創(chuàng)意平板折疊桌

1、2021高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)那么.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式包括 、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等與隊(duì)外的任何人包括指導(dǎo)教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)那么的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料包括網(wǎng)上查到的資料，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)那么，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)那么的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫： B 我們的參賽報(bào)名號(hào)為如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話：

2、 所屬學(xué)校請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 數(shù)模教練組 日期： 2021 年 9 月 12 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)：2021高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)：賽區(qū)評(píng)閱記錄可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用：評(píng)閱人評(píng)分備注全國統(tǒng)一編號(hào)由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)：全國評(píng)閱編號(hào)由全國組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)：創(chuàng)意平板折疊桌摘要本文對(duì)創(chuàng)意平板折疊桌的折疊過程進(jìn)行研究，用數(shù)學(xué)模型描述折疊桌的相關(guān)設(shè)計(jì)參數(shù)及其動(dòng)態(tài)變化，用非線性優(yōu)化模型確定最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)，并給出折疊桌設(shè)計(jì)的程序。問

3、題一中，要求桌腿開槽的長度和桌腳邊緣線。在整個(gè)變化過程中所有桌腿都由鋼筋相連，且各桌腿與桌面連接點(diǎn)的相對(duì)位置不變。根據(jù)幾何關(guān)系，由折疊后鋼筋的位置及每根桌腿的長度即可計(jì)算每個(gè)桌腳邊緣的位置。求出桌腳邊緣的參數(shù)方程即可描繪桌腳邊緣線。在折疊過程中，以桌高為參數(shù)，就可以描繪動(dòng)態(tài)變化過程。分析發(fā)現(xiàn)，鋪展時(shí)鋼筋位于開槽的頂部，折疊時(shí)那么位于底部。因此可由初末兩個(gè)狀態(tài)的鋼筋與桌腳邊緣距離之差計(jì)算開槽長度。結(jié)果是，從外到內(nèi)桌腳槽寬依次為：0, 8.4, 11.5, 14.1, 16.2, 17.9, 19.3, 20.3, 21.0, 21.3 單位：。問題二只給定了桌面面積與桌高，需自主確定桌腿長與鋼筋

4、位置。本文從三個(gè)方面來決定桌子具體形狀：是否節(jié)約材料、穩(wěn)固性、加工難易。分析發(fā)現(xiàn)桌腿越長用材越多，但穩(wěn)固性越好。而開槽長度越短那么加工越容易。由力學(xué)分析得桌子受壓后不會(huì)變形的前提是最中間桌腿與桌面的夾角小于90度，即向內(nèi)“凹。為求得最優(yōu)方案，本文采用非線性規(guī)劃的方法，利用桌面面積和底面積建立目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系尋找約束條件，考慮實(shí)際賦予桌面與桌腳接觸面積權(quán)值。用Lingo軟件求得最優(yōu)解。結(jié)果是桌腳接觸面為正方形時(shí)到達(dá)最優(yōu)。桌腿長度確定后，通過考察不同鋼筋位置所形成的開槽長度來確定適宜的鋼筋位置。其中，槽長須為正且不超過相應(yīng)的桌腿長。據(jù)此可以確定一個(gè)范圍，再根據(jù)槽長越短加工越易的原那么確定最優(yōu)

5、鋼筋位置。問題三由用戶自由選擇桌高、桌面形狀與桌角線大致形狀。本文提供一種簡(jiǎn)單的思路使得能夠盡量滿足客戶的任意組合。確定桌子形狀后參照第二問的標(biāo)準(zhǔn)確定桌腿長與鋼筋位置。本文的程序利用第一問描述的幾何關(guān)系描繪圖案并計(jì)算加工參數(shù)。在最后本文設(shè)計(jì)了橢圓型桌面及心形桌面的桌子并描繪折疊過程的示意圖。關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)模型 非線性規(guī)劃 加工參數(shù) 邊緣線 設(shè)計(jì)優(yōu)化 一、問題的重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板如圖1-2所示。桌腿由假設(shè)干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度見

6、圖3。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。附件視頻展示了折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程。試建立數(shù)學(xué)模型討論以下問題：1. 給定長方形平板尺寸為，每根木條寬，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程，在此根底上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)例如，桌腿木條開槽的長度等和桌腳邊緣線圖中紅色曲線的數(shù)學(xué)描述。2. 折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度等。對(duì)于桌高，桌面直徑的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。3. 公司

7、方案開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。你們團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)你們自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。要求給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖。二、問題分析第一問所有參數(shù)都已給定，該問就變成了純幾何分析問題。首先注意到幾個(gè)特征：桌腿的長度不變，桌腿與桌面連接處不變，同側(cè)所有桌腿由不可彎曲的鋼筋連接，平鋪時(shí)所有桌腳成一條直線。對(duì)于桌子折疊時(shí)的靜止?fàn)顟B(tài)，每一根桌腿可看作是最外側(cè)

8、桌腿沿鋼筋平行旋轉(zhuǎn)而成。建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)桌腿與桌面及鋼筋接觸的兩點(diǎn)可確定桌腿的直線方程，再由每根桌腿的長度即可確定桌腳的坐標(biāo)，依次連接即成桌腳線。對(duì)于桌腿開槽長度，分析發(fā)現(xiàn)桌子平鋪時(shí)鋼筋位于槽靠近桌面的頂端，而折疊時(shí)位于靠近桌腳的頂端。由此，計(jì)算兩個(gè)狀態(tài)下鋼筋與桌腳距離之差即可得每根桌腿開槽長度。對(duì)于桌子折疊的過程，取桌面離地面高度為變量，每確定一個(gè)桌高即用上述方法進(jìn)行分析計(jì)算。由此可得到桌子在折疊過程中各參數(shù)的變化。問題二給定了桌面面積與桌高，需要確定的是腿長與鋼筋位置。由此可確定第二問是一個(gè)求最優(yōu)解的問題。制作桌子要考慮三方面因素：是否節(jié)省材料、穩(wěn)固性、加工難易。分析發(fā)現(xiàn)最外側(cè)桌腳

9、越長越費(fèi)材料，但由于增加了底面積而增加了穩(wěn)固性。另由力學(xué)分析得桌子在受壓后不會(huì)恢復(fù)原狀的必要條件是每側(cè)最中間的桌腿與桌面的夾角小于90度，即向內(nèi)“凹。這樣桌子受壓時(shí)外側(cè)桌腿向外的趨勢(shì)與中間桌腿向內(nèi)的趨勢(shì)可通過鋼筋抵消，從而使桌子具備抗壓能力。鋼筋的位置會(huì)影響桌腿開槽長度。槽的長度又有限制條件，即須為正數(shù)且小于所在桌腿長。其它的限制條件有：平鋪時(shí)鋼筋的位置須在最短桌腿范圍內(nèi)；折疊時(shí)以兩側(cè)中間向內(nèi)的桌腿相碰為極限狀態(tài)。該問難點(diǎn)在于如何建立一個(gè)優(yōu)化模型以求得最優(yōu)解。本文以材料總面積大小作為節(jié)省材料的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，以桌腳與地面形成的底面積大小評(píng)判其穩(wěn)固性。以兩者的加權(quán)差作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。考慮實(shí)際確定權(quán)值

10、后利用Lingo計(jì)算出最優(yōu)解。考慮了前兩個(gè)因素后考慮加工難易。以開槽長短作為加工難易的標(biāo)準(zhǔn)。考察不同鋼筋位置時(shí)桌腿開槽長度，在約束范圍內(nèi)選取最優(yōu)的槽長。問題三需要滿足客戶提出的需求以設(shè)計(jì)桌子。在設(shè)計(jì)時(shí)需要全面考慮所有限制因素，并選擇最優(yōu)方案。沿用第一問的計(jì)算方法及第二問的優(yōu)化模型，根據(jù)客戶給出的桌面形狀、桌高及桌角線形狀計(jì)算桌腿長、鋼筋位置以及桌腿開槽長度等加工參數(shù)。應(yīng)用前兩問的程序，改動(dòng)桌面邊緣線的方程，輸入客戶給定的參數(shù)，即可繪圖并得出最優(yōu)的加工參數(shù)。在最后本文給出了兩例分別以橢圓形與心形作為桌面形狀。 三、模型假設(shè)1.假設(shè)桌子的材料和鋼筋足夠鞏固，能承受桌子上物體的壓力不會(huì)斷裂；2.計(jì)算

11、時(shí)桌腳接觸面為平面，軸穿過桌面中心，桌子關(guān)于軸對(duì)稱。 四、變量說明桌子的長度的一半桌子的高度最外側(cè)桌腳在面上的投影長度長方形木板面積四個(gè)桌腳所圍面積圓桌面面積桌面的半徑五、模型的建立與求解5.1問題一的求解如圖1建立空間直角坐標(biāo)系圖1 桌子的坐標(biāo)示意圖 最外側(cè)四個(gè)桌腳均落在平面內(nèi)，桌子的圓心在軸上，且整個(gè)桌子關(guān)于軸對(duì)稱。所有桌腿都平行于平面。其側(cè)視圖為圖2 折疊后的桌子側(cè)面示意圖設(shè)圓桌面邊緣上任意點(diǎn)，鋼筋固定點(diǎn)(),桌腳邊緣點(diǎn) 。 桌面長度為，那么桌腳長度為。桌子折疊后，鋼筋相對(duì)于每一根桌腿的位置就確定了，因此每一根桌腳必然經(jīng)過、三點(diǎn)。可以利用幾何關(guān)系求出所需加工參數(shù)。過作桌面的垂線，垂足為，

12、那么。那么,，其中， 點(diǎn)()滿足 過作桌面的垂線，使垂足為，根據(jù)兩個(gè)相似三角形的關(guān)系得到桌腳點(diǎn)的坐標(biāo) 由于 那么 均可以用參數(shù) 來表示。因?yàn)?，而 ，所以折疊桌子的動(dòng)態(tài)變化過程即是隨著 變化，桌腳邊緣線的變化過程。由于桌子的高度為 53 ，桌子厚度為 3 ，那么桌腳的高度為 50 。由 ，利用matlab作圖得 圖3 桌子折疊后桌子邊緣線的坐標(biāo)圖當(dāng)桌子平鋪為一張木板時(shí)，每根桌腿的槽的上沿位于同一條直線，即M點(diǎn)均在桌子長的處。故，所以槽的寬度。桌子折疊后后的距離即為圖1中的長度。圖4 木板上的槽寬示意圖利用兩點(diǎn)間距離公式得 利用matlab作圖，得到槽長關(guān)于的變化曲線圖5 不同桌腳的槽的長度示意

13、圖 由圖可以看出兩側(cè)的桌腳槽長為零，越中間的桌腳槽長越長。從一側(cè)到中央的十根桌腳槽寬依次為：表1 各桌腿的開槽長度桌腳序號(hào)從外到里槽的長度(cm)第 1根0第2根8.4015第 3根11.5360第 4根14.1148第5根16.2456第 6根17.9768第7根19.3364第 8根20.3426第9根21.0072第 10根21.33775.2最優(yōu)化模型與問題二的求解：5.2.1 該問分兩部走，首先確定最外側(cè)桌腿長，其次確定鋼筋位置。折疊桌的最外側(cè)桌腿長度決定了長方形木板的長，從而決定長方形木板的面積，面積越少，所用材料就越少，于是通過建立最外側(cè)桌腿長與面積的關(guān)系反映用材量。四個(gè)桌腳在地

14、面圍成長方形，根據(jù)物理常識(shí)，四個(gè)桌腳所圍成的面越大，重心越不易落到接觸面之外，桌子就越穩(wěn)固。以木板總面積與桌腳形成矩形面積之差為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)幾何關(guān)系得出約束條件，對(duì)腿長的選擇進(jìn)行優(yōu)化。長方形木板面積 四個(gè)桌腳形成的面積 圓桌面的面積 當(dāng)時(shí)，這樣的桌子被稱為獨(dú)腳桌，不穩(wěn)定所以 圖6 折疊后桌子的側(cè)視圖因?yàn)?OC=,CD= , 而最內(nèi)側(cè)的桌腳最多碰地，所以, 即 那么可建立有約束條件的優(yōu)化模型 對(duì)于廠商來說，節(jié)約本錢很重要，所以取 代入數(shù)據(jù) ，。用lingo運(yùn)行得到結(jié)果 , 經(jīng)計(jì)算可知最外側(cè)的兩根桌腳連線大約與圓相切，即四個(gè)桌腳形成的圖形為正方形。 該桌中最外側(cè)桌腳 ，長方形木板面積為 ，桌腳最

15、外側(cè)桌腳面積為 。5.2.2利用所得的最優(yōu)桌腳圍成形狀來確定最小槽寬桌腿上開槽長度越小加工越容易。同時(shí)槽長須滿足一定約束條件：為正數(shù)、小于腿長。參照上述分析作示意圖如下圖7 木板上的槽寬示意圖， 其中,圖一中在中，由余弦定理得 槽寬= 代入原始數(shù)據(jù)和所得的 ，在Matlab中考察不同值對(duì)開槽長度的影響。除去不可取的位置后選取最優(yōu)的槽長。表2各桌腿的開槽長度桌腳序號(hào)從外到里槽的最短長度第 1根0第2根13.8582第 3根18.6100第 4根17.8793第5根14.7612第 6根12.2463第7根10.2795第 8根8.8275第9根78697第 10根7.39375.3問題三的求解：

16、 根據(jù)客戶的設(shè)定要求來設(shè)計(jì)，找出最優(yōu)的加工參數(shù)。在問題一和問題二中我們研究的都是圓形，且給定了一些設(shè)計(jì)參數(shù)。但對(duì)于問題三，需要全面考慮所有限制條件以及客戶所給出的各種組合能否實(shí)現(xiàn)的問題。在問題一中，給定長方形木板材料，但是實(shí)際上，桌子展開成平面時(shí)不一定非要是長方形。我們可以這樣來想：首先，按照客戶指定的桌面大小形狀來做出桌面，然后根據(jù)桌高來確定并且做出四根接觸地面的桌腿如圖，圖只畫了正面的兩條桌腿；在桌腿插上鋼筋，然后再將木條向鋼筋上放，要求是這些木條能恰好插入到鋼筋如圖；最后延長木條，使得木塊下沿構(gòu)成客戶所需要的形狀如圖，圖。 圖 圖 圖這個(gè)方法很顯然可以實(shí)現(xiàn)，這樣做可以方便加工，而且假設(shè)是

17、客戶沒有要求鋪開時(shí)木板形狀，我們還可以將木條的長度縮減到恰好能被鋼筋連接起來，這樣又可以節(jié)省一局部材料。在程序?qū)崿F(xiàn)中，客戶給定桌面形狀、桌高以及桌腳邊緣線大致形狀，只要能給出桌面邊緣的顯式或參數(shù)方程，就可以自動(dòng)計(jì)算加工參數(shù)并制圖。本文考察了桌面為半長軸為50，半短軸為40的橢圓，高80的桌子，以及以系數(shù)為20的心形為桌面，高為70的桌子。給出了開槽長度及折疊過程示意圖。1、 橢圓形桌面表3 各桌腿的開槽長度桌腳序號(hào)從外到里槽的長度 第 1根0第2根17.8746第 3根24.5662第 4根30.0544第5根34.5735第 6根37.2380第7根34.3708第 8根32.2532第9根

18、30.8564第 10根30.1623 2、 心形桌面表4 各桌腿的開槽長度桌腳序號(hào)從外到里槽的長度第 1根0第2根8.7391第 3根18.3158第 4根10.3634第5根6.7269第 6根3.6755第7根1.4695第 8根0.3274第9根0.4012第 10根1.7568第 11根4.3605第 12根8.0718第 13根12.6481第 14根17.7660第 15根12.0498第 16根0.0515 六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的優(yōu)缺點(diǎn)缺點(diǎn)：1.問題一二中，模型是理想化的，桌面并不是理想的圓形，最外側(cè)的桌腳的長度也不是桌長的一半。2.桌腳構(gòu)成的邊緣線并不是連續(xù)的，槽的

19、長度構(gòu)成的曲線也不是連續(xù)的，求得的數(shù)據(jù)有誤差。優(yōu)點(diǎn)：利用桌子各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，將桌子加工的方式進(jìn)行改良，使加工方式簡(jiǎn)化；62模型的推廣1.本文建立的模型是簡(jiǎn)化很多條件后的，因?yàn)樽钔鈧?cè)桌腿的頂側(cè)并不是相接的，而是留有一小塊木塊，實(shí)際上不管是什么形狀的桌子，都必須要留有一局部，否那么兩條桌腿便無法合上，實(shí)際的最外側(cè)桌腿應(yīng)該比長方形的一半要小，可以根據(jù)木塊的厚度來決定所留木塊的長短，再將這一數(shù)據(jù)代入模型中可以減小與實(shí)際情況的誤差。2.槽長和最外側(cè)桌腿與地面的夾角以及鋼筋的位置有關(guān)，這樣就可以將槽長和桌腿地面的面積以及桌面面積聯(lián)系在一起，建立一個(gè)二元變量的目標(biāo)函數(shù)，鋼筋的位置是有范圍的，不能接觸到桌

20、面邊緣，也不能超出最外側(cè)木板，在這個(gè)約束條件內(nèi)求最優(yōu)的鋼筋位置和最外側(cè)桌腿與地面夾角。七、參考文獻(xiàn)1 王思成，GBT，10357.7-1995家具力學(xué)性能試驗(yàn)桌類穩(wěn)定性J，16-18.2021-09-13.八、附錄附錄一 計(jì)算第一問的加工參數(shù)cleari=0;for x=-25:0.05:25;%以x為參數(shù)計(jì)算桌腳坐標(biāo)及開槽長度 i=i+1; x0(i)=x; z(i)=50; y(i)=sqrt(252-x2);y0(i)=sqrt(625-x.2)+(60-sqrt(625-x.2).*(16.583-sqrt(625-x.2)/sqrt(1250-x.2+16.583.2-2.*16.5

21、83.*sqrt(625-x.2); z0(i)=50-25.*(60-sqrt(625-x.2)/sqrt(625+(sqrt(625-x.2)-16.583).2); d2(i)=sqrt(y0(i)-16.583).2+(z0(i)-25).2);%折疊時(shí)鋼筋到桌腳的距離 d(i)=30-d2(i);%開槽長度end subplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,r-)%繪制桌腳邊緣線hold ongrid onsubplot(1,2,2)%繪制槽長變化曲線plot(x0,d)grid on附錄二 第二問cleari=0;y1=30; %更改不同的y1來模擬不同的鋼筋位置fo

22、r x=-40:0.05:40 i=i+1; y(i)=sqrt(1600-x2); co(i)=(y1-y(i)/sqrt(y1-y(i)2+(7/4*y1)2); si(i)=7/4*y1/sqrt(y1-y(i)2+(7/4*y1)2); x0(i)=x; y0(i)=y(i)+(sqrt(6500)-y(i)*co(i); z0(i)=70-(sqrt(6500)-y(i)*si(i);%計(jì)算桌腳的坐標(biāo) d2(i)=sqrt(y1-y0(i)2+(70-7/4*y1-z0(i)2); d(i)=sqrt(6500)-sqrt(y12+(7/4*y1)2)-d2(i); y2(i)=-y

23、0(i); l(i)=sqrt(6500)-y(i);endsubplot(1,2,1)plot3(x0,y0,z0,r-)hold onplot3(x0,y2,z0)%繪制桌腳邊緣線grid onsubplot(1,2,2)%繪制槽長變化曲線plot(x0,d)hold onplot(x0,l,r)%繪制桌腿長變化曲線grid on附錄三min=11200*(1-0.5*sqrt(1-x2)/x; /此函數(shù)為加權(quán)后的目標(biāo)函數(shù)x=0.580322535; /程序中的x就是,為了計(jì)算簡(jiǎn)便用了換元x=0.921573912;附錄四 第四問 橢圓桌面cleara=50;b=40;%輸入桌面形狀h=80;%輸入桌高h(yuǎn)p=70;%折疊時(shí)變化的桌高i=0;y1=30;l=sqrt(a2+h2);z1p=hp-y1*hp/a;y1p=y1/a*sqrt(l2-hp2); for x=-b:0.01:b; i=i+1; x0(i)=x; y(i)=sqrt(1-x2/b2)*a2); z(i)=hp; l0(i)=l-y(i); si(i)=(hp-z1p)/sqrt(y1p-y(i