2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第5章數(shù)列第1節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案理北師大版

1、4第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法考綱傳真（教師用書獨具）1. 了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式）2 了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).（對應(yīng)學(xué)生用書第 79 頁）基礎(chǔ)知識填充1 數(shù)列的概念（1）數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫作這個*數(shù)列的項.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N+（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)an=f（n）,當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值.（3）函數(shù)有三種表示示，它們分別是列表法、圖像法和通項公式法.2 數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)

2、無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列nan+1an其中n N+遞減數(shù)列an+1vanA常數(shù)列an+1=an按其他 標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M使|an|wM擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項， 有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的兩種常用的表示方法（1）通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個式子an=f（n）來表示，那么這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)的函數(shù) 解析式.（2）遞推公式：如果已知數(shù)列an的第 1 項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項an與它的前一項an-1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這 個公式就叫作這

3、個數(shù)列的遞推公式.知識拓展雙基自主測評I梳理自測41 若數(shù)列an的前n項和為S，通項公式為an,3352,34.在數(shù)列an 中,a1= 1,an= 1 +(-1)an-1n-(nA2)，則a5等于(A.B.C.D.a2= 1 +=2,La1as= 1 +a2S,n=1,an=陋一S-1,n2.anAan-1,2.在數(shù)列an中，項an最大，貝yanAan+1.anWan-1,若an最小，則anWan+1.3數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，量依次從小到大取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.基本能力自測1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確

4、的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.()(2) 一個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的.()(3) 所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達(dá).()(4) 根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個.()(5) 如果數(shù)列an的前n項和為 S,則對任意nN+,都有an+1= S+1-Sn.(答案X(2)X(3)X(4)V(5)V22.已知數(shù)列 an 的通項公式為&= n-8n+ 15,則 3()A. 不是數(shù)列an中的項/B. 只是數(shù)列an中的第2 項C. 只是數(shù)列an中的第 6 項D. 是數(shù)列an中的第 2 項或第 6 項D 令an= 3,即卩n-8n+

5、 15 = 3,解得n= 2 或 6,故 3 是數(shù)列an中的第 2 項或第 6 項.23. 設(shè)數(shù)列an的前n項和 S=n,則a8的值為()A. 15B . 16C. 49D. 6422A 當(dāng)n= 8 時，a8=S-S= 8 - 7 = 15.當(dāng)自變45.(教材改編)數(shù)列 1, 3 5, 4, 5，的一個通項公式an是_3579123n由已知得，數(shù)列可寫成廠；，2，故通項為1352n 1(對應(yīng)學(xué)生用書第 80 頁)由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公1題型1|式卜二寫出下面各數(shù)列的一個通項公式:(1)3,5,7,9，；1 1 1 1(2)- - - 1x22x33x44X51925(3)2，2,2，8

6、，2，；(4)5,55,555,5 555，.解(1)各項減去 1 后為正偶數(shù)，所以an= 2n+ 1.(2) 這個數(shù)列的前 4 項的絕對值都等于序號與序號加1 的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負(fù)，n1偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是an= ( 1)nx,n N+.n(n+ 1)(3) 數(shù)列的各項，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察.即2a4= 1 +(_ 1)4=a33,a5= 1 +(-1)5=a43.n2n- 1題型分類突破I止514 9 16 25n2, 2，2，2，2，分子為項數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個通項公式為an=?.555n將原數(shù)列改寫為 9X9, 9X99,

7、9X999,，易知數(shù)列 9,99,999 ,的通項為 10規(guī)律方法1.求數(shù)列通項時，要抓住以下幾個特征：1 分式中分子、分母的特征.2 相鄰項的變化特征.拆項后變化的部分和不變的部分的特征-1 各項符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想2.若關(guān)系不明顯時，應(yīng)將部分項作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an=|(10n-.對于6正負(fù)符號變化，可用1n或1n+1來調(diào)整，可代入驗證歸納的正確性跟蹤訓(xùn)練(1)已知n N+,給出 4 個表達(dá)式:0,n為奇數(shù);1,n為偶數(shù);2n+ 1A(2)n+y(1)檢驗知都是所給數(shù)列的通項公式2X1+1 2X2+1 2X3+1

8、 2X4+1 皿2n+1數(shù)列劉的刖 4 項可變形為十+1,22+1,32+1,42+1，故 an=n2+由an與S的關(guān)系求通項an已知下面數(shù)列an的前n項和Sn,求an的通項公式：2(1) S= 2n 3n；S= 3n+ b.解(1) a= S= 2 3= 1,Vi/r /當(dāng)n2時，an=S S-1= (2n 3n) 2(n 1) 3(n 1) = 4n 5,由于a1也適合此等式，an= 4n 5.(2)a1=S= 3+b,r.nn1n1當(dāng)n2時，an=S S-1= (3 +b) (3 +b) = 2 3.當(dāng)b= 1 時，a1適合此等式.當(dāng)bM1 時，a1不適合此等式.當(dāng)b= 1 時，an=

9、2 3n1；3+b,n= 1,1 + ( 1)nan=1 + cos2an=sin.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，的通項公式的是()A. B.C. D.379 數(shù)列劉的前 4 項是-,1 ,-,-,則這個數(shù)列的一個通項公式是2 10 17(1)當(dāng)b 1 時，an=72 3n1,n2.規(guī)律方法已知 S 求 an的三個步驟8 先利用ai=Si求出a.2 用n 1 替換S中的n得出S-1,利用an=SSin沁 便可求出當(dāng)n2時an的表 達(dá)式3看ai是否符合n2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果 不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式易錯警示：利用an=SSn-1求通

10、項時，應(yīng)注意n2這一前提條件，易忽視驗證n= 1 致誤.跟蹤訓(xùn)練(1)(2017 石家莊質(zhì)檢(二)已知數(shù)列ad 的前n項和為S，若S=2an 4(nN)，貝Uan=()【導(dǎo)學(xué)號：79140166】n+1nA. 2B. 2_ n1n2C. 2D. 2(2)(2015 全國卷n)設(shè) S 是數(shù)列an的前 n 項和，且 a = 1, an+1=$+1,貝US1(1) A (2) n(1)由 s= 2an 4 可得S-1= 2an-1 4(n2)，兩式相減可得an= 2an2an-1(n2)，即an= 2an-1(n2).又a1= 2a 4,a= 4,.數(shù)列an是以 4 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，則

11、an= 4X2n1= 2n+1，故選 A.(2)Tan+1=S+1Sn，an+1=SS+1，Sn+1Si=S1S1+1.1S- = 1,即Si+11= 1+(n-1)X(1)= n,由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式卜工分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項公式.(1)a1= 2,an+1=an+ 3n+2(n N+)；n(2)a1= 1,an=an1(n2,n N+)；n- 1(3)a1= 1,an+1= 3an+ 2(n N+).解(1)Tan+1an= 3n+ 2,首項為一 1,公差為一 1 的等差數(shù)列.I題型31$+11又S1=1,19anan1= 3n1(n2),10(2)在數(shù)列an中，a1=

12、1,an+1= 2nan, 求an.解(1)an= (ana -1) + (an-1an-2)+ + (a2a1) +a1=.十a(chǎn)n+1n(2)由于=2 ,ana21a32ann-1故a;=2,a;=2,，aa-1=2,將這n 1 個等式疊乘, an=(anan-1)+(an-1an-2)+，+ (a2ai) +ainq(n2) 1當(dāng)n= 1 時，a1= (3x1+ 1) = 2 符合公式,32n. an=+g.(2)當(dāng)n2,n Nk時,a2a3anan=a1x xx xa132an-1n2n-1nn3Xn2Xn- 1 =n,當(dāng)n= 1 時，也符合上式,該數(shù)列的通項公式為an=n.an+1= 3an+ 2 ,an+1+ 1 = 3(an+ 1),又a1= 1, a1+ 1 = 2,故數(shù)列an+ 1是首項為 2,公比為 3 的等比數(shù)列,an+1=2*31,因此 an=2*311.規(guī)律方法由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法a1，且anan1=f n，可用“累加法”求1 已知an.2 已知ann，可用“累乘法”a1a1/0,且an-1求ana1，