隨機過程題庫1

1、隨機過程綜合練習(xí)題一、填空題每空3分第一章1. X,X2, Xn是獨立同分布的隨機變量，Xi的特征函數(shù)為g(t)，貝yX1 X2Xn的特征函數(shù)是。2. E E(XY) 。3. X的特征函數(shù)為g(t), Y aX b，那么Y的特征函數(shù)為 。4條件期望E(X Y)是的函數(shù)，是or不是隨機變量。5. X1,X2, Xn是獨立同分布的隨機變量，Xi的特征函數(shù)為gi(t)，貝VX1 X2xn的特征函數(shù)是 。6. n維正態(tài)分布中各分量的相互獨立性和不相關(guān)性 。第二早7 寬平穩(wěn)過程是指協(xié)方差函數(shù)只與 有關(guān)。&在獨立重復(fù)試驗中， 假設(shè)每次試驗時事件 A發(fā)生的概率為 p(0 p 1)，以X(n)記進(jìn) 行

2、到n次試驗為止A發(fā)生的次數(shù)， 那么X(n), n 0,1,2, 是過程。9. 正交增量過程滿足的條件是 。10正交增量過程的協(xié)方差函數(shù)Cx(s,t) 。AVV*第二早11. X(t), t > 0為具有參數(shù)0的齊次泊松過程，其均值函數(shù)為 ；方差函數(shù)為。12 設(shè)到達(dá)某路口的綠、黑、灰色的汽車的到達(dá)率分別為1 , 2 ,3且均為泊松過程，它們相互獨立，假設(shè)把這些汽車合并成單個輸出過程(假定無長度、無延時)，相鄰綠色汽車之間的不同到達(dá)時間間隔的概率密度是 ，汽車之間的不同到達(dá)時刻間隔的概率密度是。n0,1,P X(t s) X(s) n14設(shè)X(t), t > 0是具有參數(shù)0的泊松過程，

3、泊松過程第n次到達(dá)時間 Wn的數(shù)學(xué)期望15在保險的索賠模型中，設(shè)索賠要求以平均 設(shè)每次賠付金額是均值為10000元的 額。16. 到達(dá)某汽車總站的客車數(shù)是一泊松過程， 乘客數(shù)獨立同分布，且各輛車乘客數(shù)與車輛數(shù)2次/月的速率的泊松過程到達(dá)保險公司假正態(tài)分布， 求一年中保險公司的平均賠付金每輛客車內(nèi)乘客數(shù)是一隨機變量.設(shè)各客車內(nèi)N(t)相互獨立，那么在0 , t內(nèi)到達(dá)汽車總站的乘客總數(shù)是 復(fù)合or非齊次泊松過程.17設(shè)顧客以每分鐘 2人的速率到達(dá)，顧客流為泊松流，求在2min內(nèi)到達(dá)的顧客不超過 3人的概率是.第四章18. 無限制隨機游動各狀態(tài)的周期是 。19. 非周期正常返狀態(tài)稱為 。20設(shè)有獨立

4、重復(fù)試驗序列Xn, n 1。以Xn 1記第n次試驗時事件 A發(fā)生，且PXn 1P，以 Xn0記第n次試驗時事件 A不發(fā)生，且PXn 01 p，假設(shè)n有 YnXk, n 1，那么Yn,n 1是鏈。k 1答案一、填空題n八、1 g (t);2 EX ;3 eibtg(at)n4 Y;是 5 gi(t) ;6等價i 1n!14.15. 24000016.復(fù)合;17.71 4e7.時間差； &獨立增量過程;9. E X(t2) X(tJ XgX(t3)010.2X (min s, t)11. t; t ; 12. f (t)1e 1tt0f(t)(1 23)e ( 1 2 3)t t 00t0

5、0t 0二、判斷題每題2 分第一章1.gi(t) (i1,2,nn)是特征函數(shù)，gi(t)不是特征函數(shù)。i118 2；19遍歷狀態(tài)；20齊次馬爾科夫鏈；2n 維正態(tài)分布中各分量的相互獨立性和不相關(guān)性等價。 3任意隨機變量均存在特征函數(shù)。 n4 gi(t) (i 1,2, n) 是特征函數(shù)，gi (t )是特征函數(shù)。 i15設(shè) X1,X 2,X 3,X 4 是零均值的四維高斯分布隨機變量，那么有E(X1X2X3X4) E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3) 第二章6嚴(yán)平穩(wěn)過程二階矩不一定存在，因而不一定是寬平穩(wěn)過程。 7獨立增量過程是馬爾科夫過程

6、。 8維納過程是平穩(wěn)獨立增量過程。 ATy -_*第三章9非齊次泊松過程是平穩(wěn)獨立增量過程。 第四章10有限狀態(tài)空間不可約馬氏鏈的狀態(tài)均常返。 11有限齊次馬爾科夫鏈的所有非常返狀態(tài)集不可能是閉集。 12. 有限馬爾科夫鏈，假設(shè)有狀態(tài)k使lim pF 0，那么狀態(tài)k即為正常返的。n13. 設(shè)i S，假設(shè)存在正整數(shù)n,使得Pi(n) 0, p(in 1)0,那么i非周期。14. 有限狀態(tài)空間馬氏鏈必存在常返狀態(tài)。15. i是正常返周期的充要條件是lim p(n)不存在。n16. 平穩(wěn)分布唯一存在的充要條件是：只有一個根本正常返閉集。17. 有限狀態(tài)空間馬氏鏈不一定存在常返狀態(tài)。18. i是正常返

7、周期的充要條件是lim p(n)存在。19假設(shè)i j，那么有di dj20不可約馬氏鏈或者全為常返態(tài)，或者全為非常返態(tài) 答案、判斷題1.X2. V3V4V5V6.V7. V8V9X10.V11V12V13V14V15V16.V17.X18.X19V20V三、 大題第一章1.10分易設(shè)X B(n,p)，求 X 的特征函數(shù)，并利用其求中利用重復(fù)拋擲硬幣的試驗定義一個隨機過程，2. 10 分EX 。X(t)cos t, 出現(xiàn)正面2t, 出現(xiàn)反面出現(xiàn)正面和反面的概率相等，求X(t)的一維分布函數(shù) F(x,1/2)和F(x,1), X(t)的二維分布函數(shù) F(x1,x2;1/2,1)。3. 10分一易設(shè)

8、有隨機過程X(t) A Bt, t 0 ,其中A與B是相互獨立的隨機變量，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求 X (t )的一維和二維分布。第二章4. 10分一易設(shè)隨機過程X(t)=Vt+b , t (0,+ a), b為常數(shù)，V服從正態(tài)分布 N(0, 1)的隨機變量，求 X(t)的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。5. 10分一易隨機過程 X(t)的均值函數(shù) mx(t)和協(xié)方差函數(shù)B x(t1, t2), g(t)為普通 函數(shù)，令Y(t)= X(t)+ g(t)，求隨機過程丫的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)。6. 10分一中設(shè)X(t),t T是實正交增量過程，T 0, ), X(0)0,是一服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 隨機變量， 假設(shè)

9、對任一 t 0,X(t) 都與 相互獨立， 求Y(t) X(t) , t 0,)的協(xié)方差函數(shù)。2協(xié)方差矩陣為12 ，求Z(t)的協(xié)方差函數(shù)。28 10分一難設(shè)有隨機過程X(t), t T和常數(shù)a，試以X(t)的相關(guān)函數(shù)表示隨機過程Y(t) X(t a) X(t), t T的相關(guān)函數(shù)。AVV*第二早9. 10分一易某商店每日8時開始營業(yè)，從8時到11時平均顧客到達(dá)率線性增加.在8時顧客平均到達(dá)率為 5人/時，11時到達(dá)率到達(dá)最頂峰 20人/時，從11時到13時，平均顧 客到達(dá)率維持不變，為20人/時，從13時到17時，顧客到達(dá)率線性下降，到17時顧客到達(dá)率為12人/時。假定在不相重疊的時間間隔內(nèi)

10、到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨立的，問在&30 9: 30間無顧客到達(dá)商店的概率是多少？在這段時間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少？10. 15分一難設(shè)到達(dá)某商店的顧客組成強度為的泊松過程，每個顧客購置商品的概率為p，且與其它顧客是否購置商品無關(guān)，求0, t內(nèi)無人購置商品的概率。11. 15分一難設(shè)X1(t)和X2 (t)是分別具有參數(shù)1和2的相互獨立的泊松過程，證明：丫是具有參數(shù)12的泊松過程。12. 10分一中設(shè)移民到某地區(qū)定居的戶數(shù)是一泊松過程，平均每周有2戶定居即2。如果每戶的人口數(shù)是隨機變量，一戶四人的概率為1/6, 一戶三人的概率為1/3, 一戶兩人的概率為 1/3, 一戶一人的概

11、率為1/6，并且每戶的人口數(shù)是相互獨立的，求在五周內(nèi)移民到該地區(qū)人口的數(shù)學(xué)期望與方差。k13. 10分一難在時間t內(nèi)向總機呼叫k次的概率為pt(k)e , k 0,1,2,k!其中0為常數(shù)如果任意兩相鄰的時間間隔內(nèi)的呼叫次數(shù)是相互獨立的，求在時間2t內(nèi)呼叫n次的概率P2t(n)14. 10分一易設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人到達(dá)，求以下事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔超過2 min15. 15分一中設(shè)進(jìn)入中國上空流星的個數(shù)是一泊松過程，平均每年為10000個每 個流星能以隕石落于地面的概率為 0.0001,求一個月內(nèi)落于中國地面隕石數(shù) W的EW、varW 和 PW

12、 > 2.16. 10分一易通過某十字路口的車流是一泊松過程設(shè)1min內(nèi)沒有車輛通過的概 率為0.2,求2min內(nèi)有多于一輛車通過的概率。17. 10分一易設(shè)顧客到某商場的過程是泊松過程，巳知平均每小時有30人到達(dá)， 求以下事件的概率：兩個顧客相繼到達(dá)的時間間隔短于 4 min18. 15分一中某刊物郵購部的顧客數(shù)是平均速率為6的泊松過程，訂閱1年、2年或3年的概率分別為1/2、I/3和1/6,且相互獨立設(shè)訂一年時，可得1元手續(xù)費；訂兩年時，可得2元手續(xù)費；訂三年時，可得3元手續(xù)費以X(t)記在0 , t內(nèi)得到的總手續(xù)費，求 EX(t)與 var X(t)19. 10分一易設(shè)顧客到達(dá)商場

13、的速率為2個/ min，求(1)在5 min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù) 的平均值；(2)在5min內(nèi)到達(dá)顧客數(shù)的方差；(3)在5min內(nèi)至少有一個顧客到達(dá)的概率.20. 10分一中設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率.21. 15分一難設(shè) X(t)和丫(t > 0)是強度分別為x和y的泊松過程，證明：在X(t)的任意兩個相鄰事件之間的時間間隔內(nèi)，Y(t)恰好有k個事件發(fā)生的概率為kXYPXYXY第四章22. 10分一中隨機游動的轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.5 0.50P 00.5 0.50.500.5求三步轉(zhuǎn)移概率矩陣 P(3

14、)及當(dāng)初始分布為PX。1 PX。20, PX。31時，經(jīng)三步轉(zhuǎn)移后處于狀態(tài)3的概率。23. 15分一難將2個紅球4個白球任意地分別放入甲、乙兩個盒子中，每個盒子放3個，現(xiàn)從每個盒子中各任取一球，交換后放回盒中(甲盒內(nèi)取出的球放入乙盒中，乙盒內(nèi)取出的球放入甲盒中)，以X(n)表示經(jīng)過n次交換后甲盒中紅球數(shù)，那么 X(n) , n?0為齊次 馬爾可夫鏈，求1一步轉(zhuǎn)移概率矩陣； 2證明：X(n) , n > 0是遍歷鏈；3求 lim Pj(n), j 0,1,2。n24. 10分一中本月銷售狀態(tài)的初始分布和轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：0.80.10.1PT(0)(040.2,0.4)P0.10.70.2

15、0.20.20.6求下一、二個月的銷售狀態(tài)分布。25 15 分難設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I = 1,2，,7 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為0.40.20.100.10.10.10.10.20.20.20.10.10.1000.60.4000P000.400.600000.20.50.300000000.30.7000000.80.2求狀態(tài)的分類及各常返閉集的平穩(wěn)分布。26. 15分一難設(shè)河流每天的BOD(生物耗氧量)濃度為齊次馬爾可夫鏈， 狀態(tài)空間1=1 ,2， 3， 4是按 BOD 濃度為極低，低、中、高分別表示的，其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣 (以一天為單 位)為0.50.40.100.20.50.20.1P0.

16、10.20.60.100.20.40.4假設(shè) BOD 濃度為高， 那么稱河流處于污染狀態(tài)。 (1)證明該鏈?zhǔn)潜闅v鏈； (2)求該鏈的平穩(wěn)分布；2710 分易設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I = 0 ,1 ， 2， 3 ，轉(zhuǎn)移概率矩陣為1/21/2001/21/200P1/41/41/41/ 40001求狀態(tài)空間的分解。2815分難設(shè)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間為I = 1， 2， 3， 4 轉(zhuǎn)移概率矩陣為10000100P1/32/3001/41 / 401/2(3)河流再次到達(dá)污染的平均時間4。討論 lim pi(1n )n 求其平穩(wěn)分布。29 10 分易設(shè)馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率矩陣為P 1/ 21/21/

17、21/230. 15分一難甲乙兩人進(jìn)行一種比賽，設(shè)每局比賽甲勝的概率是p,乙勝的概率是 q,和局的概率為r，且p+q+r=1 .設(shè)每局比賽勝者記 1分，負(fù)者記一 1分.和局記零分。當(dāng) 有一人獲得2分時比賽結(jié)束.以 Xn表示比賽至n局時甲獲得的分?jǐn)?shù)，那么Xn, n 1是齊 次馬爾可夫鏈. 1 寫出狀態(tài)空間 I ； 2求出二步轉(zhuǎn)移概率矩陣； 3 求甲已獲 1 分時,再賽兩局可以結(jié)束比賽的概率.31. 10 分中天氣預(yù)報問題 設(shè)明天是否有雨僅與今天的天氣有關(guān),而與過去的天氣無關(guān).又設(shè)今天下雨而明天也下雨的概率為,而今天無雨明天有雨的概率為 ,規(guī)定有雨天氣為狀態(tài) 0 ,無雨天氣為狀態(tài) l 。因此問題是

18、兩個狀態(tài)的馬爾可夫鏈.0.7,32. 10 分中設(shè) X n ,n1是一個馬爾可夫鏈,其狀態(tài)空間I=a,b, c ,轉(zhuǎn)移概率矩陣為1/21/41/4P2/301/33/52/50求 1 PX1b, X 2 c, X 3a, X4 c,X5a, X 6c, X 7b|X0 c 2 PX n2c| Xnb33. 15 分難設(shè)馬爾可夫鏈Xn ,n0 的狀態(tài)空間I=1,2,，6 ,轉(zhuǎn)移概率矩陣為0010000000010000100.4 ,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.P1/31/31/31/21/2試分解此馬爾可夫鏈并求出各狀態(tài)的周期。答案三、 大題1 . 解：引入隨機變量 X i1,21 分i (

19、t) Ee itX iit 0eqit 1epitpe3 分4分nit( Xi)(t)EeitXEe i 1EeitXi/ it(pe、nq)6分X XiB( n,p)i 18分EX i (0) iE q)nt 0/ it 、 n 1it in (pe q) pe i t 0 np(0) iEX01 1F(：；x)x0其分布函數(shù)為0x 12 21x1同理，當(dāng)t=1時X (1)的分布列為P X(1)0x1其分布函數(shù)為1F(1;x)11x 2x2(1) 當(dāng)t=1/2時，X 1/2的分布列為(2) 由于在不同時刻投幣是相互獨立的，故在0x10 or x211F (：,1; xz)1/40x11 an

20、d 1x221/20x11 and x22故聯(lián)合分布函數(shù)為10 分10 分2 解：依題意知硬幣出現(xiàn)正反面的概率均為1/21 1 1P X(?)0 P X(?)1-3 分11 P X(1)225 分1P x(；)20,X(1)11P X(；)20,X(1)21P x(；)21,X(1)11P XH)21,1X(1)2-4t=1/2 , t=1時的聯(lián)合分布列為or x11 and 1 x221X1 1 and X2 2E X(t) E(A) E(B)t 0DX(t) D(A) D(B)t2 1 t 2所以X t服從正態(tài)分布 N(0,1 t2) 3分其次任意固定的 t1,t2 T, X (t1) A

21、 Bt1, X(t2) A Bt2那么依n維正態(tài)隨機向量的性質(zhì)，X(tJ X(t2)服從二維正態(tài)分布，且EX(t1) EX(t2)08 分DX(t1) 1 t12DX (t2) 1 t22所以二維分布是數(shù)學(xué)期望向量為 0，21t11 t1t20，協(xié)方差為11221 t 1t 21 t24解：X(t) Vtb， VN(0,1)，故X(t)服從正態(tài)分布，E X(t)E VtbtEVbbD X(t)D Vtb2t 2 DVt2的二維正態(tài)分布。均值函數(shù)為Cov(X(t1), X(t2) EX(t1)X (t2)1 t1t2m(t) E X (t) b10 分4 分相關(guān)函數(shù)為R(t1,t2) EX(t1

22、)X(t1)E Vt 1b Vt 2 bE V2t,t2 V(t, t2)b b2t,t2 b210分5 解： mY(t) EY(t) EX(t) g(t) mX (t)g(t)4 分BY(t1,t2)RY(t1,t2) mY(t1)mY (t2)EY(t1)Y(t2) mY(t1)mY (t2)EX(t1) g(t1) X(t2) g(t2) mX(t1) g(t1)mX(t2) g(t2) RX(t1,t2) mX(t1)mX(t2) BX(t1,t2)6解：因為X(t),t T是實正交增量過程，故 EX(t)0EY(t)EX(t) E04 分又因為t 0, X(t)都與相互獨立CovY(

23、s),Y(t) EY(s)Y(t)E X (s)X(t) 6 分EX(s)X(t)EX(s) 2E X (t) E 2CovX(s), X(t)1 8分X2 (min s,t)1 10分服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 所以 E 0, D 12 分7解：利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)可得，Cz(s,t) E (X Ys) ( X YS) (X Yt) ( X Yt) 2 分E (XX ) (YsYs) (XX )(YtYt)E(XX)2E(XX)t(YY)E (XX)s(Yy) Est(Y y)2 8分DX (st)Cov(X,Y)stDY12 (S t) St 210 分&解：RY(ti,t2)EX(ti a

24、) X(ti)X(t2 a) X(t2) 2 分EX(t1 a)X(t2 a) EX(t1a)X(t2) EX(t1)X(t2 a) EX(t1)X(t2)RX(ti a,t2 a) RX(tia,t2)5 5t0t3(t)203t5202(t5)5t91.5mX(1.5)mX(0.5)05(55t)dtPX(1.5)X (0.5)0e109 解：根據(jù)題意知顧客的到達(dá)率為RX (t1 , t2 a) RX (t1, t2 ) 10 分3 分10 6 分10分1第i個顧客購物0第i個顧客不購物那么由題意知 i獨立同分布且與 X(t)獨立P( i 1) p, P( i 0)1 pX(t)因此，Y(

25、t)i是復(fù)合泊松過程，表示0, t內(nèi)購置商品的顧客數(shù)，5分i 1由題意求X(t)PY(t) 0 P i 0i 1X(t)P i 0,X(t) kk 0 i 1kP X(t) k P i 0k 0i 110 分(t)k t k k0亍qt ( qt)kk 0 k!11證明：PY(t)Y(t)nPX,t)X2(t)X1(t)X2(t)nPX()X1(t)X2(t )X2(t)ne teqt e ptPXdti 0)Xjt)i, X2(t )X2(t) n i-nPX1(ti 0)X1(t)i PX2(t)X2(t) n in (1 )i e1( 2)ni 2eei 0 i!(ni)!e ( 12)

26、(12)nn 0,1,2en!n故Y(t)是具有參數(shù)12的泊松過程15 分5分10 分15 分12.解：設(shè)N(t)為在時間0，t內(nèi)的移民戶數(shù)，其是強度為2的泊松過程，Yj表示每戶的人數(shù)，那么在0，t內(nèi)的移民人數(shù)X (t)N(t)Yi是一個復(fù)合泊松過程。2分Yi是獨立同分布的隨機變量，其分布為Yi1234P11116336EYi 15EYi2 43 4 分6 6mX(5)EN(5) EY,152 52567分2x(5) DN (5) EYi432152 56310 分13解：以A記時間2t內(nèi)呼叫n次的事件，記第一時間間隔內(nèi)呼叫為 Hk，那么P(Hk)R(k),第二時間間隔內(nèi)P(A|Hk) Pt(

27、nk)成立，于是nP2t( n)R(k)R(nk 0k)k 0 k!n ke(n k)!4分2 nnen! k 0 k! (n k)!n!2en!nC kC nk 08分n!10分14解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強度為的泊松過程，那么顧客到達(dá)的時間間隔Xn,n 1服從參數(shù)為 的指數(shù)分布,fx(x)30x30e4分PX? 30e 30xdx6010 分15解：設(shè)X(t)是t年進(jìn)入中國上空的流星數(shù),X (t)為參數(shù)10000的齊次泊松過程i1,第i個流星落于地面i 0,第i個流星不落于地面1,2,0即Y 0.9999 0.0001X(t)由題意知，w Y是一個復(fù)合泊松過程5分EWEX(t) E

28、¥1210000 0.000112VarWVarX (t) EY12 10000 12 0.00011212W是參數(shù)為1的泊松過程10 分PW21 PW1PW0PW116.解:(存1e柩0!N(t)表示在0,t)內(nèi)通過的車輛數(shù)，設(shè)e 1!1121丄e 1212N(t), t 0是泊松過程，那么15 分PN(t)k丄e tk!0,1,2,2分PN(1)00.2In 55分PN(2)1PN(2)1PN(2)0PN(2)124 2ln 525 2510 分17解：由題意，顧客到達(dá)數(shù)N(t)是強度為的泊松過程，那么顧客到達(dá)的時間間隔Xn,n 1服從參數(shù)為的指數(shù)分布,fx(X)30e 30x4

29、分4PX 6046030e 30xdx 1030 x10 分18.解：設(shè)Z(t)為在0 , t內(nèi)來到的顧客數(shù)，Z (t)為參數(shù)6的齊次泊松過程,由題意知，X(t)Z(t)、i 1Yi為0, t內(nèi)得到的總手續(xù)費，是一個復(fù)合泊松過程5分“1C1C110EY11 23 -2366Yi是每個顧客訂閱年限的概率分布，且Yi獨立同分布,o 1書 1120EY；1 2 22 -322366EX(t)EZ(t) EY16t1010t628分VarX (t) VarZ(t) EYi6t2020t15 分19.解：N (t)表示在0 , t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，顯然 N (t), t > 0是泊松過程,2，那么

30、當(dāng)t=2時，N 5服從泊松過程PN (5) k(2 5)k 25ek!k 0,1,2,5分20.故 EN (5)10;DN(5)10PN (5)11 PN (5)01e 1010 分解：因為維修次數(shù)與使用時間有關(guān),所以該過程是非齊次泊松過程，強度函數(shù)(t)1/2.51/2t 1010那么(10)(t)dtdt2.510 1-dt5 24.56分PN (10)N(0)1 e4.5!4.51!10分21證明：設(shè)X t的兩個相鄰事件的時間間隔為，依獨立性有PY(t)Y(t) kk!2分而Xt的不同到達(dá)時刻的概率密度函數(shù)為fx()xe4分others22.解:P3(Y )k p oHkTekX Yk!

31、 0xe XP3kX Yk!k!HTP10分0.5 0.500.50.500.50.500 '0.5 0.500.50.500.50.50.500.50.500.50.500.50.250.3750.3750.3750.250.3750.3750.3750.25p3 p3310.250.256分10分23.解：由題意知，甲盒中的球共有3種狀態(tài),X(n)表示甲盒中的紅球數(shù)甲盒乙盒22紅、1白3白11紅、2白1紅、2白03白2紅、1白PooP甲乙互換一球后甲盒仍有3個白球|甲盒有3個白球=P從乙盒放入甲盒的一球是白球=1/3Poi P 甲乙互換一球后甲盒有 2個白球1個紅球|甲盒有3個白球

32、=P從乙盒放入甲盒的一球是紅球=2/3P02 P 甲乙互換一球后甲盒有1個白球2個紅球|甲盒有3個白球=01/3 2/308分以此類推，一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為P 2/9 5/9 2/902/31/32因為各狀態(tài)互通，所以為不可約有限馬氏鏈，且狀態(tài)0無周期，故馬氏鏈為遍歷鏈。10 分2)0P2解萬程組即1 3012 120131解得0,1,2 555(n)1(n)3lim pi00Jlim pn1 _n5n524.解：PT(1)PT(0)P(0.4, 0.2, 0.4)12 0139520 913 213分21二 1293121lim(n：Pi2)2115 分n50.80.10.10.10.70.2

33、(0.42,0.26,0.32)0.2 0.2 0.65分0.80.10.10.80.10.1Pt(2) Pt(0)P2(0.4,0.2, 0.4)0.10.70.20.10.70.20.20.20.60.20.20.6(0.426,0.288,0.286)10 分25.解：N1,2是非常返集，C1常返閉集C13,4,5上的轉(zhuǎn)移矩陣為解方程組P，其中34515分0.60.400.400.60.20.50.3(3,5)，解得310764 ,423 ,523233,4,5 ， C26,7是正常返閉集。C1上的平穩(wěn)分布為0,0,23£,2r0,010分15分26.解：1因為1又因為狀態(tài)234，故馬氏鏈不可約,1非周期，故馬氏鏈?zhǔn)潜闅v鏈5分2解方程組其中 (2,3,4 )解得0.2112,20.3028,0.3236,0.104410分8同理解得C2上的平穩(wěn)分布為。，0,0,0,0，石115分L 9( 天)427.解：狀態(tài)傳遞圖如以下列圖2分由狀態(tài)3不可能到達(dá)任何其它狀態(tài)，所以是常返態(tài).由狀態(tài)2可到達(dá)0, 1, 3三個狀態(tài)，但從1, 3三個狀態(tài)都不能到達(dá)狀態(tài)2, 且(n)f 22n 11f2(1)- 1 ,故狀態(tài)2是非常返狀態(tài)。45分狀態(tài)0, 1互通且構(gòu)成一個根本常返閉集,f (n)f00n 100(2)00008分于是狀態(tài)空間分解為I 2 0,1 310 分故狀態(tài)0, 1