微分方程及其應(yīng)用ppt課件

1、第六章第六章 微分方程及其運(yùn)用微分方程及其運(yùn)用6.1 常微分方程的根本概念與分常微分方程的根本概念與分別變量法別變量法 6.2 一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程 6.3 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程程 6.4 常微分在經(jīng)濟(jì)中運(yùn)用常微分在經(jīng)濟(jì)中運(yùn)用 6.1 6.1 常微分方程的根本概念與分別變量法常微分方程的根本概念與分別變量法 6.1.1 6.1.1 微分方程的根本概念微分方程的根本概念1. 1. 微分方程微分方程 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程。含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱(chēng)為微分方程。 注：在微分方程中，假設(shè)未知函數(shù)是一元函數(shù)，那么方程稱(chēng)為常注：在微分方程中，假

2、設(shè)未知函數(shù)是一元函數(shù)，那么方程稱(chēng)為常 微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程。微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)微分方程。2. 2. 微分方程的階微分方程的階 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為微分方程的階. .22(1)dyx ydx如一階 5(2)cos40yyx五階(3)4130yyy二階2(4)20 xyyyx一階普通地，n 階微分方程的普通方式為： ,0nFx yyy， ， ，3. 微分方程的解、通解 1假設(shè)某函數(shù)代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，那么這個(gè)函 數(shù)為該微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程1的解, 顯然 y = x2 + C 也是

3、方程1的解. 2假設(shè)微分方程的解中所含獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階 數(shù)，這樣的解稱(chēng)為微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程1的通解. 4微分方程的初始條件和特解 1確定通解中恣意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件； 普通地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為： 00 x xyy00001(x xyyxyy， ， 為給定值)01x xyy2由初始條件確定了通解中恣意常數(shù)后所得到的解，稱(chēng)為微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程1的特解.211210?,2?yCxxyy 例函數(shù)是方程的解嗎 若是解 是通解 還是特解2122yxyCx解將及代入所給方程左端得222

4、21221221 102CxCxCxCx 21.2yCx是所給方程的解212yCx又中含有一個(gè)恣意常數(shù)C，而所給方程又是一階微分方程， 212yCx是所給方程的通解. 120021011xxxyC xC ex yxyyyy 例驗(yàn)證是微分方程的通解,并求出滿(mǎn)足初始條件及的特解.12122,:xxxyC xC eyCC eyC e解將及代入所給方程左端得 2121210 xxxx C ex CC eC xC e1210 xyC xC ex yxyy是微分方程的解12xyC xC e又中含有兩個(gè)恣意常數(shù)，而所給方程又是二階的， 12xyC xC e是所給方程的通解.2011;xyC 將代入通解中得1

5、2121011,2,xxyyCC eCCC將代入中得,則2.xyxe于是所求特解為6.1.2 6.1.2 分別變量法分別變量法 1 1定義定義 形如形如 (1)dyf x g ydx的方程稱(chēng)為可分別變量的方程. 特點(diǎn) - 等式右端可以分解成兩個(gè)函數(shù)之積，其中一個(gè)只是x 的函數(shù)，另一個(gè)只是y的函數(shù) ygxfdxdy2解法 設(shè) 10dyf x dxg yg y分離變量得當(dāng)g(y)0時(shí)，兩端積分得通解 1dyfx dxg y 11220.Mx Ny dxMx Ny dy(2)方程也是變量可分離的方程注 (1)當(dāng)g(y)=0時(shí)，設(shè)其根為y =，那么y =也是原方程的解； 2112120,0NyMxdy

6、dxNyMxNyMx 事實(shí)上3dyxdxy 例求微分方程的通解.解 分別變量，得 ydy = -xdx , 2211122yxC 兩邊積分得2212.xyCCC即為所給方程的通解212141.1xxydyydxyx 例求方程滿(mǎn)足初始條件的特解2211yxdydxyx 解分離變量,得22111,ln 1ln 1ln222yxC 兩端積分 得2211xyC即原方程的通解為11,4,xyC由得22,114.xy因此 滿(mǎn)足初始條件的特解為 闡明：在解微分方程時(shí)，假設(shè)得到一個(gè)含對(duì)數(shù)的等式，為了利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)將結(jié)果進(jìn)一步化簡(jiǎn)，可將恣意常數(shù)寫(xiě)成klnC的形式，k的值可根據(jù)實(shí)踐情況來(lái)確定，如例2中取k=1/2

7、. 例5 設(shè)降落傘從跳傘臺(tái)下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘 分開(kāi)塔頂(t = 0)時(shí)的速度為零。求降落傘下落速度與時(shí)間的函 數(shù)關(guān)系.解 設(shè) 降落傘下落速度為v(t)時(shí)傘所受空氣阻力為-k 負(fù)號(hào)表示阻力與運(yùn)動(dòng)方向相反k為常數(shù) 傘在下降過(guò)程中還受重力P = mg作用， 由牛頓第二定律得 00tdvmmgkvvdt且于是所給問(wèn)題歸結(jié)為求解初值問(wèn)題 00tdvmmgkvdtvdvdtmgkvm分離變量得,dvdtmgkvm兩邊積分得11lntmgkvCkm11,ktkCmmgvCeCekk整理得00,mgmgCeCkk由初始條件得,即1ktmmgvek故所求特解為 由此可見(jiàn)，隨著t的增大，速度趨

8、于常數(shù)mg/k，但不會(huì)超越mg/k，這闡明跳傘后，開(kāi)場(chǎng)階段是加速運(yùn)動(dòng)，以后逐漸趨于勻速運(yùn)動(dòng). 6.2 6.2 一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程6.2.1 6.2.1 一階線(xiàn)性微分方程一階線(xiàn)性微分方程 1 1定義：定義： 形如形如 (1)dyP x yQ xdx 的方程，稱(chēng)為一階線(xiàn)性微分方程，其中P(x)、Q(x)是知的連續(xù)函數(shù), Q(x)稱(chēng)為自在項(xiàng)特點(diǎn)： 方程中的未知函數(shù)y及導(dǎo)數(shù) dydx都是一次的 2分類(lèi)假設(shè) Q(x)= 0, 即 0(2)dyP x ydx 稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次微分方程假設(shè)Q(x)0, 那么方程(1)稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次微分方程yxyx如是非齊次方程，201dyxydxx是齊次方

9、程，sinxyyx是非齊次方程.3一階線(xiàn)性齊次方程的解法 0dyP x ydx 類(lèi)型： 可分別變量的微分方程 1dyP x dxy 分離變量得 lnlnyP x dxC 兩邊積分得 3P x dxyCe即（ ）其中 C 為恣意常數(shù). 4一階線(xiàn)性非齊次方程的解法 用常數(shù)變易法 1dyP x yQ xdx設(shè)（） 在方程1所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解的根底上進(jìn)展變易,假設(shè)方程1有如下方式的解： P x dxyC x e其中 Cx為待定函數(shù) 1P x dxP x dxC x eP xC x eQ x代入方程（）得 P x dxP x dxP x dxCx C x eC x eP xP xC x eQ x P

10、 x dxCxQ x e即 P x dxC xQ x eC于是方程(1)的通解為： 4P x dxP x dxyeQ x edxC（ ）4式稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次方程1的通解公式上述求解方法稱(chēng)為常數(shù)變易法 用常數(shù)變易法求一階線(xiàn)性非齊次方程的通解的普通步驟為：(1)先求出非齊次線(xiàn)性方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解；(2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線(xiàn)性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的恣意常數(shù)C改為待定函數(shù)C(x)即可；(3)將所設(shè)解帶入非齊次線(xiàn)性方程，解出C(x)，并寫(xiě)出非齊次線(xiàn)性 方程的通解 ln1yxxyx 例求方程的通解.1lnyyxx解原方程可變形為 式對(duì)應(yīng)的齊次方程為 10yyx

11、將方程分別變量得 dydxyx兩邊積分得 lnlnlnyxC即 lnlnyCx所以齊次方程的通解為： yCx 將上述通解中的恣意常數(shù)C換成待定函數(shù)C(x)，將其待入方程得 lnlnxxCxxCxx，則， 2ln1lnlnln2xC xdxx dxxCx將C(x)代入式 得原方程的通解： 2ln2xyxCx3221.1yyxx例求方程的通解 3211P xQ xxx 解，223111dxdxxxyexedxC由公式可得2321111xxdxCx221112xxC421112xC x例3在串聯(lián)電路中，設(shè)有電阻R，電感L和交流電動(dòng)勢(shì)E = E0sint， 在時(shí)辰t = 0時(shí)接通電路，求電流i與時(shí)間t

12、的關(guān)系E0,為常 數(shù)解設(shè)任一時(shí)辰t的電流為i 我們知道，電流在電阻R上產(chǎn)生一個(gè)電壓降uR = Ri， LdiuLdt由回路電壓定律知道，閉合電路中電動(dòng)勢(shì)等于電壓降之和，即在電感L上產(chǎn)生的電壓降是 RLuuE0sindiRiLEwtdt亦即0sinEdiRiwtdtLL整理為 0sinERP tQ twtLL，式為一階非齊次線(xiàn)性方程的規(guī)范方式，其中 利用一階非齊次線(xiàn)性方程之求解公式得通解： 000222sinsinsincosRRdttLLRRttLLRtLEi teewtdtCLEeewtdtCLECeRwtwLwtRw L022200twLEiCRw L由初始條件得， 0222sincosR

13、tLEi twLeRwtwLwtRw L于是 1.nyf x型6.2.2 6.2.2 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 特點(diǎn)：方程y(n) = f(x)的右端僅含有自變量解法：將兩端分別積分一次，得到一個(gè)n-1階微分方程;再積分 一次，得到n-2階微分方程，延續(xù)積分n次，便可得到該 方程的通解 24.xyex 例求微分方程的通解解 將所給方程延續(xù)積分三次，得 2221,22xxxyex dxeC 23222112246xxxxyeC dxeCxC 3222421231146118242xxxyeCxCdxCexC xC xCC 2.yf xy，型特點(diǎn)：方程右端不含未知函數(shù)y解法：令y

14、= t，那么y= t，于是原方程可化為以 t 為未知函 數(shù)的一階微分方程t= f(x ,t) 250.1yyx例求方程的通解解 令y= t，那么y= t， 代入原方程得 21ttx 分別變量得 121dtdxtx兩邊積分得 2lnln1lntxC21tC x即21yC x 再積分得 32113yC xC3121113yCxCCC即例6 如圖，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于x軸上A(1,0)點(diǎn)處的敵艦發(fā) 射制導(dǎo)魚(yú)雷，魚(yú)雷一直對(duì)準(zhǔn)敵艦設(shè)敵艦以常速v0沿平行于 y 軸的直線(xiàn)行駛，又設(shè)魚(yú)雷的速率為2v0，求魚(yú)雷的航行曲線(xiàn)方程 解 設(shè)魚(yú)雷的航行曲線(xiàn)方程為 y = y(x)， 在時(shí)辰，魚(yú)雷的坐標(biāo)為P(x,y)，

15、敵艦 的坐標(biāo)為Q(1, v0t) 由于魚(yú)雷一直對(duì)準(zhǔn)敵艦，所以 01v tyyx 01v tyxy即20012xOPy dxv t又的長(zhǎng)度為令y= p，方程可化為 21112x pp 00,00yy這是不顯含y的可降階微分方程,根據(jù)題意，初始條件為 分別變量可解得 211211xCpp從上面兩式消去v0t得： 201112xyxyy dx兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得: 21112yxyyy即21112x yy211211xCyy即 1001yC將代入，得，12211yyx所以12221111yyxyy而1122111122yxx 所以132221113yxxC 積分得以 y(0)= 0代入，得 223C ，

16、所以魚(yú)雷的航行曲線(xiàn)方程為： 1322121133yxx 3. yfyy，型特點(diǎn)： 方程右端不含變量x yP y 解法： 令dPdP dydPyPdxdy dxdy 則從而將原方程化為一階微分方程： dPPfyPdy，240.yyy例求方程的通解 yP y 解令dPyPdy 則代入原方程得 20dPyPPdy當(dāng)y0，P0時(shí)，分別變量得： dPdyPy兩端積分得： 1lnlnlnPyC12C xyC e當(dāng)P 0時(shí)，那么y = CC為恣意常數(shù)， 顯然，它已含在解 1210C xyC eC中 （）所以原方程的通解為： 12C xyC e6.3 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程 (1)ypy

17、qyf x定義 形如 的方程，稱(chēng)為二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程其中p,q為常數(shù) .0(2)ypyqy注 當(dāng)f(x)0時(shí)，方程(1)稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程； 當(dāng)f(x)=0時(shí)，即 方程(2)稱(chēng)為二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 6.3.1 二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)1齊次線(xiàn)性方程解的構(gòu)造齊次線(xiàn)性方程解的構(gòu)造 定義：設(shè)y1 = y1(x)與y2 = y2(x)是定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)，假設(shè)存在兩個(gè)不全為零的常數(shù) k1 , k2，使得對(duì)于 (a,b) 內(nèi)的任一x恒有k1 y1 + k2 y2 = 0成立，那么稱(chēng)y1與y2在 (a,b)內(nèi)線(xiàn)性相關(guān)，否那么稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)

18、關(guān)由定義知： y1與y2線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是 21,yxkxa byx21yy若不恒為常數(shù)，那么y1與y2線(xiàn)性無(wú)關(guān) 22xxxxxeeeee如與線(xiàn)性無(wú)關(guān)；12.22xxxxeeee與線(xiàn)性相關(guān)定理1 齊次線(xiàn)性方程解的疊加原理 假設(shè)y1與y2是齊次線(xiàn)性方程(2)的兩個(gè)解，那么y = C1 y1+C2 y2也是(2)的解，且當(dāng)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)時(shí)，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解證 將y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得 1122112211221111222212000C yC yp C yC yq C yC yCypyqyCypyqyCC所以 y = C1

19、y1+C2 y2是方程(2)的解,又 y1 與 y2線(xiàn)性無(wú)關(guān)， C1和C2是兩個(gè)獨(dú)立的恣意常數(shù), 即 y = C1 y1+C2 y2中所含獨(dú)立的恣意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程(2)的階數(shù)一樣 , 所以 它又是方程(2)的通解.2非齊次線(xiàn)性方程解的構(gòu)造 定理2 非齊次線(xiàn)性方程解的構(gòu)造 假設(shè)yp為非齊次線(xiàn)性方程(1)的某個(gè)特解，yc為方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程(2)的通解，那么 y = yp+ yc為非齊次線(xiàn)性方程 (1)之通解證 將y = yp+ yc代入方程(1)的左端有 所以 yp+ yc 確為方程(1)的解 又 yc 中含有兩個(gè)獨(dú)立的恣意常數(shù)， 所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨(dú)立的恣意常

20、數(shù)， 故 y = yp+ yc 為方程(1)的通解 (1)ypyqyfx設(shè) 0pcpcpcpppcccyyp yyq yyypyqyypyqyf xf x 1,ypyqyfx的解定理3 假設(shè)y1為方程 y2為方程 2,ypyqyfx的解那么 y = y1 + y2 為方程 12(3)ypyqyfxfx的解.證： 將y = y1 + y2代入方程 (3)左端得 121212yyp yyq yy 111222ypyqyypyqy 12fxfx 右端6.3.2 二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的求解方法二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程的求解方法0(2)ypyqy設(shè)其中 p, q 為常數(shù).令方程(2)的解為 rx

21、yer為待定常數(shù) 代入方程(2)得 20rxrxrxr epreqe0rxe 02qprr (4) 由此可見(jiàn)，只需r滿(mǎn)足方程(4)，函數(shù) rxye就是方程(2)的解 定義 稱(chēng)方程(4)為微分方程(2)的特征方程，方程(4)的兩個(gè)根 r1 , r2 稱(chēng)為特征根 由于特征方程(4)的兩個(gè)根 2422, 1qppr只能有三種 不同情形，相應(yīng)地，齊次方程(2)的通解也有三種不同的方式 當(dāng)= p2 - 4q 0時(shí)，特征方程(4)有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1 r2 由上面的討論知道 1212r xr xyeye與是方程(1)的兩個(gè)解 又y1與y2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此方程(2)的通解為 :1212r xr xyC eC

22、 e 當(dāng)= p2 - 4q = 0時(shí)，特征方程(4)有兩個(gè)相等實(shí)根 r = r1 = r2 我們只能得到方程(1)的一個(gè)解 rxey 1 221,rxyu xyu x yu x e設(shè)即對(duì)y2求導(dǎo)得 2222rxrxrxrxyu eureuru eyurur u e222,yyy將代入方程(2)，得022 quruupururuerx0rxe220urp urprq u又 r是特征方程的二重根， 220,0rprprq所以0 u由于u(x)不是常數(shù)，無(wú)妨取u(x)= x， 這樣得到方程2的另一個(gè)解 2,rxyxe從而方程2的通解為 1212rxrxrxyC eC xeCC x e 假設(shè)= p2

23、- 4q 0，即特征方程(4)有一對(duì)共軛復(fù)根 12,0riri12(2).ixixyeye則和是方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)形式的解為了求出方程(2)的兩個(gè)實(shí)數(shù)方式的解，利用歐拉公式 cossiniei將y1與y2分別改寫(xiě)為 12cossincossinxixxxixxye eexixye eexix由定理1知， 1211221cos21sin2xxyyyexyyyexi仍是方程(2)的解，這時(shí) 21sintancosxxyexxexy不是常數(shù)， 1212(2).yC yC y所以是方程的通解1212cossincossinxxxyC exC exeCxCx即綜上，求二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程通解的步驟如下

24、： 第一步 寫(xiě)出方程的特征方程20;rprq第二步 求出特征方程的兩個(gè)根r1及r2 ;第三步 根據(jù)特征根的不同情況，寫(xiě)出微分方程的通解 詳細(xì)如下： 21,rr21rr xrxreCeCy2121rrr21rxexCCy21ir2, 1通解方式xCxCeyxsincos21特征方程的根120.yyy例求微分方程的通解解 特征方程為 220rr特征根 121,2rr 因此，方程的通解為 212.xxyC eC e240.yyy例求微分方程的通解解 特征方程為 24410rr 特征根 1212rr 因此，方程的通解為 1212xyCC x e3480yyy例求微分方程的通解.解 特征方程為 2480

25、rr特征根為 122222riri于是方程的通解為 212cos2sin2xye CxCx 00412901,1xxyyyyy例求方程滿(mǎn)足初始條件的特解.解 特征方程為 241290rr特征根 1232rr因此方程的通解為 3212xyCC x e01xy1由條件得,C =1,01,xy21由條件得, C =-2故所求特解為 3211.2xyx e三、二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的求解方法 (1)ypyqyfx設(shè)其中p,q為常數(shù)，f(x)0 它對(duì)應(yīng)的齊次方程為： 0(2)ypyqy 1.xmf xPx e型 (5)xmypyqyPx e其中為常數(shù)，Pm(x)為x的m次多項(xiàng)式，即 110mmmm

26、mPxa xaxa想象方程(5)有形如 ,xpyQ x e的解其中Q(x)是一 個(gè)待定多項(xiàng)式 xpyQ x e將代入方程(5)，整理后得到： 22mQxp Qxpq Q xpx (6) 當(dāng)2+p+q 0時(shí)，設(shè) 1011mmmmmQ xb xb xbxbQx(7) 其中b0,b1,bm 為m+1個(gè)待定系數(shù) 將式(7)代入式(6)，比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得到以b0,b1,bm為未知數(shù)的m+1個(gè)線(xiàn)性方程的聯(lián)立方程組，從而求出b0,b1,bm，即確定Q(x)，于是可得方程(5)的一個(gè)特解為 xpyQ x e 當(dāng)2+p+q=0且2+ p 0 時(shí)，(即為特征方程的單根) 那么式(6)成為 2mQp Q

27、Px由此可見(jiàn)，Q與Pm(x)同次冪，故應(yīng)設(shè) mQ xxQx其中Q m(x)為m次待定多項(xiàng)式 將Q m(x)代入式(6) 確定Q m(x)的m+1個(gè)系數(shù)，從而得到方程(5)的一個(gè)特解： xpmyxQx e 當(dāng) 2+p+q = 0 且2+ p =0 時(shí)，(即為特征方程的重根) 那么式(6)成為 mQPx 故應(yīng)設(shè) 2mQ xx Qx將它代入式(6)， 確定Q m(x)的系數(shù)所以方程(5)的一個(gè)特解為 2xpmyx Qx e綜上所述，我們有如下結(jié)論：二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程 xmypyqyPx e (5) 具有形如 kxpmyx Qx e的特解，其中Q m(x)為m 次多項(xiàng)式，k確實(shí)定如下： 01

28、2k，不是特征根，是特征單根，是特征重根 2.cossinxlnf xeP xxPxx型根據(jù)歐拉公式及前面分析的結(jié)果可以推出下面的結(jié)論討論過(guò)程從略： cossinxlnf xeP xxPxx如果 :ypyqyf x則微分方程有如下形式的特解 cossinkxpmmyx eQxxRxx 其中 Q m(x)與R m(x) 均為m次多項(xiàng)式(m = maxl，n)，其系數(shù)待定，而01iki，當(dāng)不是特征根，當(dāng)是特征根5.yy例求微分方程的一個(gè)特解解 原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為 20rr其特征根為 1201rr 00 xf xxe02xpyAxB xeAxBx令2,2ppyAxByA則代入原方程得

29、22AAxBx即22AxABx比較系數(shù)得： 1212201AAABB 所以212pyxx3669.xyyye例求微分方程的通解解 對(duì)應(yīng)的特征方程為 2690rr特征根 123rr（重根）所以，齊次方程的通解為 312xcyCC x e 3xf xe又中,=3 恰是二重特征根 23xpyAx e令323322323xxxpyAxeAx eeAxAx32332323262129xxxpyeAxAxAAx eeAAxAx代入原方程后化簡(jiǎn)得： 1212AA 于是 2312xpyx e所以，原方程的通解為 3231212xxcpyyyCC x ex e2253.xyyxe例7求微分方程的通解解 對(duì)應(yīng)的特

30、征方程為 220rr特征根 120,2rr對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 0221212xxxcyC eC eCC e 53f xxe又中,=2 是特征單根， 2xpyx axb e所以,令22222xxpyaxb eaxbx e于是222224 24xxxpyaeaxb eaxbx e代入原方程得： 222224 24xxxaeaxb eaxbx e22222 2453xxxaxb eaxbx exe整理得： 42253axabx比較兩端得 5144ab，于是 22251514444xxpyxxexx e故所給方程的通解為 222125144xxyCC exx e84cos2.yy例求微分方程的一個(gè)

31、特解解 特征方程為 240r 特征根為 1222riri cos2,f xx又中2ii 是特征根0,cos2sin2xpyxeAxBx所以 令代入原方程得 4sin24cos2cos2AxBxx比較等式兩端得： 014AB于是 1sin24pyxx2943cos2.xyyex例求微分方程的一個(gè)特解 2123cos2xfxfxfxex解因?yàn)橛删€(xiàn)性微分方程解的構(gòu)造定理可知，所給方程的特解方式為12pppyyy12ppyy其中與分別是方程2434cos2xyyeyyx和的特解 221343.8xxpyyeye可以求出的一個(gè)特解為4cos2yyx由上例知的一個(gè)特解為21sin24pyxx因此所給方程的

32、特解為 21231sin2 .84xpppyyyexx6.4 常微分在經(jīng)濟(jì)運(yùn)用常微分在經(jīng)濟(jì)運(yùn)用 SgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$

33、rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C

34、0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTi

35、QeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!

36、pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%WkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*

37、t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E

38、3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPe

39、MaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlT

40、iQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t

41、!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPd6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$q

42、YnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+

43、y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&am