隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征教學(xué)要求1 理解隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的概念，并會(huì)運(yùn)用它們的根本性質(zhì)計(jì)算具體分布 的期望、方差，2.掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差.3會(huì)根據(jù)隨機(jī)變量X的概率分布計(jì)算其函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)期望Eg(X);會(huì)根據(jù)隨 機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布計(jì)算其函數(shù)g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望Eg(X,Y).4.理解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念，掌握它們的性質(zhì)，并會(huì)利用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算， 了解矩的概念。本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望。方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算.教學(xué)手段：講練結(jié)合課時(shí)分配：8課時(shí)§ 41數(shù)學(xué)期望的定義及性質(zhì)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

2、的定義定義4.1假設(shè)r, v,匕具有分布列a1,a2 PP1,P2 當(dāng)有瓦ai Pi y母時(shí)i(4.1)記 E© =瓦 ai pi(4.2)稱E匕為亡的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值，假設(shè)(4.1)不成立，那么稱匕的期望不存在。定義中要求級數(shù)"aiPi絕對收斂是為了數(shù)學(xué)處理的必要，從直觀上講，的可能取i值ai的排列順序?qū)τ?來說應(yīng)是無關(guān)緊要的，因而定義式(4.2)中就應(yīng)允許任意改變ai 口 的順序而不影響其收斂性及和值，這就必須要求有(4.1)成立。例 4.1 B n, p，求 E E np例 4.2 ，求 EE =2 k例4.3設(shè)r.v.的可能取值為ak二-1 k ,k =1,

3、2,k1且Pk =P =3k r，k =1,2，問E是否存在？2r 1解：由于瓦|ak Pk = Z -發(fā)散，故E -不存在。kk ±i k但我們注意到有送akPk =遲(-11 - = -In2。kk =ik二、隨機(jī)變量函數(shù)的期望定理4.1假設(shè)r.v匸的分布列為PCai )=R,i =1,2,，y=g(x)為一元Borel函數(shù)，qQ那么當(dāng)送g® p y co時(shí)有，f(4.3)(4.4)i 4Eg 八 g ai Pi證：省略定理4.2假設(shè),聯(lián)合分布為Rj = PE = ai,耳=bj i, j =1,2,0 qQ而 g x, y 為二元 Borel 函數(shù)，那么 g ai ,

4、bj Rj:時(shí)，有i jEg©4 =瓦 Z g®,bj Rjy j 4特別有中 E：=2：送 aiRj=：ZaiP ,，=送送 bjPjbjPji 4 j z4ii jj三、離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)以下總假定所討論的期望是存在的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望具有下述根本性質(zhì)：1假設(shè) a -b，且E 存在，貝U a乞E 乞b，特別地Ea二a證：設(shè) 的取值為ai， i = 1,2/ 那么a _ aj - b于是瓦aR蘭E aiPZ bRiii(2) Ek/ k2 二 k4E k2E證：E(ki+k2 )=送送 &佝 +k2bj Rj =送送 kiaiRj+送送 kzbjRji

5、ji ji j' kR 、k2bjPj = k4Ek2EijfnIn一般地有 E kZ ki® 卜ko+送 kjE：iI7丿假設(shè),相互獨(dú)立，那么E '二E：EoO oOQO QO/ QO(oO、證：ELH aibjRj =?ai bj F?Rj =Z aiP遲 bjPj=E-EI 二 j二i =1 jm2丿<j丿例 4.4續(xù) B n,P，求 E解：設(shè)表n重是努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù) i=1, n，心_1,在第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn) 令一 ：0,在第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)，那么n，而E =1卩二Pn故 E 八 E i =nPi =1例4.5將n封信隨機(jī)放入n個(gè)寫好地址的信封，

6、以表配對的封數(shù)，求E 的人f1第I封信配對解令匚.=丿' i 0 第i封信未配對那么 P =1 二1， P =0 可-1，且=-nnn而 E i 二1 , i =1, ,nnn 故E 八E i =1i 4上面兩例是分解r.v.為一些簡單r.v的代數(shù)和，進(jìn)而利用期望的線性性質(zhì)求 E，這是 一個(gè)重要的方法。§ 4.2方差的定義及性質(zhì)一、離散型隨機(jī)變量的方差定義4.2 設(shè)離散型隨機(jī)變量的期望E'存在，如果 E -E 2存在，那么記D =E -E 2稱它為r.v.的方差，D也常記作Var ，方差的平方根.D稱為的 標(biāo)準(zhǔn)差或根方差，記作二。由期望的性質(zhì)可得D =E E 2=e

7、22E E 2 =E2_2E 2 e 2 =E 2 一 E 2例 4.6 P ，求 D:-k： -k由 E 2 二' k2 ' e八 kk-1 k± k!k z0k!2 k -2k=e_ 2、k z2 k - 2 !k £= ；，.2Z.故 D、E 2 _ E，2 = '2- 2 =例4.7 '參數(shù)為P的幾何分布：P =k =qk4P，k -1，整數(shù)。求 E ,D1P2 :EH kq2p = P 瓦 qkcOe kk =0k扎 / e_ k!< ioQE 2 八“ k2qk°P =Pq' k k -1 q 、kqk，P

8、 =k 41k42q PP2 D 耳P21 =_q_p p2方差具有如下根本性質(zhì):(1) 假設(shè)c是常數(shù)，那么Dc=0(2) De =c2D(3) 假設(shè),相互獨(dú)立，那么D D ： D一般地假設(shè)匕1,馬，鳥相互獨(dú)立，ki(i=0,1,n)為常數(shù),那么D k°+遲 牡 卜遲kR®Ii=1./ i=t例 4.8 (續(xù)) B n, P ,求 D解：i如前，那么、，且諸i相互獨(dú)立，P廠1二P,P i = 0二q，由 E < = P，得 Di=PP 二 P1_P=Pq , i =1,2- ,nn從而D 八D l二nPqi 4二連續(xù)型隨機(jī)變量的方差定義4.3設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量P x，又

9、：-i< : i2存在，那么稱廠2為的方差，記為D或Var ， 由期望的性質(zhì)還可得d = ;2 _2 2- :',D '稱為'的根方差或均方差或標(biāo)準(zhǔn)差例 4.9 U a,b 1，(4.5)12Jxe0 例 4.11 N u 2，求 D解：；亠，令 y 、：2 二匚2e 2例 4.10 設(shè)© P(x) =D -2:2 y二匚2x - 0 r .1D t =2x乞0XCTy2y200 Vc20；宀2 1令=t，貝U dt 二 ydy， y = 2t 2 2與離散型的情形一樣，方差具有如下性質(zhì) 性質(zhì)1設(shè)a，c為常數(shù)，那么D a ： c二a2D特別有Dc二0在理

10、論研究和實(shí)踐應(yīng)用中，為了簡化證明或方便計(jì)算，往往對隨機(jī)變量進(jìn)行所謂標(biāo)準(zhǔn)化, 即如r.v.，存在上和D ，那么令稱*為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量，由期望和方差的性質(zhì)易驗(yàn)；*=0, D * =1定理4.3切比雪夫不等式設(shè)r.v.存在有限的方差，那么對任意；0，有(4.6)P 化 _E©| >z<D或 P<：那么 P .: 一 P X dx 乞一P X dx|X_!：；x_. !晉X7 Dl丄 2PXdX= 2- zz此式將積分號(hào)換成求和式，即得離散型場合的證明由切比雪夫不等式看出，D 越小，事件 丄"、：；發(fā)生的概率越小，越是集中在的附近取值。性質(zhì)2 D =0= P乂丄

11、1 c為某常數(shù)二由性質(zhì)1得對任意自然數(shù)，因D =0，均有D©2=0又北-E巴I 丿 工 o = f 也E© n呂l_f 、 00 1-0故 p©E© 式 0蘭:Z P|©E© >-n 二 J即 P = I ? = 1，取 C = '' 即可 性質(zhì)3 最小性對任意c '，有D -c2 學(xué)員自驗(yàn)，令f cU：於-c2，找f c最小值 性質(zhì)4假設(shè)1, V",；，兩兩獨(dú)立，那么D 1 n 二D 1 D ；§ 4.3協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)一.協(xié)方差對于二維隨機(jī)變量,來說，了解各分量的數(shù)學(xué)期望和方差固然

12、重要，但它們不 能反映各分量之間的相互關(guān)系，為解決這樣一個(gè)問題，我們引入?yún)f(xié)方差這個(gè)量。定義4.4假設(shè),是一個(gè)二維隨機(jī)變量，又上|.|:那么稱為,的協(xié)方差，記作cov ,- - Pj Xj _ ； yj _ ；： 離散型即 C0V(©4(4.7)j joOoO.x 上 y -上 P x,y dxdy二二連續(xù)型由期望的線性性可推出COVJ =EGE P EH =E幼-E& 正n由協(xié)方差的定義，易驗(yàn)，協(xié)方差具有如下性質(zhì)1cov , cov ,(2) 假設(shè) a, b, c, d 為常數(shù)，貝U cov a c, b d = ab cov ,(3) cov Acovlcovn(4) D

13、1八 D2 V cov i, j (自驗(yàn))710 Q(5) 假設(shè),相互獨(dú)立，那么cov ,=0(6) Icov :2 乞 D D僅證(6),對任意t e R，由積分的性質(zhì)o v 一 _t 一I2 - ；一 2 _2t； 一 -!. t2；r “ =D 2tcov , t2D上面關(guān)于t的二次三項(xiàng)式?0的充要條件是2判別式 A =4covg,H0 4D©，DH 蘭 0 即 Icov ,2 遼 D D我們稱矩陣B二DEcovg," fgov J 丿為二維r.v ,的協(xié)方差矩陣，由協(xié)方差的性質(zhì)知 B為對稱的非負(fù)定矩陣 例4.12設(shè),Nai，a2，J2,二；"，求其協(xié)方差陣

14、解得協(xié)方差陣為a 2 P、從上面的討論看，協(xié)方差在一定程度上反映了兩隨機(jī)變量之間的關(guān)系，但因它要受,本身數(shù)值大小的影響。比方，假設(shè)令,各自增大k倍，它們之間的相互關(guān)系應(yīng)該不變，但其協(xié)方差卻增大k2倍，為此，實(shí)際中常用的是標(biāo)準(zhǔn)化協(xié)方差一一相關(guān)系數(shù)。定義4.5設(shè)r.v.J*1的方差均存在且大于0，記。_ cov-?，DD4.8稱P汕為牛的相關(guān)系數(shù)，在不混淆時(shí)也記為 P。易驗(yàn) ,的相關(guān)系數(shù)，就是它們各自的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的協(xié)方差。即二 cov *, *例4.13 續(xù)化，口Na1,a2,時(shí)，町，P，求相關(guān)系數(shù)P少P P。由相關(guān)系數(shù)的定義和協(xié)方差的性質(zhì)易驗(yàn)，相關(guān)系數(shù)有如下性質(zhì)：1|P胡蘭1由協(xié)方差性質(zhì) 可

15、推得2相互獨(dú)立，那么P©n = 0，由covE=0立得逆之不真3假設(shè)廠 a：c，2 二 b d，那么'“打:4P糾=0的充要條件是，©與耳以概率1線性相關(guān)，即存在常數(shù)a, b (a = 0)p£=a b；=1證4:由DC0V， =212 D DD故當(dāng)I* 1時(shí)，有、=0之一成立。c故存在常數(shù)C,使P.D .D=1 或 P乂 =1JIJD©；D JJJd*! 取"-務(wù)或徐，b=c、；D或-CD 即可由上面的討論可知，相關(guān)系數(shù)描述了隨機(jī)變量線性相關(guān)的程度，門越大，其線性 相關(guān)程度越高，當(dāng)f-|=1時(shí)，',依概率1存在線性關(guān)系，? =

16、1時(shí)為正線性相關(guān)，'二 -1時(shí)為負(fù)線性相關(guān)，假設(shè)'=0,那么間沒有線性關(guān)系。這時(shí)就稱,是不相關(guān)的或零 相關(guān)的。不相關(guān)和相互獨(dú)立這兩個(gè)概念有一定聯(lián)系比方后者可推出前者，但在一般情況下，并不等價(jià)，不相關(guān)的兩隨機(jī)變量不一定相互獨(dú)立，從前面的討論看出，二維正態(tài)變 量的獨(dú)立和不相關(guān)性是一致的，但大量的例子卻有兩隨機(jī)變量不相關(guān)又不獨(dú)立。例 4.14 設(shè)二 UL 二，二 1，二 sin 二 cos，求,的相關(guān)系數(shù),。顯然有 2 =1，說明,雖無線性關(guān)系，卻有別的函數(shù)關(guān)系，從而是不獨(dú)立的。 二.矩矩是隨機(jī)變量最廣泛的數(shù)字特征。均值、方差、協(xié)方差實(shí)際上都是某種矩，現(xiàn)向大 家介紹最常用的兩種矩一一

17、原點(diǎn)矩和中心矩。k :，記Ck - i - k，稱ck為的k階中心矩。-， C2 = D ，此外m0 =1 =c0，5=0,原點(diǎn)矩和中心矩可以互相換定義4.6設(shè)匕為隨機(jī)變量，假設(shè)E 1 ，記mk = E纖，稱mk為E的k階原點(diǎn)矩。 又假設(shè)平-EE顯然，葉算：kIkmkm1 C ， Ck = £r =0lrr=0t卞一r.-mJ mr定理4.4假設(shè)I. k k 0存在，那么對任意0乞rk，r r也存在。證：僅以連續(xù)型證，且設(shè) P x因 r = J,x r Px dx = J x r Px dx 十 J x r Px dx X 1|x doO< xkpxdx+ px dx 蘭 jx

18、kpxdx+1x 1x-此定理說明，隨機(jī)變量的高階矩存在，那么低階矩一定存在。關(guān)于矩，有更一般地，假設(shè)a為某常數(shù)，P是任一正數(shù)，如；-a P存在，那么稱它為 關(guān)于點(diǎn)a的P階矩。定義4.7設(shè)(,)為二維隨機(jī)變量，假設(shè)存在 Jk 1，那么稱它為',的k l階混合 原點(diǎn)矩，假設(shè)E化Enjl存在，那么稱之為的k+l階混合中心矩。對于n維r.v，丄1- , n最常用的也是一階原點(diǎn)矩(；1,)和二階中心矩：bj二! i j，'"n ， j =1nbiib2ib)2binb2nbnn曰為的協(xié)方差矩陣，它是一個(gè)對稱的非負(fù)定矩陣。lbn1記X = Xi,X2, Xn , A2,n ，假設(shè)的聯(lián)合密度形如：1xB 丄(x_jA P Xi,X2, ,Xn ： ne 2( 4.9)(2兀 #|Bx乏Rn那么稱E為n維(元)正態(tài)變量，簡記其分布為N (A，B)，稱之為n維正態(tài)分布(這 里的協(xié)方差陣是正定陣)。小結(jié)：i 原點(diǎn)矩與中心矩k隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩定義為E(X