§4.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、14.34.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【知識(shí)梳理】【知識(shí)梳理】1.周期函數(shù)(1)周期函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù) f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù) T，使得 當(dāng) x 取 定 義 域 內(nèi) 的 每 一 個(gè) 值 時(shí) ， 都 有 _，那么函數(shù) f(x)就叫做周期函數(shù)_叫做這個(gè)函數(shù)的周期(2)最小正周期如果在周期函數(shù) f(x)的所有周期中存在一個(gè)_，那么這個(gè)_就叫做 f(x)的最小正周期2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域xRxRx|xR 且x2k，kZ值域_單調(diào)性_上遞增，kZ；_上遞減，kZ_上遞增，kZ；_上遞減，kZ_上遞增，kZ最值x _時(shí)

2、，ymax1(kZ)；x_時(shí)，ymin1(kZ)x_時(shí)，ymax1(kZ)；x_時(shí)，ymin1(kZ)無(wú)最值奇偶性_對(duì)稱性對(duì)稱中心：對(duì)稱中心：對(duì) 稱 中 心 ：對(duì)稱軸對(duì)稱軸沒(méi)有對(duì)稱軸周期性T=2T=2T=答案：f(xT)f(x)T最小正數(shù)最小正數(shù)y|1y1y|1y1R22k，22k22k，322k(2k1)，2k2k，(2k1)2k，2k22k22k2k2k奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)(k，0)，kZ21k2，0，kZ22k2，0，kZ23xk2，kZ24xk，kZ25226227【課前自測(cè)】【課前自測(cè)】1.設(shè)函數(shù) f(x)sin2x2 ，xR，則 f(x)是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶

3、函數(shù)C最小正周期為2的奇函數(shù)D最小正周期為2的偶函數(shù)答案答案：B提示提示： f(x)sin2x2 cos2x， f(x)f(x)，f(x)為偶函數(shù)，排除 A、C，又T，故選 B.2. ysinx4 的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是 ()2A(，0)B.34，0C.32，0D.2，0答案：答案：B提示：提示：ysin x 的對(duì)稱中心為(k，0) (kZ)，令 x4k (kZ)， xk4(kZ)， 由 k1，x 34得 y sinx4 的 一 個(gè) 對(duì) 稱 中 心 是34，0.故選擇 B.3. (2012課標(biāo)全國(guó))已知0， 函數(shù) f(x)sinx4在2，上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A.12，54B.12，3

4、4C.0，12D.(0,2答案：答案：A提示提示：取54，f(x)sin54x4 ，顯然2，85k5，85k，kZ，排除 B，C. 取2，f(x)sin2x4 ，其減區(qū)間為k8，k58，kZ，顯然2，k8，k58，kZ，排除 D.4.（20132013長(zhǎng)春模擬）函數(shù) y3cos(2x)的圖象關(guān)于點(diǎn)43，0中心對(duì)稱，則|的最小值為()A.6B.4來(lái)源:C.3D.2答案答案：A提示提示： 由3cos2430得cos230，即232k，6k，當(dāng) k0 時(shí)|6.5.（20132013 西鐵一中西鐵一中）函數(shù) f(x)cos 2xsin52x是()A非奇非偶函數(shù)B僅有最小值的奇函數(shù)C僅有最大值的偶函數(shù)D

5、有最大值又有最小值的偶函數(shù)答案答案：D提示提示： f(x)cos 2xsin52x2cos2x1cosx2cos x14298.顯然有最大值又有最小值， 而且在 R 上有 f(x)f(x)，所以正確答案為 D.【課標(biāo)示例題】【課標(biāo)示例題】【例【例 1 1】三角函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題三角函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題(1)求函數(shù) y 1tan x的定義域；(2)求函數(shù) ycosx3 ， x0，3 的最大值與最小值答案答案： （1）k2，k4 (kZ)（2）12，12解析解析： （1）由 1tan x0，得 tan x1，k2xk4(kZ)函數(shù)的定義域是k2，k4 (kZ)（2）0 x3，3x323，又

6、ycos x 在0，上是減函數(shù)，cos23cosx3 cos3，即12y12.函數(shù)的值域是12，12【方法提煉】【方法提煉】求函數(shù)的定義域可利用三角函數(shù)的圖像或數(shù)軸；求函數(shù)值域時(shí)要利用正弦函數(shù)的值域或化為二次函數(shù)(1)求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡(jiǎn)單的三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖像來(lái)求解(2)求解三角函數(shù)的值域(最值)常見(jiàn)到以下幾種類型的題目：形如 yasin xbcos xc 的三角函數(shù)化為 yAsin(x)k 的形式，再求最值(值域)；3形如 yasin2xbsin xc 的三角函數(shù)，可先設(shè) sin xt，化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)求值域(最值)；形如 yasin xcos xb

7、(sin xcos x)c 的三角函數(shù)，可先設(shè) tsin xcos x，化為關(guān)于 t 的二次函數(shù)求值域(最值)【舉一反三】1(1)(2013 湛 江 調(diào) 研 ) 函 數(shù) y lg(sinx) cos x12的定義域?yàn)開（2）函數(shù)ysin2xsinx1 的值域?yàn)?)A1,1B.54，1C.54，1D.1，54答案答案：（1） x|2k0，cos x120，即sin x0，cos x12，解得2kx2k，32kx32k(kZ)，2kx32k，kZ，函數(shù)的定義域?yàn)閤|2kx32k，kZ .（2）(數(shù)形結(jié)合法)ysin2xsinx1，令 sinxt，則有yt2t1，t1,1，畫出函數(shù)圖像如圖所示，從圖

8、像可以看出，當(dāng)t12及t1時(shí)，函數(shù)取最值，代入yt2t1 可得y54，1.【例例 2 2】三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性(2013華南師大附中 9 月月考)已知函數(shù) ysin32x，求：(1)函數(shù)的周期；(2)求函數(shù)在，0上的單調(diào)遞減區(qū)間解析解析：由 ysin32x可化為 ysin2x3 .(1)周期 T222.(2)令 2k22x32k2，kZ，得 k12xk512，kZ.所以 xR 時(shí)，ysin32x的減區(qū)間為k12，k512 ，kZ.從而 x，0時(shí)，ysin32x的減區(qū)間為，712 ，12，0.【方法提煉】【方法提煉】（1） 求形如 f(x)Asin(x)或 f(x)A

9、cos(x)（其中 A0, 0）的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)解不等式來(lái)解決.此時(shí)把“x”看成一個(gè) “整體” ，函數(shù)按照復(fù)合函數(shù)的“增減性”來(lái)處理；（2）對(duì)于函數(shù) f(x)Atan(x)（其中 A, ，為常數(shù)）其周期 T=|，單調(diào)區(qū)間由x（k-2， k+2） ，解出 x 的范圍，寫出其單調(diào)區(qū)間.【舉一反三】2求函數(shù) ysin34xcos4x6 的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值答案與提示答案與提示： 34x64x2， cos4x6cos64xcos234xsin34x.y2sin4x3 ， 周期 T242.當(dāng)22k4x322k (kZ)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的遞增區(qū)4間為524k2，24k2(kZ)當(dāng)22

10、k4x3322k (kZ)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的遞減區(qū)間為24k2，724k2 (kZ)當(dāng) x24k2(kZ)時(shí)，ymax2；當(dāng) x524k2(kZ)時(shí)，ymin2.【例【例 3 3】三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性三角函數(shù)的對(duì)稱性與奇偶性設(shè)函數(shù) f(x)2cosx(sinxcosx)1，將函數(shù) f(x)的圖象向左平移個(gè)單位， 得到函數(shù) yg(x)的圖象(1)求函數(shù) f(x)的對(duì)稱中心；(2)若 02，且 g(x)是偶函數(shù)，求的值解析：解析：(1)f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x 2sin(2x4)，f(x)的對(duì)稱中心（12k -8，0）(kZ).(2)g(x)f(x)

11、2sin2(x)4 2sin(2x24)，g(x)是偶函數(shù)，則 g(0) 2 2sin(24)，24k2，kZ.k28(kZ)， 02，8.【方法提煉】【方法提煉】若 f(x)Asin(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得最大值或最小值若 f(x)Asin(x)為奇函數(shù)，則當(dāng) x0 時(shí)，f(x)0.如果求 f(x)的對(duì)稱軸，只需令x2k (kZ)，求 x.如果求f(x)的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，只需令xk (kZ)即可【舉一反三】3（2013 全國(guó)大綱卷）已知函數(shù) =cos sin2f xxx,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是 （）A. yf x的圖像關(guān)于,0中心對(duì)稱B. yf x的圖像關(guān)于直線2x對(duì)稱C. f

12、 x的最大值為32D. f x既奇函數(shù),又是周期函數(shù)答案與提示答案與提示：C.因?yàn)?f（x）=2cos2xsinx=2（1-sin2x）sinx.令 t=sinx，t-1,1,有 y=2（1-t2）t=2t-2t3.求導(dǎo)易得極值點(diǎn) t=33， 求端點(diǎn)處的函數(shù)值和極值，可得函數(shù)的最大值是32【課標(biāo)創(chuàng)新題】【課標(biāo)創(chuàng)新題】已知函數(shù) f(x)2asin2x3 b 的定義域?yàn)?，2 ，函數(shù)的最大值為 1，最小值為5，求 a 和b 的值解析解析：0 x2，32x323， 32sin2x31 ， 若 a 0, 則2ab1 3ab5，解得a126 3b2312 3；若a0， 則2ab5 3ab1， 解得a12

13、6 3b1912 3.綜上可知，a126 3，b23123或 a126 3，b1912 3.【方法提煉】求函數(shù)的值域的方法有三類：利用函數(shù)的有界性(1sin x1,1cosx1)，求三角函數(shù)的值域(最值) 利用函數(shù)的單調(diào)性求函5數(shù)的值域或最值利用換元法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(要注意 x 系數(shù)的正負(fù)號(hào))【舉一反三】4已知函數(shù) f(x)sin2xacos2x(aR，a 為常數(shù))，且4是函數(shù) yf(x)的零點(diǎn).(1)求 a 的值，并求函數(shù) f(x)的最小正周期；(2)若 x0，2， 求函數(shù) f(x)的值域， 并寫出 f(x)取得最大值時(shí) x 的值.答案與提示答案與提示： (1)由于4是函數(shù) yf(x)

14、的零點(diǎn)，即 x4是方程 f(x)0 的解，從而 f(4)sin2acos240，則 112a0，解得 a2.所以 f(x)sin2x2cos2xsin2xcos2x1，則 f(x)2sin(2x4)1，所以函數(shù) f(x)的最小正周期為.(2)由 x0，2，得 2x4344 ，則 sin(2x4)22，1，則12sin(2x4)2，22sin(2x4)121，函數(shù) f(x)的值域?yàn)?，21.當(dāng) 2x42k2(kZ)，即 xk38時(shí)， f (x)有最大值，又 x0，2，故 k0 時(shí)，x38，f(x)有最大值21.【課標(biāo)自測(cè)題】【課標(biāo)自測(cè)題】一選擇題（本大題共一選擇題（本大題共 1010 小題，每小

15、題小題，每小題 5 5 分，分，共共5050 分）分）1.1.函數(shù) ytan4x的定義域是()A. x|x4，xRB. x|x4，xRC. x|xk34，kZ，xRD.x|xk34，kZ，xR答案：答案：D提示提示：x4k2，xk34，kZ.2.2. (2013武漢聯(lián)考)若函數(shù) y2cos x 在區(qū)間0，23 上遞減，且有最小值 1，則的值可以是()A2B.12C3D.13答案：答案：B提示提示：由 y2cos x 在0，23 上是遞減的，且有最小值為 1，則有 f23 1，即 2cos231， 即 cos2312， 檢驗(yàn)各選項(xiàng)， 得出 B 項(xiàng)符合3.3.函數(shù)y|sinx|的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間是(

16、)A.4，4B.4，34C.，32D.32，2答案：答案：D提示提示： 作出函數(shù) y|sin x|的圖象觀察可知， 函數(shù)y|sin x|在，32 上遞增64.4. 已知函數(shù) f(x)=sin(2x-6)，若存在 a(0,)， 使得 f(x+a)=f(x-a)恒成立， 則 a 的值是()A.6B.3C.4D.2答案：答案：D提示提示：因?yàn)楹瘮?shù)滿足 f(x+a)=f(x-a)，所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為 2a，2a=22，所以 a=2.5.5.已知函數(shù) f(x)sin x 3cos x，設(shè) af7 ，bf6 ，cf3 ，則 a，b，c 的大小關(guān)系是()AabcBcabCbacDbca答案：答案：

17、B提示提示：f(x)sin x 3cos x2sinx3 ，因?yàn)楹瘮?shù) f(x)在0，6 上單調(diào)遞增，所以 f7 f6 ，而 cf3 2sin232sin3f(0)f7 ，所以ca0)的單調(diào)遞增區(qū)間為k512，k12 (kZ)，單調(diào)遞減區(qū)間為k12，k712 (kZ)，則的值為_答案：答案：2提示提示：由題意，得k712 k512 ，即函數(shù) f(x)的周期為，則2.12.12.定義在 R 上的函數(shù) f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若 f(x)的最小正周期是，且當(dāng) x0，2時(shí)，f(x)sin x，則 f53 的值為_答案：答案：32提示提示：f53 f3 f3 sin332.13.13.函數(shù) f(

18、x)2sin x(0)在0，4 上是增加的，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是 3，那么_.答案：答案：43提示提示：因?yàn)?f(x)2sin x (0)在0，4 上是增加的， 且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是 3， 所以 2sin4 3，且 04cos x 時(shí)，f(x)sin x.給出以下結(jié)論：f(x)是周期函數(shù)；f(x)的最小值為1；當(dāng)且僅當(dāng) x2k (kZ)時(shí)，f(x)取得最小值；當(dāng)且僅當(dāng) 2k2x0；f(x)的圖像上相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)的距離是 2.其中正確的結(jié)論序號(hào)是_答案：答案：提示提示：易知函數(shù) f(x)是周期為 2的周期函數(shù)8函數(shù) f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖所示由圖像可得， f(x)的最小值為22， 當(dāng)且僅當(dāng) x2k54(kZ)時(shí)，f(x)取