自動(dòng)控制原理第2章

1、數(shù)學(xué)模型 是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型 在靜態(tài)條件下，描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學(xué)模型 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型：第2章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 建立動(dòng)態(tài)微分方程的一般方法 用解析法建立系統(tǒng)或子系統(tǒng)（也稱元件）微分方程的一般步驟是： 1、清楚系統(tǒng)的工作原理，確定系統(tǒng)和子系統(tǒng)之間的輸入、輸出變量； 2、從系統(tǒng)的輸入端開(kāi)始，根據(jù)各子系統(tǒng)所遵守的物理規(guī)律列寫(xiě)出它們 的微分方程，一般為微分方程組； 3、消去中間變量消去中間變量，寫(xiě)出僅含有系統(tǒng)輸入輸出變量?jī)H含有系統(tǒng)輸入輸出變量的微分方程。一般情 況下，與輸入量

2、有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在微分方程的右端，與輸出量有關(guān)的項(xiàng) 寫(xiě)在微分方程的左端，微分方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。ucuriRCidtCRiur1idtCuc1rccuudtduRCrccuudtduTrucu【例2-1】試編寫(xiě)出圖2-1所示RC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程。電壓 為輸入量，電壓 為輸出量。 解解：根據(jù)電路理論，可寫(xiě)出如圖所示， i為流經(jīng)電阻R和電容C的電流。消去中間變量 i ，得到令T=RC，則式中T稱為網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)。上式表示了RC電路的輸入量與輸出量之間的關(guān)系。線性微分方程的求解（3）對(duì)輸出量的拉式變換式進(jìn)行拉式反變換，得到系統(tǒng)微 分方程的解。 線性微分方程的求解方法：解析法、拉普拉斯變換法

3、、計(jì)算機(jī)輔助求解拉普拉斯變換法求解微分方程基本步驟：（1）考慮初始條件，對(duì)微分方程中的各項(xiàng)進(jìn)行拉式變換， 變成變量s的代數(shù)方程。（2）由變量s的代數(shù)方程求出系統(tǒng)輸出量的拉式變換式。( )( )f tF s( )( )F sY s( )( )Y sy t2.2 傳遞函數(shù)2.2.1 傳遞函數(shù)的基本概念1. 傳遞函數(shù)定義2-1 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，系統(tǒng)的輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。線性定常系統(tǒng)的微分方程一般可寫(xiě)為)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdadttcdadttcdammmmmm

4、nnnnnn在零初始條件下，根據(jù)拉普拉斯變換的微分定理，對(duì)上式取拉普拉斯變換，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(例2-2 求例2-1所示RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。 設(shè)輸入量為 ，輸出量 。rucu解：由例2-1得該電路的微分方程為對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得傳遞函數(shù)為 rccuudtduRC)() s () s (ssUUURCrcc 1s1)(RCsUsUsGrc2傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)傳遞函數(shù)表征系統(tǒng)內(nèi)在的動(dòng)態(tài)特性，與系統(tǒng)輸入什么樣的類型信號(hào)無(wú)關(guān)與系統(tǒng)輸入什么樣的類型信號(hào)無(wú)關(guān)。傳遞函數(shù)只能反映系統(tǒng)在零初始條件下輸入、輸出變量之間的動(dòng)態(tài)

5、關(guān)系輸入、輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，不 能反映系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的傳遞關(guān)系。傳遞函數(shù)是從實(shí)際物理系統(tǒng)出發(fā)，用數(shù)學(xué)方法抽象出來(lái)的，相同的微分方 程，可以有相同的傳遞函數(shù)。但是，無(wú)法代表具體系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。傳遞函數(shù)描述的是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，它與描述系統(tǒng)的微分方程是一一對(duì)應(yīng)的。 傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式就是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，它決定系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)的基暫態(tài)響應(yīng)的基本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)本特點(diǎn)和動(dòng)態(tài)本質(zhì)。分母多項(xiàng)式中的最高階數(shù)表示系統(tǒng)的階數(shù)系統(tǒng)的階數(shù)，具有n階特征多項(xiàng)式的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。令系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式等于零所得到的方程稱為系統(tǒng)的特征方程特征方程；系統(tǒng)的特征方程的解稱為系統(tǒng)的特征根系統(tǒng)的特征根。傳

6、遞函數(shù)還可寫(xiě)成njjmiinjjmiisTsTkpszsksG1111*) 1() 1()()()(式中 和 均為常數(shù)， 為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)； 為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，也就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)為實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。將零、極點(diǎn)標(biāo)注在一個(gè)復(fù)平面上則得到關(guān)于零極點(diǎn)的分布圖，這個(gè)復(fù)平面稱為s平面。一般情況下，零點(diǎn)用圈號(hào)表示，極點(diǎn)用叉號(hào)表示零點(diǎn)用圈號(hào)表示，極點(diǎn)用叉號(hào)表示。 *kkizjp某系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 的零極點(diǎn)分布圖如圖所示。 6852)(23sssssG2.2.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 1） 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) ：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由

7、下：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下 面的代數(shù)方程式來(lái)表示面的代數(shù)方程式來(lái)表示式中式中 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。K傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：( )( )y tK r t( )( )( )Y sG sKR s特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。特點(diǎn)：輸入輸出量成比例，無(wú)失真和時(shí)間延遲。比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻實(shí)例：電子放大器，齒輪，電阻( (電位器電位器) )，感應(yīng)，感應(yīng)式變送器等式變送器等2） 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) ：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下 面的常系數(shù)非齊次微分方程式來(lái)表面的常系數(shù)非齊次微分方程式來(lái)表示示( )(

8、)( )dy tTy tK r tdt傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：( )( )( )1Y sKG sR sTs式中式中 T 環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)的時(shí)間時(shí)間常數(shù)。常數(shù)。特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入特點(diǎn)：含一個(gè)儲(chǔ)能元件，對(duì)突變的輸入,其輸出其輸出不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。不能立即發(fā)現(xiàn)，輸出無(wú)振蕩。實(shí)例：實(shí)例：RC網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也網(wǎng)絡(luò)，直流伺服電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)也包含這一環(huán)節(jié)包含這一環(huán)節(jié)3） 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) ：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下 面的微分方程式來(lái)表示面的微分方程式來(lái)表示( )( )y tKr t dt傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：( )( )( )Y sKG

9、 sR ss特點(diǎn)：特點(diǎn)： 輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸輸出量與輸入量的積分成正比例，當(dāng)輸入消失，輸出具有記憶功能。入消失，輸出具有記憶功能。實(shí)例：實(shí)例： 電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù)，模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。4） 微分微分環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) ：是積分的逆運(yùn)算，是積分的逆運(yùn)算，其輸出量和輸入量其輸出量和輸入量的關(guān)系，由的關(guān)系，由下下式來(lái)表示式來(lái)表示( )( )dr ty tdt傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：( )( )( )Y sG ssR s式中式中 環(huán)節(jié)的環(huán)節(jié)的時(shí)間時(shí)間常數(shù)。常數(shù)。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 輸出量正比輸入量變化的速度，能預(yù)示輸輸出量正比輸入

10、量變化的速度，能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例：實(shí)例： 測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞測(cè)速發(fā)電機(jī)輸出電壓與輸入角度間的傳遞函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)函數(shù)即為微分環(huán)節(jié)5） 振蕩振蕩環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) ：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的下面的二階微分方程二階微分方程式來(lái)表示式來(lái)表示。222( )( )2( )( )dy tdy tTTy tK r tdtdt傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：22( )( )( )21Y sKG sR sT sTs特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，特點(diǎn)：環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，并可進(jìn)行能量交換，其輸出出現(xiàn)振蕩。其輸出出現(xiàn)振蕩

11、。實(shí)例：實(shí)例：RLCRLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。6） 延遲延遲環(huán)節(jié)環(huán)節(jié) ：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下下式來(lái)式來(lái)表示表示( )()1()y tr tt傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為：( )( )( )sY sG seR s式中式中 延遲時(shí)間延遲時(shí)間特點(diǎn)：特點(diǎn)： 輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時(shí)間間隔。固定的時(shí)間間隔。實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)實(shí)例：管道壓力、流量等物理量的控制，其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。以上以上6種是常見(jiàn)的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型種是

12、常見(jiàn)的基本典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型1）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件）是按數(shù)學(xué)模型的共性建立的，與系統(tǒng)元件不是一一對(duì)應(yīng)的；不是一一對(duì)應(yīng)的；2）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同）同一元件，取不同的輸入輸出量，有不同的傳遞函數(shù)，有不同的傳遞函數(shù)；的傳遞函數(shù)，有不同的傳遞函數(shù)；3）環(huán)節(jié)是相對(duì)的，一定）環(huán)節(jié)是相對(duì)的，一定 條件下可以轉(zhuǎn)化；條件下可以轉(zhuǎn)化；4）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述。）基本環(huán)節(jié)適合線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型描述。典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) 1比例環(huán)節(jié) 2慣性環(huán)節(jié) 3積分環(huán)節(jié) ksRsCsG)()()(11)()()(TssRsCsGssRsCsG1)()()(其傳遞函數(shù)為 其傳遞函

13、數(shù)為 其傳遞函數(shù)為 4微分環(huán)節(jié)ssRsCsG)()()(其傳遞函數(shù)為 5振蕩環(huán)節(jié)6延遲環(huán)節(jié)121)()()(22TssTsRsCsG2222)(nnnwswswsGsesRsCsG)()()(其傳遞函數(shù)為 其傳遞函數(shù)為 2.3 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.1 結(jié)構(gòu)圖的構(gòu)成 任何線性控制系統(tǒng)，都可以用方框、相加點(diǎn)、信號(hào)線和分支點(diǎn)所組成的結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示。方框：方框：標(biāo)有某一元件傳遞函數(shù)的方框圖。方框的輸出量等于方框的輸入量 與傳遞函數(shù)的乘積。 信號(hào)線：信號(hào)線：帶有箭頭的直線，它有方向性，用箭頭表示信號(hào)傳遞的方向，箭頭 處用字母符號(hào)代表信號(hào)。)RrG( s )(s )C(s信信 號(hào)號(hào) 線線方方 框框(t)c

14、 (t)()()(sRsGsC相加點(diǎn)：相加點(diǎn)：也稱綜合點(diǎn)，用“ ”符號(hào)表示，箭頭表示信號(hào)傳遞方向，表示 兩個(gè)以上信號(hào)的代數(shù)和。當(dāng)反饋信號(hào)為正反饋時(shí)，用“+” 號(hào)表示； 當(dāng)反饋信號(hào)為負(fù)反饋時(shí)，用“-”號(hào)表示?！?”號(hào)可以省略不寫(xiě)。分支點(diǎn)：分支點(diǎn)：用“ ”符號(hào)表示由方框出來(lái)的信號(hào)，從這一點(diǎn)同時(shí)進(jìn)入另一方 框或相加點(diǎn)，信號(hào)在數(shù)值和性質(zhì)上沒(méi)有任何變化。ERCCCC+X1X1+X2X2+- -)()(21sRsR)(1sR)(2sR想加點(diǎn)示意圖想加點(diǎn)示意圖分分支支點(diǎn)點(diǎn)示示意意圖圖)X( s )X ( s )R( s )C ( s)(1sG)(2sG建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的步驟如下： 第一步：根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和

15、工作原理，將系統(tǒng)分解成若干個(gè)環(huán)節(jié)， 確定各環(huán) 節(jié)的輸入量、輸出量，寫(xiě)出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。第二步：繪制出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。第三步：按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞方向，把各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖連接起來(lái)，就 得到了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖?！纠?-4】繪制濾波網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖 uri1R1C1uci2R2C2u1解解：根據(jù)電路理論的KVL、KCL運(yùn)算法則，可直接列寫(xiě)出下列各式 )(1)()(111sIRsUsUr)(1)()(1121sUsCsIsI)(1)()(221sIRsUsUC)(1)(22sUsCsIC)(sUr1/R1)(1sU)(I1s1/R2)(1sU)(UCs)(I2s1/C1s)(1sU)(I1s

16、)(I2s1/C2S)(UCs)(I2s)(C1)(I)(I1121sUsss)(1)()(111sIRsUsUr)(U1)(c2sCssI)(1)()(22c1sIRsUsU)(sUr1/R1)(1sU)(I1s)(1sU1/C1s1/C2S)(UCs)(UCs1/R2)(I2s)(1sU)(sUr1/R1)(I1s1/R2)(1sU)(UCs)(I2s1/C1s)(1sU)(I1s)(I2s1/C2S)(UCs)(I2s2.3.2 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.前向通道傳遞函數(shù)：輸出量與偏差量之比。)()()(sEsCsG2.反饋通道傳遞函數(shù)：反饋量與輸出量之比。)()()(sCsBsH3.開(kāi)環(huán)傳

17、遞函數(shù)：反饋量與偏差量之比。 )()()()()(sHsGsEsBsGk4.閉環(huán)傳遞函數(shù)：輸出量與輸入量之比。 )()(1)()()()(sHsGsGsRsCsGB5.誤差（偏差）傳遞函數(shù)：偏差量與輸入量之比。 )()(11)()()(,sHsGsRsEsGRE 典型的閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中 代表輸入量， 代表輸出量， 代表偏差量， 代表反饋量。)(sR)(sC)(sE)(sB解：解：按照上述開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)以及誤差傳遞函數(shù)的定義，可知 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ) 3(55 . 2) 3(2)()()()()(sssssHsGsEsBsGk閉環(huán)傳遞函數(shù) 5325 . 2) 3(2

18、1) 3(2)()(1)()()()(2sssssssHsGsGsRsCsGB誤差傳遞函數(shù) 5335 . 2) 3(211)()(11)()()(22,sssssssHsGsRsEsGRE【例2-5】控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其中前向通道傳遞函數(shù) ，反饋通道傳遞函數(shù) 。試求該系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)以及誤差傳遞函數(shù)。) 3(2)(sssG5 . 2)(sH為了由方塊圖寫(xiě)出它的閉環(huán)傳遞函數(shù)，通常需要對(duì)方塊圖進(jìn)行等效變換。等效變換的原則：變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。變換前后各變量之間的傳遞函數(shù)保持不變。在控制系統(tǒng)中，任何復(fù)雜系統(tǒng)主要由響應(yīng)環(huán)節(jié)的方塊經(jīng)串聯(lián)、并聯(lián)和反饋串聯(lián)、并聯(lián)和反

19、饋三種基本形式連接而成。2.4 結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.4.1 串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換特點(diǎn)：前一環(huán)節(jié)的輸出量就是后一環(huán)節(jié)的輸入量。 )()()(11sRsGsU)()()()()(21sGsGsGsRsCniisGsG1)()(n為相串聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù) )()()()()()(1212sRsGsGsUsGsCR R ( ( s s ) )G G ( ( s s ) )C C ( ( s s ) )（ b b ） R( s)C( s)(1sU（a）)(1sG)(2sG結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。結(jié)論：串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于所有傳遞函數(shù)的乘積。結(jié)論：并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效傳遞函數(shù)等于并聯(lián)環(huán)節(jié)

20、傳遞函數(shù)的代數(shù)和。n為相并聯(lián)的環(huán)節(jié)數(shù)，當(dāng)然還有“-”的情況。 2.4.2 并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效變換)()()()()()()()()()(212121sRsGsGsRsGsRsGsCsCsC)()()()()(21sGsGsGsRsC)()(1sGsGnii特點(diǎn)：輸入信號(hào)是相同的， 輸出C(s)為各環(huán)節(jié)的輸出之和.（a）R( s)C( s)(2sG)(1sG)(2sC)(1sC G G( (s s) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) )（b b）R R(

21、(s s) )C C( (s s) )2.4.3反饋環(huán)節(jié)的等效變換 推導(dǎo)(負(fù)反饋)： )()()()()()()(sGsHsCsRsGsEsC右邊移過(guò)來(lái)整理得 )()(1)()()(sGsHsGsRsC開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)前向通路傳遞函數(shù)1)()(1)()()(sGsHsGsRsC即 ：這是一種應(yīng)用非常廣泛的等效變換方法，可將所有閉環(huán)系這是一種應(yīng)用非常廣泛的等效變換方法，可將所有閉環(huán)系統(tǒng)等效為一個(gè)環(huán)節(jié)。統(tǒng)等效為一個(gè)環(huán)節(jié)。當(dāng)正反饋時(shí)，分母取當(dāng)正反饋時(shí)，分母取“-”號(hào)；當(dāng)負(fù)反號(hào)；當(dāng)負(fù)反饋時(shí)，饋時(shí)， 分母取分母取“+”號(hào)號(hào)。C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )比比較較點(diǎn)點(diǎn)前前移移 G(s)C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) )()()()()()()()(sGsGsQsRsQsGsRsC1.綜合點(diǎn)的移動(dòng)（前移、后移） 2.4.4 結(jié)構(gòu)圖的等效變換法則 比比較較點(diǎn)點(diǎn)后后移移C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)Q Q( (s s) ) C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)G(s)Q Q( (s s) )()()()(