函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、湖南各市2012年中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題6：函數(shù)的圖像與性質(zhì)1、 選擇題1. （2012湖南常德3分）對(duì)于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是【 】 A. 它的圖像分布在一、三象限 B. 它的圖像既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 C. 當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x的增大而增大 D. 當(dāng)x<0時(shí)，y的值隨x的增大而減小 【答案】C?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形。【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可：A、函數(shù)中k=60，此函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在一、三象限，故本選項(xiàng)正確；B、函數(shù)是反比例函數(shù)，它的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；C、當(dāng)x0時(shí)，函

2、數(shù)的圖象在第一象限，y的值隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)的圖象在第三象限，y的值隨x的增大而增大，故本選項(xiàng)正確。故選C。2. （2012湖南張家界3分）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)y=ax+1與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是【 】A.BCD【答案】C?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)?！痉治觥慨?dāng)a0時(shí)，y=ax+1過一二三象限，經(jīng)過點(diǎn)（0，1），過一三象限；當(dāng)a0時(shí)，y=ax+1過一二四象限，過二四象限。 選項(xiàng)A的y=ax+1，a0，經(jīng)過點(diǎn)（0，1），但的a0，不符合條件； 選項(xiàng)B的y=ax+1，a0，的a0，但y=ax+1不經(jīng)過點(diǎn)（0，1），不符合條件； 選項(xiàng)C的y=ax+1，a

3、0，經(jīng)過點(diǎn)（0，1），的a0，符合條件；選項(xiàng)D的y=ax+1，a0，的a0，但y=ax+1不經(jīng)過點(diǎn)（0，1），不符合條件。故選C。3. （2012湖南岳陽(yáng)3分）如圖，一次函數(shù)y1=x+1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)作ACx軸于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BDx軸于點(diǎn)D，連接AO、BO，下列說法正確的是【 】A點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B當(dāng)x1時(shí)，y1y2C D當(dāng)x0時(shí)，y1、y2都隨x的增大而增大【答案】C?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題?！痉治觥壳蟪鰞珊瘮?shù)式組成的方程組的解，即可得出A、B的坐標(biāo)，即可判斷：A、聯(lián)立y=x+1和，把y=x+1代入得：，解得：x1=2，x2=1。代入y=

4、x+1得：y1=1，y2=2，B（2，1），A（1，2）。A、B關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，故本說法錯(cuò)誤。B、由圖象知，當(dāng)0x1時(shí)，一次函數(shù)y1=x+1的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方，即y1y2，故本說法錯(cuò)誤。C、，故本說法正確。D、當(dāng)x0時(shí)，y1隨x的增大而增大，y2隨x的增大而減小，故本說法錯(cuò)誤。故選C。4. （2012湖南永州3分）下列說法正確的是【 】A B C不等式2x1的解集為x1D當(dāng)x0時(shí)，反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨自變量x取值的增大而減小【答案】B?！究键c(diǎn)】二次根式的乘法，同底數(shù)冪的乘法，解一元一次不等式，反比例函數(shù)的性質(zhì)，【分析】分別根據(jù)二次根式的乘法、同底數(shù)冪的乘法、解一元一次不等式及反比例

5、函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可：A、當(dāng)a0，b0時(shí)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、符合同底數(shù)冪的乘法法則，故選項(xiàng)正確；C、不等式2x1的解集為x1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、當(dāng)x0，k0時(shí)，反比例函數(shù)的函數(shù)值y隨自變量x取值的增大而增大，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。5. （2012湖南郴州3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是【 】A（1，2） B（1，2） C（1，2） D（1，2）【答案】D。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥恐苯永庙旤c(diǎn)式的特點(diǎn)可寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)：頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（xh）2k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）。故選D。6. （2012湖南懷化3分）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是【 】 A B. C.

6、D.【答案】D?！究键c(diǎn)】函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件。【分析】求函數(shù)自變量的取值范圍，就是求函數(shù)解析式有意義的條件，根據(jù)二次根式被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的條件，要使在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須。故選D。7. （2012湖南婁底3分）對(duì)于一次函數(shù)y=2x+4，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是【 】A函數(shù)值隨自變量的增大而減小B函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限C函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得y=2x的圖象D函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）【答案】D?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與平移變換?！痉治觥糠謩e根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)圖象平移的法則進(jìn)行解答即可 A一次函數(shù)y=2x+4中k=20，函數(shù)值隨x的增

7、大而減小，故本選項(xiàng)正確；B一次函數(shù)y=2x+4中k=20，b=40，此函數(shù)的圖象經(jīng)過一二四象限，不經(jīng)過第三象限，故本選項(xiàng)正確；C由“上加下減”的原則可知，函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得y=2x的圖象，故本選項(xiàng)正確；D令y=0，則x=2，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（2，0），故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選D。8. （2012湖南婁底3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則它的解析式是【 】A B C D 【答案】B。【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥吭O(shè)反比例函數(shù)圖象設(shè)解析式為，將點(diǎn)（1，2）代入得，k=1×2=2。則函數(shù)解析式為。故選B。9. （2

8、012湖南衡陽(yáng)3分）如圖為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象，則下列說法：a0 2a+b=0 a+b+c0 當(dāng)1x3時(shí)，y0其中正確的個(gè)數(shù)為【 】A1 B2 C3 D4【答案】C?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥坑蓲佄锞€的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由x=1時(shí)的函數(shù)值判斷a+b+c0，然后根據(jù)對(duì)稱軸推出2a+b與0的關(guān)系，根據(jù)圖象判斷1x3時(shí)，y的符號(hào)：圖象開口向下，a0。說法錯(cuò)誤。對(duì)稱軸為x=，即2a+b=0。說法正確。當(dāng)x=1時(shí)，y0，則a+b+c0。說法正確。由圖可知，當(dāng)1x3時(shí)，y0。說法正確。說法正確的有3個(gè)。故選C。10. （2012湖南株洲3分）如圖，已知拋物線與

9、x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸是x=1，則該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)是【 】A（3，0）B（2，0）Cx=3Dx=2【答案】A。【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的對(duì)稱性?！痉治觥吭O(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（b，0），拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A（1，0），對(duì)稱軸是x=1，=1，解得b=3。B（3，0）。故選A。11. （2012湖南株洲3分）如圖，直線x=t（t0）與反比例函數(shù)的圖象分別交于B、C兩點(diǎn)，A為y軸上的任意一點(diǎn)，則ABC的面積為【 】A3BtCD不能確定【答案】C。【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】把x=t分別代入，得，B（t，）、C

10、（t，）。BC=（）=。A為y軸上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線BC的距離為t。ABC的面積=。故選C。二填空題1. （2012湖南長(zhǎng)沙3分）如果一次函數(shù)y=mx+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則m的取值范圍是 【答案】m0?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥恳淮魏瘮?shù)的圖象有四種情況：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y的值隨x的值增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小。 一次函數(shù)y=mx+3的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，m0。2

11、. （2012湖南益陽(yáng)4分）反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=2x+1的圖象的一個(gè)交點(diǎn)是（1，k），則反比例函數(shù)的解析式是 【答案】?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥繉ⅲ?，k）代入一次函數(shù)y=2x+1得，k=2+1=3，則反比例函數(shù)解析式為。3. （2012湖南永州3分）一次函數(shù)y=x+1的圖象不經(jīng)過第 象限【答案】三?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系?！痉治觥恳淮魏瘮?shù)的圖象有四種情況：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象

12、限，y的值隨x的值增大而減??；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，y的值隨x的值增大而減小。 因此，函數(shù)y=x+1的，故它的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限。4. 2012湖南懷化3分）如果點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，則 .(填“>”,“<”或“=”)【答案】?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征?！痉治觥奎c(diǎn)P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函數(shù)y=2x1的圖象上，y1=2×31=5，y2=2×21=3。53，y1y2。5. （2012湖南衡陽(yáng)3分）如圖，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P，則k= 【答案】6。【考點(diǎn)】曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥扛鶕?jù)圖象

13、寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中即可得到k的值：根據(jù)圖象可得P（3，2），把P（3，2）代入反比例函數(shù)中得：k=xy=6。6. （2012湖南衡陽(yáng)3分）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），則kb= 【答案】8。【考點(diǎn)】?jī)蓷l直線平行問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。119281【分析】根據(jù)兩條平行直線的解析式的k值相等求出k的值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式求出b值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可：y=kx+b的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象平行，k=2。y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），2+b=2

14、，解得b=4。kb=2×（4）=8。7. （2012湖南株洲3分）一次函數(shù)y=x+2的圖象不經(jīng)過第 象限【答案】四?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥恳淮魏瘮?shù)的圖象有四種情況：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限。 由題意得，函數(shù)y=x+2的，故它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，不經(jīng)過第四象限。三、解答題1. （2012湖南長(zhǎng)沙10分）在長(zhǎng)株潭建設(shè)兩型社會(huì)的過程中，為推進(jìn)節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，我市某公司以25萬元購(gòu)得某項(xiàng)節(jié)能產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)后，再投入100萬元購(gòu)買生產(chǎn)設(shè)

15、備，進(jìn)行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每件20元經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價(jià)定在25元到30元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為：.（年獲利=年銷售收入生產(chǎn)成本投資成本）（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件？（2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若盈利，最大利潤(rùn)是多少？若虧損，最小虧損是多少？（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項(xiàng)捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部分則為每銷售一件產(chǎn)品，就抽出一元錢作為捐款

16、若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請(qǐng)你確定此時(shí)銷售單價(jià)的范圍【答案】解：（1）252830，把28代入y=40x得， y=12（萬件）。答：當(dāng)銷售單價(jià)定為28元時(shí)，該產(chǎn)品的年銷售量為12萬件。（2）當(dāng) 25x30時(shí)，W=（40x）（x20）25100=x2+60x925=（x30）225，當(dāng)x=30時(shí)，W最大為25，即公司最少虧損25萬。當(dāng)30x35時(shí)，W=（250.5x）（x20）25100=x2+35x625=（x35）212.5，當(dāng)x=35時(shí)，W最大為12.5，即公司最少虧損12.5萬。綜合，得，投資的第一年，公司虧損，

17、最少虧損是12.5萬。答：投資的第一年，公司虧損，最少虧損是12.5萬。（3）當(dāng) 25x30時(shí)，W=（40x）（x201）12.510=x2+59x782.5，令W=67.5，則x2+59x782.5=67.5，化簡(jiǎn)得：x259x+850=0，解得 x1=25；x2=34。此時(shí)，當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬元，25x30；當(dāng)30x35時(shí)，W=（250.5x）（x201）12.510=x2+35.5x547.5，令W=67.5，則x2+35.5x547.5=67.5，化簡(jiǎn)得：x271x+1230=0，解得x1=30；x2=41。此時(shí)，當(dāng)兩年的總盈利不低于67.5萬元，30x35，綜上所述，到第

18、二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，此時(shí)銷售單價(jià)的范圍是25x35?！究键c(diǎn)】一、二次函數(shù)的應(yīng)用?！痉治觥浚?）因?yàn)?52830，所以把28代入y=40x即可求出該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件。（2）由（1）中y于x的函數(shù)關(guān)系式和根據(jù)年獲利=年銷售收入生產(chǎn)成本投資成本，得到w和x的二次函數(shù)關(guān)系，再由x的取值范圍不同分別討論即可知道該公司是盈利還是虧損。 （3）由條件得到w和x在自變量x的不同取值范圍的函數(shù)關(guān)系式，再分別令w=67.5，求出對(duì)應(yīng)x的值，結(jié)合y于x的關(guān)系中的x取值范圍即可確定此時(shí)銷售單價(jià)的范圍。2. （2012湖南益陽(yáng)10分）已知：如圖，拋物線y=a（x1）2+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)

19、B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P'（1，3）處（1）求原拋物線的解析式；（2）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)5班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過點(diǎn)P'作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果可保留根號(hào)）【答案】解：（1）P與P（1，3）關(guān)于x軸對(duì)稱，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）。拋物線y=a（x1

20、）2+c頂點(diǎn)是P（1，3），拋物線解析式為y=a（x1）23。拋物線y=a（x1）23過點(diǎn)A，a（1）23=0，解得a=1。拋物線解析式為y=（x1）23，即y=x22x2。（2）CD平行x軸，P（1，3）在CD上，C、D兩點(diǎn)縱坐標(biāo)為3。由（x1）23=3，解得：。C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為。CD=?！癢”圖案的高與寬（CD）的比=（或約等于0.6124）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用，翻折對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）利用P與P（1，3）關(guān)于x軸對(duì)稱，得出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式即可。（2）根據(jù)已知求出C，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出“W”圖案的高與

21、寬（CD）的比。3. （2012湖南岳陽(yáng)8分）游泳池常需進(jìn)行換水清洗，圖中的折線表示的是游泳池?fù)Q水清洗過程“排水清洗灌水”中水量y（m3）與時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系式（1）根據(jù)圖中提供的信息，求整個(gè)換水清洗過程水量y（m3）與時(shí)間t（min）的函數(shù)解析式；（2）問：排水、清洗、灌水各花多少時(shí)間？【答案】解：（1）排水階段：設(shè)解析式為：y=kt+b，圖象經(jīng)過（0，1500），（25，1000），解得：。排水階段解析式為：y=20t+1500。清洗階段：y=0。灌水階段：設(shè)解析式為：y=at+c，圖象經(jīng)過（195，1000），（95，0），解得：。灌水階段解析式為：y=10t950。（2）排

22、水階段解析式為：y=20t+1500，令y=0，即0=20t+1500，解得：t=75。排水時(shí)間為75分鐘。清洗時(shí)間為：9575=20（分鐘），根據(jù)圖象可以得出游泳池蓄水量為1500 m3，1500=10t950，解得：t=245。故灌水所用時(shí)間為：24595=150（分鐘）?！究键c(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥浚?）根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法分別得出排水階段解析式，以及清洗階段：y=0和灌水階段解析式即可。（2）根據(jù)（1）中所求解析式，即可得出圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出答案。4. （2012湖南岳陽(yáng)10分）我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面，經(jīng)過鍋

23、心和蓋心的縱斷面是兩端拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡(jiǎn)稱為“鍋線”，鍋口直徑為6dm，鍋深3dm，鍋蓋高1dm（鍋口直徑與鍋蓋直徑視為相同），建立直接坐標(biāo)系如圖所示，如果把鍋縱斷面的拋物線的記為C1，把鍋蓋縱斷面的拋物線記為C2（1）求C1和C2的解析式；（2）如圖，過點(diǎn)B作直線BE：y=x1交C1于點(diǎn)E（2，），連接OE、BC，在x軸上求一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的PBC與BOE相似，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如果（2）中的直線BE保持不變，拋物線C1或C2上是否存在一點(diǎn)Q，使得EBQ的面積最大？若存在，求出Q的坐標(biāo)和EBQ面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】解：（1）拋物線C1、C2

24、都過點(diǎn)A（3，0）、B（3，0），設(shè)它們的解析式為：y=a（x3）（x+3）。拋物線C1還經(jīng)過D（0，3），3=a（03）（0+3），解得a=。拋物線C1：y=（x3）（x+3），即y=x23（3x3）。拋物線C2還經(jīng)過A（0，1），1=a（03）（0+3），a=拋物線C2：y=（x3）（x+3），即y=x2+1（3x3）。（2）直線BE：y=x1必過（0，1），CBO=EBO（tanCBO=tanEBO=）。由E點(diǎn)坐標(biāo)可知：tanAOE，即AOECBO，它們的補(bǔ)角EOBCBx。若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的PBC與BOE相似，只需考慮兩種情況：CBP1=EBO，且OB：BE=BP1：BC，由已知和

25、勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OBBP1=。P1（，0）P2BC=EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2OB=。P2（，0）綜上所述，符合條件的P點(diǎn)有：P1（，0）、P2（，0）。（3）如圖，作直線l直線BE，設(shè)直線l：y=x+b。當(dāng)直線l與拋物線C1只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：x+b=x23，即：x2x（3b+9）=0。由=（1）24（3b+9）=0。得。此時(shí)，。該交點(diǎn)Q2（）。過點(diǎn)Q2作Q2FBE于點(diǎn)F，則由BE：y=x1可用相似得Q2F的斜率為3，設(shè)Q2F：y=3xm。將Q2（）代入，可得。Q2F：y=3x。聯(lián)

26、立BE和Q2F，解得。F（）。Q2到直線 BE：y=x1的距離Q2F：。當(dāng)直線l與拋物線C2只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)：x+b=x2+1，即：x2+3x+9b9=0。由=324（9b9）=0。得。此時(shí)，。該交點(diǎn)Q1（）。同上方法可得Q1到直線 BE：y=x1 的距離：。，符合條件的Q點(diǎn)為Q1（）。EBQ的最大面積：。【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程根的判別式，點(diǎn)到直線的距離，平行線的性質(zhì)。【分析】（1）已知A、B、C、D四點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可確定兩函數(shù)的解析式。5. （2012湖南永州10分）如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax

27、2+bx1（a0）的圖象過點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），l為過點(diǎn)（0，2）且與x軸平行的直線，P（m，n）是該二次函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，過P作PHl，H為垂足（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）請(qǐng)直接寫出使y0的對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；（3）對(duì)應(yīng)當(dāng)m=0，m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|PO|2和|PH|2的值由此觀察其規(guī)律，并猜想一個(gè)結(jié)論，證明對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，此結(jié)論成立；（4）試問是否存在實(shí)數(shù)m可使POH為正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】解：（1）二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），-，解得。二次函數(shù)的解析式為y=x

28、21。（2）當(dāng)2x2時(shí)y0。（3）當(dāng)m=0時(shí)，|PO|2=1，|PH|2=1；當(dāng)m=2時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4；當(dāng)m=4時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25。由此發(fā)現(xiàn)|PO|2=|PH|2。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），即n=m21|OP|2= m2+ n2，|PH|2=（n+2）2=n2+4n+4=n2+m2。對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，|PO|2=|PH|2。（4）存在。由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，POH為正三角形。設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），|OP|2= m2+ n2，|OH|2=4+ m2，由|OP|=|OH|得，m2+ n2=4+

29、m2，即n2=4，解得n=±2。當(dāng)n=2時(shí)，n=m21不符合條件，當(dāng)n=2時(shí)，由2=m21解得m=±2。故當(dāng)m=±2時(shí)可使POH為正三角形【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定?！痉治觥浚?）根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx1（a0）的圖象過點(diǎn)A（2，0）和B（4，3），待定系數(shù)法求出a和b的值，拋物線的解析式即可求出。（2）令y=x21=0，解得x=2或x=2，由圖象可知當(dāng)2x2時(shí)y0。（3）分別求出當(dāng)m=0，m=2和m=4時(shí)，分別計(jì)算|PO|2和|PH|2的值然后觀察其規(guī)律，再進(jìn)行證明。（4）由（3）知OP=

30、OH，只要OH=OP成立，POH為正三角形，求出|OP|、|OH|含有m和n的表達(dá)式，令兩式相等，求出m和n的值。6. （2012湖南郴州6分）已知反比例函數(shù)的圖象與直線y=2x相交于A（1，a），求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式【答案】解：設(shè)反比例函數(shù)的解析式為（k0），把A（1，a）代入y=2x得a=2，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）。把A（1，2）代入得k=1×2=2。反比例函數(shù)的解析式為?！究键c(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?！痉治觥吭O(shè)反比例函數(shù)的解析式為（k0），先把A（1，a）代入y=2x可得a=2，則可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），然后把A（1，2

31、）代入可計(jì)算出k的值，從而確定反比例函數(shù)的解析式。7. （2012湖南郴州10分）如圖，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)（1）求拋物線的解析式及對(duì)稱軸（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使得MA+MB的值最小，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由【答案】解：（1）拋物線經(jīng)過A（4，0），B（2，3），C（0，3）三點(diǎn)， ，解得。拋物線的解析式為：，其對(duì)稱軸為：。（2）由B（2，3），C（0，3），且對(duì)稱軸為x=1，可知點(diǎn)B、C是關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)。如圖1

32、所示，連接AC，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)M，連接MB，則MAMB=MAMC=AC，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知此時(shí)MAMB的值最小。設(shè)直線AC的解析式為y=kxb，A（4，0），C（0，3）， ，解得。直線AC的解析式為：y=x3。令x=1，得y= 。M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）。（3）結(jié)論：存在。如圖2所示，在拋物線上有兩個(gè)點(diǎn)P滿足題意：若BCAP1，此時(shí)梯形為ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BCx軸，則x軸與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)P1即為所求。在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。P1（2，0）。P1A=6，BC=2，P1ABC。四邊形ABCP1為梯形。若ABCP2，此時(shí)梯形為ABCP2。設(shè)CP2

33、與x軸交于點(diǎn)N，BCx軸，ABCP2，四邊形ABCN為平行四邊形。AN=BC=2。N（2，0）。設(shè)直線CN的解析式為y=k1x+b1，則有： ，解得。直線CN的解析式為：y=x+3。點(diǎn)P2既在直線CN：y=x+3上，又在拋物線：上，x+3=，化簡(jiǎn)得：x26x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。點(diǎn)P2橫坐標(biāo)為6，代入直線CN解析式求得縱坐標(biāo)為6。P2（6，6）。ABCN，AB=CN，而CP2CN，CP2AB。四邊形ABCP2為梯形。綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形為梯形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（6，6）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點(diǎn)

34、的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段最短的性質(zhì)，梯形的判定。【分析】（1）已知拋物線上三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再由對(duì)稱軸公式求出對(duì)稱軸。（2）如圖1所示，連接AC，則AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求之M點(diǎn)；已知點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。（3）根據(jù)梯形定義確定點(diǎn)P，如圖2所示：若BCAP1，確定梯形ABCP1此時(shí)P1為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，解一元二次方程即可求得點(diǎn)P1的坐標(biāo)；若ABCP2，確定梯形ABCP2此時(shí)P2位于第四象限，先確定CP2與x軸交點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后求出直線CN的解析式，再聯(lián)立拋物線與

35、直線解析式求出點(diǎn)P2的坐標(biāo)。8. （2012湖南郴州10分）閱讀下列材料：我們知道，一次函數(shù)y=kx+b的圖象是一條直線，而y=kx+b經(jīng)過恒等變形可化為直線的另一種表達(dá)形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常數(shù)，且A、B不同時(shí)為0）如圖1，點(diǎn)P（m，n）到直線l：Ax+By+C=0的距離（d）計(jì)算公式是：d=   例：求點(diǎn)P（1，2）到直線的距離d時(shí)，先將化為5x12y2=0，再由上述距離公式求得d= 解答下列問題：如圖2，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線上的一點(diǎn)M（3，2）（1）求點(diǎn)M到直線AB的距離（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PAB的面積最小？若存在，求出點(diǎn)P

36、的坐標(biāo)及PAB面積的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理?！痉治觥浚?）按例求解即可。 （2）用二次函數(shù)的最值，求出點(diǎn)P到直線AB的距離最小值，即可求出答案。9. （2012湖南婁底10分）已知二次函數(shù)y=x2（m22）x2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0）和點(diǎn)B（x2，0），x1x2，與y軸交于點(diǎn)C，且滿足（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）探究：在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？如果有，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請(qǐng)說明理由【答案】解：（1）二次函數(shù)y=x2（m22）x2m的圖象與x軸交于點(diǎn)A（x1，0

37、）和點(diǎn)B（x2，0），x1x2，令y=0，即x2（m22）x2m=0 ，則有：x1+x2=m22，x1x2=2m。，化簡(jiǎn)得到：m2+m2=0，解得m1=2，m2=1。當(dāng)m=2時(shí)，方程為：x22x+4=0，其判別式=b24ac=120，此時(shí)拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，不符合題意，舍去；當(dāng)m=1時(shí)，方程為：x2+x2=0，其判別式=b24ac=90，此時(shí)拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，符合題意。m=1。拋物線的解析式為y=x2+x2。（2）存在。理由如下：假設(shè)在直線y=x+3上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形。如圖所示，連接PAPBACBC，過點(diǎn)P作PDx軸于D點(diǎn)。拋物線y=x2+x2與x軸交

38、于AB兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，A（2，0），B（1，0），C（0，2）。OB=1，OC=2。PACB為平行四邊形，PABC，PA=BC。PAD=CBO，APD=OCB。在RtPAD與RtCBO中，PAD=CBO ，PA=BC，APD=OCB ，RtPADRtCBO（AAS）。PD=OC=2，即yP=2。直線解析式為y=x+3，xP=1。P（1，2）。在直線y=x+3上存在一點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）?！究键c(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)與x點(diǎn)問題，曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）欲求拋物線

39、的解析式，關(guān)鍵是求得m的值根據(jù)題中所給關(guān)系式，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可以求得m的值，從而問題得到解決。注意：解答中求得兩個(gè)m的值，需要進(jìn)行檢驗(yàn)，把不符合題意的m值舍去。（2）利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等關(guān)系求得P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得P點(diǎn)坐標(biāo)。10. （2012湖南株洲10分）如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=x2+bx+c過A、B兩點(diǎn)（1）求這個(gè)拋物線的解析式；（2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)【答案】解：（1）分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，A、B點(diǎn)的坐標(biāo)為：A（0，2），B（4，0）。將x=0，y=2代入y=x2+bx+c得c=2；將x=4