(xù)：、xfxxxfxfxfxfxxx .)( )( )( 2000的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為間間斷斷，處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱處處不不連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：、xfxxxfxxf.)( )()(lim 3000處處左左連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱，設(shè)設(shè)左左連連續(xù)續(xù)：、xxfxfxfxx .)( )()(lim 4000處處右右連連續(xù)續(xù)在在則則稱稱，設(shè)設(shè)右右連連續(xù)續(xù)：、xxfxfxfxx 左左右右連連續(xù)續(xù)與與連連續(xù)續(xù)的的關(guān)關(guān)系系、 5.)()(00處處既既左左連連續(xù)續(xù)又又右

5、右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)xxfxxf的的連連續(xù)續(xù)上上區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)、)( 6.) ()( ) ()()1(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間則則稱稱內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfbaxf的的連連續(xù)續(xù)上上區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)、)( 6.) ()( ) ()()1(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間則則稱稱內(nèi)內(nèi)任任意意一一點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)，在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfbaxf. )( ) ()()2(上連續(xù)上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則稱則稱左連續(xù)，左連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)右連續(xù)，右連續(xù)，且在點(diǎn)且在點(diǎn)內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfbabaxf.sin

6、2在在定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)、例例xy . 1在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù)、例例xay .cos 3在定義域內(nèi)連續(xù)在定義域內(nèi)連續(xù)、例例xy 第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)運(yùn)算與間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算與間斷點(diǎn)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算二、二、 則則處處連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)和和設(shè)設(shè)運(yùn)運(yùn)算算法法則則：、 )()( 10 xxgxf處處連連續(xù)續(xù)；在在點(diǎn)點(diǎn)0)()()1(xxgxf 處處連連續(xù)續(xù)；在在點(diǎn)點(diǎn)0)()()2(xxgxf.)()( 0)()3(00處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxgxfxg 處連續(xù)，處連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)，處連續(xù)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)且且處連續(xù)，處連

7、續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ，由已知得由已知得證：證：00)()(lim 0uxxxx ，)()(lim00ufufuu )()(lim00ufxfxx ，)(0 xf .)(0處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故故xxf . 函數(shù)函數(shù)以上結(jié)論可推廣到連續(xù)以上結(jié)論可推廣到連續(xù)說(shuō)明：說(shuō)明：).()(lim00 xfxfxx 即即處連續(xù)，處連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)則則處連續(xù)，處連續(xù)，在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)且且處連續(xù)，處連續(xù)，在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)：復(fù)合函數(shù)的連續(xù)：、0000)( )()( )( 2xxfyxuufyxxu ).()(lim00

8、xfxfxx 即即)(lim)(lim 00 xfxfxxxx 由上述結(jié)論可得：由上述結(jié)論可得：. 數(shù)數(shù)符符號(hào)號(hào)可可交交換換順順序序極極限限運(yùn)運(yùn)算算符符號(hào)號(hào)與與連連續(xù)續(xù)函函說(shuō)說(shuō)明明：xxxxba10)2(lim 1 求求、例例xbabaxxxxxxxba22220)221(lim 原原式式解解：220)221ln(22lim xbxaxxxxxbaxbae)11(lim210 xbxaxxxe )ln(ln21bae ab axaxxln1lim0 .)()( 3上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)在在對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間則則其其反反函函數(shù)數(shù)上上單單調(diào)調(diào)且且連連續(xù)續(xù)，在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)反反函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)：

9、、yxIyxIxfy 的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得：、及及由由連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的運(yùn)運(yùn)算算xx cos sin .sin1csccos1sec sincoscot cossintan連連續(xù)續(xù)、xxxxxxxxxx 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性、 4.)1(域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義.)2(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)初初等等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義區(qū)區(qū)間間：三三角角函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得、反反函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性及及由由 xa.cotarc arctan arccos arcsin log連連續(xù)續(xù)、xxxxxa.ln連連續(xù)續(xù)xex 的的連連續(xù)續(xù)性性可可得得：、復(fù)復(fù)合

10、合函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性及及由由xexln .123lim 11 xxx求求、例例)23)(1(43lim 1 xxxx原原式式解解：231lim1 xx.41 .113sinlim 20 xxxx求求、例例xxxxx2)113(sinlim 0 原原式式解解：)2113sin(lim0 xxxxx. 111 5 初等函數(shù)極限求法：初等函數(shù)極限求法：、).()(lim00 xfxfxx 則則 )(為為初初等等函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)xf 0屬于其定義區(qū)間內(nèi)，屬于其定義區(qū)間內(nèi)，x間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類三、三、 . 分界點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)分界點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)對(duì)于分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，對(duì)于分段函數(shù)來(lái)說(shuō)，間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)，的點(diǎn)

11、為的點(diǎn)為對(duì)于初等函數(shù)沒(méi)有定義對(duì)于初等函數(shù)沒(méi)有定義由前面討論可知，由前面討論可知，. )(00為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則處處滿滿足足以以下下條條件件之之一一，在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)xxxf無(wú)意義；無(wú)意義；)()1(0 xf不存在；不存在；)(lim)2(0 xfxx).()(lim )(lim )()3(0000 xfxfxfxfxxxx 但但存存在在，有有意意義義，. )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱點(diǎn)點(diǎn)則則都都存存在在，、設(shè)設(shè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：、xxfxf 為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)000 )0()0( )1(xxfxf )( ，函函數(shù)數(shù)例例如如，xxf ，

12、1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為為xfx . )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱點(diǎn)點(diǎn)則則都都存存在在，、若若第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：、xxfxf . )0()0( )1(000為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxfxf 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類三、三、 )( ，函函數(shù)數(shù)例例如如，xxf ，1)(lim0 xfx，0)(lim0 xfx.)(0的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn)為為xfx . )0()0( )2(000為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxfxf sin)( ，函函數(shù)數(shù)例例如如，xxxf ，1)(lim0

13、 xfx.)(0的可去間斷點(diǎn)的可去間斷點(diǎn)為為xfx . )0( )0( 2000為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在，至至少少有有一一個(gè)個(gè)、若若第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：、xxfxf . )0( )0( 1000為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)稱稱點(diǎn)點(diǎn)則則都都存存在在，、若若第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：、xxfxf . )0()0( )1(000為為跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxfxf 間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類三、三、 . )0()0( )2(000為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxfxf . )0( )0( 2000為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)不不存

14、存在在，至至少少有有一一個(gè)個(gè)、若若第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)：、xxfxf . )(lim )1(00為無(wú)窮間斷點(diǎn)為無(wú)窮間斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)稱稱時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxfxx ，由由于于例例如如， xx1lim 0.10的無(wú)窮間斷點(diǎn)的無(wú)窮間斷點(diǎn)為為故故xyx . )(lim )2(00為振蕩間斷點(diǎn)為振蕩間斷點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)稱稱取無(wú)窮多個(gè)數(shù)時(shí)，取無(wú)窮多個(gè)數(shù)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxfxx.1sin0 的的振振蕩蕩間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為例例如如，xyx .)( 121的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)并并分分類類求求、例例xexf . 0)( xxf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為解解： 0lim 210， xxe為第一類間斷點(diǎn)，為第一類間斷點(diǎn)，0 x.1)1(lim)( 2

15、22的間斷點(diǎn)并分類的間斷點(diǎn)并分類求求、例例nnnxxxxf ，時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)解：解：xxfx )( 1 ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( 1 xfx，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)xxxxxfxnnn 1)1( 1)1(lim)( 122.1 1 01 )( 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)，故故xxxxxxf，1lim)(lim 11 xxfxx，1)(lim)(lim11 xxfxx.1 為第一類間斷點(diǎn)為第一類間斷點(diǎn) x.1為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)同同理理 x )(1，若若xexf .0為第二類間斷點(diǎn)為第二類間斷點(diǎn)則則 x.且且為為可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).且且為為無(wú)無(wú)窮窮間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)第十節(jié)第十節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上

16、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù).)()( )()( 1上上的的最最大大值值在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù)稱稱則則，有有，如如果果，設(shè)設(shè)最最大大值值：、IxfffxfIxI 最最大大值值與與最最小小值值定定理理一一、 .)()( )()( 上上的的最最小小值值在在區(qū)區(qū)間間為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱，有有，如如果果，設(shè)設(shè)同同理理，IxfffxfIxI 1. 32 0sin2 最小值為最小值為、上的最大值為上的最大值為，在在例如，例如， xy . )( )( 2值值上可取到最大值和最小上可取到最大值和最小，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)最值定理：最值定理：、b

17、axfbaxf).(min)( )(max)( xffxffbabxabxa ，使使，、即即ab xyo)(xfy . )( 結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立有間斷點(diǎn)時(shí)，有間斷點(diǎn)時(shí)，閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或說(shuō)明：說(shuō)明：xfxyo)(xfy 211xyo2 )(xfy . )( 不一定成立不一定成立結(jié)論結(jié)論有間斷點(diǎn)時(shí)，有間斷點(diǎn)時(shí)，閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或說(shuō)明：說(shuō)明：xf連連續(xù)續(xù)，在在、例例)2 0(sin)( 1 xxf .)2 0()(及最小值及最小值內(nèi)沒(méi)有最大值內(nèi)沒(méi)有最大值，在在顯然顯然 xf12 021 3 1 110 1)( 2 xxxxxxxf上有間斷點(diǎn)上有間斷點(diǎn)，

18、在在，、例例.2 0)(及最小值及最小值上沒(méi)有最大值上沒(méi)有最大值，在在顯然顯然xf,)( 上上連連續(xù)續(xù)在在因因?yàn)闉楹瘮?shù)數(shù)證證：baxf，有有，)()()( fxffbax ，取取)( )(max ffM .,)(上上有有界界在在故故baxf. )( )( 3上有界上有界，在閉區(qū)間在閉區(qū)間則則上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有界定理：有界定理：、baxfbaxf.)( 0MxfbaxM 有有，使使得得，即即).()( )( ffbaxf及及最最小小值值上上可可取取到到最最大大值值，在在所所以以有有，則則 bax Mxf )(介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零點(diǎn)點(diǎn)

19、為為稱稱則則，使使，零零點(diǎn)點(diǎn)：若若、xfxxfIx . 2123)( 2或或有有零零點(diǎn)點(diǎn)例例如如， xxxxf介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱則則，使使，零零點(diǎn)點(diǎn)：若若、xfxxfIx . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理：、幾何解釋：幾何解釋：. )(軸軸至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)則則曲曲線線弧弧與與軸軸的的不不同同側(cè)側(cè)，的的兩兩個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)位位于于連連續(xù)續(xù)曲曲線線弧弧xxxfy ab3 2 1 xyo)(xfy . )( 不一定成

20、立不一定成立結(jié)論結(jié)論有間斷點(diǎn)時(shí)，有間斷點(diǎn)時(shí)，閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間換成開(kāi)區(qū)間或說(shuō)明：說(shuō)明：xf介介值值定定理理二二、 .)(0)( 1000的的零零點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱則則，使使，零零點(diǎn)點(diǎn)：若若、xfxxfIx . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理：、.),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在方方程程baxf 程程根根的的存存在在性性；利利用用零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理可可證證明明方方注注： )1( . )2(數(shù)值相等數(shù)值相等利用零點(diǎn)定理可證明函利用零點(diǎn)定理可證明函.)1

21、1(13 14至至少少有有一一實(shí)實(shí)根根，在在證證明明方方程程、例例 xx，令令證：證：13)( 4 xxxf 1 1)(上上連連續(xù)續(xù)，在在則則 xf，且且0)1()1(3)1( 3)1( ffff. 0)( )1 1( f使使，故故至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn). 134故故結(jié)結(jié)論論成成立立的的根根，為為方方程程即即 xxx .)() ( )()( )( 3 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在中中的的任任意意一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，與與介介于于是是若若上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)介介值值定定理理：、介介值值定定理理二二、 . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafba

22、xf使使，則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，且且上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)零零點(diǎn)點(diǎn)定定理理：、.)(至至少少有有一一個(gè)個(gè)交交點(diǎn)點(diǎn)與與直直線線曲曲線線 yxfy，設(shè)設(shè)證證： )()( xfx上連續(xù)，上連續(xù)，在在則則,)(bax )()( )()(bfbafa，且且 幾何解釋：幾何解釋：，由由已已知知有有0)()( ba . 0)( ),( 使使，至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)ba, 0)( f即即.)( f故故Mmab1 2 3 2x1xxyo)( xfy )(bf )(af.)( ) ( ) ( )( )( 4 fbaMmbaxfMmbaxf使使，至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)則則，若若最大值，最大值，上的最小值與上的最小值與，在在為為分別分別、上連續(xù)，上連續(xù)，在閉區(qū)間在閉區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)推論：推論：、.)() ( )()( )( 3 fbabfafbaxf使使，則則至至少少存存在在中中的的任任意意一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，與與介介于于是是若若上上連連續(xù)續(xù)，在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)介介值值定定理理：、介介值值定定理理二二、 . 0)( ) ( 0)()( )( 2 fbabfafba