——高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課《平面向量的數(shù)量積》案例賞析

1、1 / 4AC高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積案例賞析循本索源變中出彩高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積案例賞析江蘇省蘇州第十中學(xué)吳鍔在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，如何真正做到精講精練，提高復(fù)習(xí)效率，是高三數(shù)學(xué)老師所面對(duì)的一個(gè)重要課 題從典型的基礎(chǔ)問(wèn)題入手，通過(guò)一題多解、觸類(lèi)旁通，或一題多變、舉一反三，進(jìn)行有效的變式教學(xué)既 是我國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng)，也是新課程背景下引發(fā)學(xué)生自主、合作、探究的重要途徑下面以本人的一 節(jié)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積為例通過(guò)對(duì)高考試題的循本索源，弓I導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究、變 中生成的教學(xué)實(shí)況，希望對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有所啟發(fā).一、課堂教學(xué)簡(jiǎn)錄與賞析1.一題多變，喚醒知識(shí)問(wèn)題1已知|a|

2、2,|b| 4，向量a與b的夾角60,求a (b a)的值.教師：這是08年北京卷的一個(gè)改編題，請(qǐng)同學(xué)們快速給出答案.學(xué)生齊答：a (b a)=a b a2=0.教師：很好！我們通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的解答，復(fù)習(xí)了向量數(shù)量積的公式：a b |a| |b|cos.請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)解決下面的問(wèn)題.變題1已知|a | 2,| b | 4，且向量a與ba垂直，求向量a與b夾角.學(xué)生A:將公式變形，cosa ba-，由0w w，向量a與b夾角為60.|a| |b|a| |b|2教師：同學(xué)A的解法實(shí)際上給出了求兩個(gè)向量夾角的具體方法.那么下面的問(wèn)題你能解嗎？ 變題2已知|a| 2,|b| 4，向量a與b的夾角60,求向

3、量a與2ab的夾角.學(xué)生B:用同學(xué)A的方法，先求出|2ab|=4和a與2ab的a (2a b) 4，再用公式求出其夾角為60.學(xué)生C:我根據(jù)題意畫(huà)了一張圖，發(fā)現(xiàn)向量2a,b和2ab恰好構(gòu)成一個(gè)正 三角形，很快就求出來(lái)了.同時(shí)我根據(jù)這個(gè)圖還可以求出向量a與2a+b的夾角 為30.教師：C同學(xué)做得非常棒！數(shù)學(xué)結(jié)合的方法開(kāi)闊了我們的思路，借助于平面幾何知識(shí)的確可以快速解題，也說(shuō)明我們掌握了向量的本質(zhì).B同學(xué)的解法恰好完成了08年江蘇卷的問(wèn)題“已知|a| 1,|b| 3，向量a與b夾角120。，則|5a教師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究下面的問(wèn)題.變題3已知|a| 2,|b| 4,向量a與b的夾角60,若向量ka

4、 b,a 2b夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取 值范圍.學(xué)生D：我認(rèn)為只要(ka b) (a 2b) 32，當(dāng)且僅當(dāng)1時(shí)，| ABAC |取得最小值4 2學(xué)生G:受問(wèn)題1研究的啟發(fā)，可以從研究向量UUU ULUT解決，如圖，要使|ABAC|取得最小值，UUUUULT以了，解題速度會(huì)快很多，即(AB AC)教師：這是一個(gè)創(chuàng)造性的解法，同學(xué)R,|ab|取得最小值(a b) auuuABuuuABUULTAC的幾何意義入手UJIT , ULUAC與AC垂直就可只有向量UULTAC 0,G的方法可以推廣到一般的情形，即0.其實(shí)問(wèn)題2(2)的幾何意義也與它一樣.由此可見(jiàn)很多處理問(wèn)題的方法是相通的請(qǐng)看08年天津卷

5、中的問(wèn)題.UUUUUTUJIT ULUT變題2在平行四邊形ABCD中，AC (1,2), BD ( 3,2)，求AD AC 學(xué)生H:問(wèn)題2(1)的討論，給我影響很深，求具體點(diǎn)的坐標(biāo)比較麻煩，我UUT UULTULT UJUULUTUJUUULT UUU ULUTUUU用向量AB,AD表示AC,BD,即ACABAD,BDADAB,很快求得UJITULUT UULTAD ( 1,2)，從而AD AC=( 1,2) (1,2)3教師：很好，那到一個(gè)不熟悉的題目時(shí)，我們要多想想以前有沒(méi)有類(lèi)似的問(wèn)題，可不可以化歸為以前11年遼寧卷的問(wèn)題.0,所研究過(guò)得問(wèn)題，這是一種數(shù)學(xué)意識(shí)我們?cè)倏醋冾}3若a,b,c均為

6、單位向量，且a b討論.學(xué)生I通過(guò)實(shí)物投影展示解法：受前面的啟發(fā)，直角坐標(biāo)系中舉行研究，不妨設(shè)a (1,0), b (0,1),c(a c) (b c)w0,求|a b c |的最大值.學(xué)生思考,a(x,y)3 / 44 / 4高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積案例賞析代入可化簡(jiǎn)得(x1)2(y1)2且X2y21，向量c在如圖所示的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，又向量22 2luirLUT，亠OD a b (1,1),可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)C與A或B重合時(shí)，|a b c|=| AD |的最大值為1.教師：同學(xué)I的解法非常美，通過(guò)建系，揭示了問(wèn)題的幾何背景，達(dá)到了數(shù)與形的完美結(jié)合，拓展了 向量研究的空間，體現(xiàn)了同學(xué)們?cè)谙蛄?/p>

7、研究中的創(chuàng)新精神.這種探究方法可以在解決平面向量綜合問(wèn)題中 得到充分應(yīng)用.賞析：運(yùn)用變式教學(xué)能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神創(chuàng)新，即通過(guò)舊的知識(shí)，新的組合，得出新的結(jié)果的過(guò)程“新”可以是與別人不一樣的，也可以是自己新的提高，它突出與眾不同創(chuàng)新學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生 的“問(wèn)題”意識(shí)，學(xué)生有疑問(wèn)，才會(huì)去思考，才能有所創(chuàng)新在課堂中運(yùn)用變式教學(xué)可以引導(dǎo)學(xué)生多側(cè)面, 多角度，多渠道地思考問(wèn)題，讓學(xué)生多探討，多爭(zhēng)論，能有效地訓(xùn)練學(xué)生思維創(chuàng)造性，大大地激發(fā)了學(xué)生的興趣，從而培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力.教師：同學(xué)M這種特殊化處理問(wèn)題的方法非常好， 的問(wèn)題入手進(jìn)行研究，而且這樣的解法對(duì)處理填空題也非常有益但如果我強(qiáng)調(diào)厶 呢？這個(gè)問(wèn)

8、題留給同學(xué)們課后思考，相信同學(xué)們有智慧一定能解決這個(gè)問(wèn)題.最后，由同學(xué)們自主總結(jié)本節(jié)課的收獲.教師：根據(jù)所給具體問(wèn)題的條件，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，是我們數(shù)學(xué)解題研究的重要課題，讓我 們一起來(lái)討論11年湖南卷中的一個(gè)向量問(wèn)題.3.互動(dòng)探究，拓展空間uuu uuu uu uuuuuir 問(wèn)題3在邊長(zhǎng)為3的正ABC中，BC 2BD,CA 3CE，求AD BE.學(xué)生根據(jù)題意，經(jīng)過(guò)小組討論，主要產(chǎn)生了三種解法.uur uu uur uur為基底，將AD,BE用AB, AC表示進(jìn)行計(jì)算；二是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC分別為x軸和y軸，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算；三是用投影法，將向量uuruur投影到向量AD，

9、利用幾何意義進(jìn)行計(jì)算. 三種方法都能比較快地求得AD14.教師：剛才同學(xué)們的這些解法，從不同的角度解決了這個(gè)問(wèn)題，希望學(xué)生通過(guò)三種解法的比較， 根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇最優(yōu)的方法解題.下面請(qǐng)同學(xué)們思考一下，能否根據(jù)剛才的研究，在問(wèn)題 上，自己改編出一些新的問(wèn)題呢？學(xué)生思考與討論學(xué)生J：變式1用投影法,UULuuu uur是選擇向量AB, AC和ADuuuBEuuuBE=學(xué)會(huì)3的基礎(chǔ)-, uuriuuuuu在等腰ABC中，BC 2BD，且|BC |=3, M是線(xiàn)段AD上任一點(diǎn)，求uuu uuuuuu uuu|BC | |BM | cos MBD | BC | | BD | 3.iuirBC92.uu

10、r uuu32 uur“在邊長(zhǎng)為3的正ABC中，BC 3BD，求AD AB. ”仿問(wèn)題3建系的方法,，也)(1巧2 2 2K:變式2(3,)(1空)匹. 2 2 2 2 2此時(shí)，同學(xué)們非常激動(dòng)，為他們喝彩.教師：兩位同學(xué)出了兩個(gè)非常精彩的題目, 完全一樣，變式學(xué)生luu lurAB AD同學(xué)就是斜邊由此可見(jiàn)高考題就是這樣得來(lái)的由同學(xué)uuir3已知點(diǎn)0為ABC的外心，且ACM:這個(gè)問(wèn)題一點(diǎn)也不難，就是前面問(wèn)題uur uu uur 1 uurBC的中點(diǎn)，易得AO BC AO (AC2其中K同學(xué)所出的題目恰好與2011年上海卷理科第11題J的題目，我也編了一個(gè)較難的題目.uuu4, AB1的變題4，

11、我把ABC特殊成直角三角形，外心OuuuAB) 6.uuruuu在遇到一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，我們往往先從簡(jiǎn)單ABC不是直角三角形5 / 4高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課平面向量的數(shù)量積案例賞析賞析：運(yùn)用變式教學(xué)能促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性課堂教學(xué)效果很大程度上取決于學(xué)生的參與情況，這 就首先要求學(xué)生有學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，有了學(xué)習(xí)主動(dòng)性才能積極參與學(xué)習(xí).增強(qiáng)學(xué)生在課堂中的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)，使學(xué)生真正成為課堂的主人，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的趨勢(shì).變式教學(xué)使一題多用，多題重組，給人一種新鮮、 生動(dòng)的感覺(jué)，能喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，掌握問(wèn)題的發(fā)展規(guī)律，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)認(rèn)識(shí)從感性上 升到了理性的層面，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)和思維的深刻性、創(chuàng)

12、造性因而能夠產(chǎn)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的動(dòng)力， 保持其參與教學(xué)活動(dòng)的興趣和熱情.二、對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課如何進(jìn)行變式教學(xué)的幾點(diǎn)思考教育心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生的思維過(guò)程往往是從問(wèn)題開(kāi)始的學(xué)習(xí)問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)就是一個(gè)一個(gè)問(wèn)題解決 的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)新內(nèi)容時(shí)，如果原有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不足以同化新情景，那么他們就面臨一個(gè)新問(wèn) 題學(xué)生在問(wèn)題解決過(guò)程中，不僅能應(yīng)用和獲取知識(shí)與技能，經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程，而且還能了解問(wèn)題解 決的科學(xué)方法，逐漸形成正確的態(tài)度和樹(shù)立正確的觀(guān)點(diǎn)一個(gè)好的問(wèn)題設(shè)計(jì)不僅僅是創(chuàng)設(shè)一個(gè)好的情景， 更主要是為學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的開(kāi)展找到一個(gè)好的載體，更有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行解決問(wèn)題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)解決 問(wèn)題的能力.問(wèn)題變式就是以

13、原題為中心，向它蘊(yùn)涵的方方面面進(jìn)行拓展和深化，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性和非本 質(zhì)屬性通過(guò)對(duì)具有示范性、輻射性的問(wèn)題變式及訓(xùn)練，能更好的使學(xué)生加深對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握相 關(guān)解決問(wèn)題的方法，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)情境化意識(shí)和提高學(xué)生辨認(rèn)情境中所含知識(shí)的能力等，從而使其思維 能力得以發(fā)散、知識(shí)信息的遷移能力等得到鍛煉和提高，收到舉一反三的效果.對(duì)實(shí)踐過(guò)程的反思，我個(gè)人認(rèn)為在現(xiàn)行教材、現(xiàn)行班級(jí)和現(xiàn)階段開(kāi)展問(wèn)題變式學(xué)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：1緊扣大綱，立足教材，選準(zhǔn)具有示范性、發(fā)散性、重點(diǎn)突出的典型問(wèn)題，體現(xiàn)知識(shí)的橫向聯(lián)系， 具有延伸性，乃至可進(jìn)行一題多變這樣的問(wèn)題進(jìn)行變式后，能有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中探尋規(guī)律，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能 力.2問(wèn)題變式教學(xué)要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，富有啟發(fā)性和科學(xué)性教學(xué)中讓學(xué)生在主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主 動(dòng)探索中，完成“理解一一變式一一應(yīng)用”的認(rèn)知過(guò)程，發(fā)展思維和建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系.3問(wèn)題變式是核心和關(guān)鍵. 教學(xué)時(shí)要努力做到變中求 “活”、變中求“新”、變中求“異”、變中求“廣”、 避免簡(jiǎn)單的重復(fù)；變式要由易到難、層層遞進(jìn)，讓問(wèn)題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū).4問(wèn)題變式的選題不僅考慮知識(shí)功能，而