2017-2018版高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.2演繹推理學(xué)案新人教A版選修1-2

1、2.1.2演繹推理學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)航1 理解演繹推理的意義.（重點(diǎn)）2掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理.（難點(diǎn)）3了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.（易混點(diǎn)）基礎(chǔ)初探教材整理演繹推理閱讀教材 P30P32的內(nèi)容，完成下列問題.1 演繹推理（1）含義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理.特點(diǎn)：由一般到特殊的推理.2.三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷S是P-鍛體驗(yàn)-判斷（正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）演繹推理一般模式是“三段論”形式.（）（2）演繹推理的結(jié)論是一定正確的.（

2、）（3）演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理.（）【解析】（1）正確.演繹推理一般模式是“三段論”形式，即大前提、小前提和結(jié)論.認(rèn)知預(yù)習(xí)質(zhì)疑務(wù)組討適疑難細(xì)究2（2）錯(cuò)誤.在演繹推理中，只有“大前提”“小前提”及推理形式都正確的情況下，其結(jié)論才是正確的.（3）錯(cuò)誤演繹推理是由一般到特殊的推理.【答案】V （2） X （3） X介作探究通關(guān)小組合作型蛋0|血把演繹推理寫成三段論的形式例將下列演繹推理寫成三段論的形式.（1） 一切奇數(shù)都不能被 2 整除，75 不能被 2 整除，所以 75 是奇數(shù)；三角形的內(nèi)角和為 180, RtABC的內(nèi)角和為 180;（3）菱形的對(duì)角線互相平分；通項(xiàng)公式為an=

3、3n+2（n2）的數(shù)列an為等差數(shù)列.【精彩點(diǎn)撥】首先分析出每個(gè)題的大前提、小前提及結(jié)論，再寫成三段論的形式.【自主解答】（1） 一切奇數(shù)都不能被 2 整除.（大前提）75 不能被 2 整除.（小前提）75 是奇數(shù).（結(jié)論）三角形的內(nèi)角和為 180 .（大前提）Rt ABC是三角形.（小前提）RtABC的內(nèi)角和為 180 .（結(jié)論）（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分.（大前提）菱形是平行四邊形.（小前提）菱形的對(duì)角線互相平分.（結(jié)論）數(shù)列an中，如果當(dāng)n2 時(shí)，anan-1為常數(shù)，則an為等差數(shù)列.（大前提）通項(xiàng)公式an= 3n+ 2,n2 時(shí)，anan-1= 3n+ 2 3（n 1） + 2

4、= 3（常數(shù)）.（小前提）通項(xiàng)公式為an= 3n+2（n2）的數(shù)列an為等差數(shù)列.（結(jié)論）務(wù)組討適疑難細(xì)究31.三段論推理的根據(jù)，從集合的觀點(diǎn)來講，若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P, S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.2.演繹推理最常用的模式是三段論，在大前提和小前提正確，推理形式也正確時(shí)，其 結(jié)論一定是正確的.4再練一題1 把下列推斷寫成三段論的形式.（1）三段論：“只有船準(zhǔn)時(shí)起航，才能準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港，這艘船是準(zhǔn)時(shí)到達(dá)目的港的，這艘船是準(zhǔn)時(shí)起航的”中的“小前提”是（）A.C.等.【解析】（1）大前提為，小前提為，結(jié)論為【答案】 D（2）兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，（大前提）/ 1

5、 和/2 是對(duì)頂角，（小前提）/ 1 和/2 相等.（結(jié)論）如圖 2-1-9 所示，D E、F分別是BC CA AB邊上的點(diǎn)，/BFD-ZA,DE/ BA用三段論的模式依次證明：（1）DF/ AE四邊形AEDF為平行四邊形;(3)DE= AF（1）同位角相等，兩直線平行，（大前提）/BFD和/A是同位角，且/BFD=ZA（小前提）所以DF/ AE（結(jié)論）（2）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，（大前提）DE/ BA且DF/ EA(小前提)所以四邊形AFDE為平行四邊形.（結(jié)論）（3）平行四邊形的對(duì)邊相等，（大前提）B.D.（2）若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等，所以若/1 和/ 2 是對(duì)頂

6、角，則/1 和/ 2 相卜例國求證：DE= AF寫出“三段論”形式的演繹推理.【精彩點(diǎn)撥】【自主解答】演繹推理的應(yīng)用圖 2-1-95DE和AF為平行四邊形的對(duì)邊，（小前提）所以ED- AF.（結(jié)論）61.應(yīng)用三段論解決問題時(shí)， 應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提， 但為了敘述的簡潔, 如果前提是顯然的，則可以省略.2數(shù)學(xué)問題的解決與證明都蘊(yùn)含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理的依據(jù)- 大前提、小前提，注意前一個(gè)推理的結(jié)論會(huì)作為下一個(gè)三段論的前提.I_I再練一題2.已知：在如圖 2-1-10 所示的梯形ABCD中,AD/ BC AD= DC= AB AC和BD是它的 對(duì)角線.圖 2

7、-1-10求證：AC平分/BCD BD平分/CBA【證明】大前提：等腰三角形的兩底角相等；小前提：ADC是等腰三角形，DA DC是兩腰； 結(jié)論：/ 1 = 7 2.大前提：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等；小前提：7 1 和/ 3 是平行線AD BC被AC截得的內(nèi)錯(cuò)角; 結(jié)論：7 1 = 7 3.大前提：等于同一個(gè)量的兩個(gè)量相等； 小前提：7 2 和 7 3 都等于 7 1； 結(jié)論：7 2=7 3,即卩AC平分 7BCD同理可證BD平分 7ABC探究共研型1 我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列， 你有沒有想到是否也有等積數(shù)列呢？類比“等比數(shù) 列”，請(qǐng)你給出“等積數(shù)列”的定義.【提示】 如果一個(gè)數(shù)列從

8、第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的乘積是同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，其中，這個(gè)常數(shù)叫做公積.探究 2 若an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a1= 2,公積為 6，試寫出an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)合情推理與演繹推理的綜合應(yīng)用探究7和公式.【提示】由于an是等積數(shù)列，且首項(xiàng)a1= 2，公積為 6,所以a2= 3,as= 2,a4= 3,a5= 2,a6= 3，即劉的所有奇數(shù)項(xiàng)都等于 2,所有偶數(shù)項(xiàng)都等于 3，因此an的通項(xiàng)公式為an=1 2，“為奇數(shù),3,n為偶數(shù).3X1+X2+3uX1+ 3X2+ 33x1+ 3x2+ 233x1+ 3x2+ 2X3=3X1+ 3X2+3彎，n為偶數(shù), 其前 n項(xiàng)和公式

9、 S=_n5n 12+ 2=2，n為奇數(shù).81探究 3 設(shè)f(x) =-x，先分別求f(0) +f(1) ,f( 1) +f(2) ,f( 2) +f(3)，然3 +丫3后歸納出一個(gè)一般結(jié)論，并給出證明., 1 1【提示】f(0)+ f(1)= 3。+3+3+ 311+ 腫 3 + ,3V3- 1 3-擊逅2+6=亍同理f( 1) +f(2)二亍，f( 2) +f(3)由此猜想：當(dāng)X1+X2= 1 時(shí)，f(X1)+f(X2)= -3.證明：設(shè)Xi+X2= 1 ,小11則f(X1) +f(X2)=3X133X2+# 33X1+ 3X2+ 2 .;3故猜想成立.卜例因9圖 2-1-11【精彩點(diǎn)撥】

10、(1)利用線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化證明O為厶BCD的重心.(2)先利用類比推理猜想出一個(gè)結(jié)論，再用演繹推理給出證明.【自主解答】(1)證明： AB1AD ACLAD ADL平面ABC ADLBC又ACL 平面BCDACLBC/ ADAAO= A,BCL平面AODBCLDO同理可證CDLBOOBCD的垂心.即SABC=SBOC-SBCR同理可證：SAC=COD，SBCD,SAB=SBOD SBCDSABC+SAC卄SAB=SBCD，(SBOC+SCO+SBOl) =SBCD，SBC=SBCD猜想:SABc+S7ACD+SLABD=SIXBCD證明：連接DO并延長交BC于E,連接AE BO CO由

11、(1)知AD!平面ABCAE?平面ABCADLAE又AOL EDAE=EO- ED2BC-AE2=2B。-沁ED,10合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確提和推理形式都正確的前提下II_I再練一題3.已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù)列，且an0，則數(shù)列bn=Qaia2禺（n N）也是等比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論【導(dǎo)學(xué)號(hào)：81092016】【解】 類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：ai+ct+a“若數(shù)列an是等差數(shù)列，則數(shù)列bn=-也是等差數(shù)列

12、.證明如下：n n1dn ai+- - -ai+a2+an2d設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,貝Ubn=n=-n=ai+ 2（n 1）,所以數(shù)列bn是以ai為首項(xiàng)，I為公差的等差數(shù)列.i演繹推理中的“一般性原理”包括（）1已有的事實(shí)；定義、定理、公理等；個(gè)人積累的經(jīng)驗(yàn).A.B.C.D.【解析】 演繹推理中的“一般性原理”包括“已有的事實(shí)”“定義、定理、公理等”.【答案】 A2下面幾種推理過程是演繹推理的是（）A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果/A與/B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則/A+ Z B= 180B. 某校高三（1）班有 55 人，（2）班有 54 人，（3）班有 52 人，由此得出高三所有

13、班級(jí)中 的人數(shù)都超過 50 人C. 由平面三角形的性質(zhì)，推測(cè)空間四面體的性質(zhì)但合情推理常常幫助我們階股3.體驗(yàn)落11D.在數(shù)列an中，ai= 1,sh=1an-1+ 圭（n2），通過計(jì)算a2,a3,a4猜想出an的通項(xiàng)公式【解析】A 是演繹推理，B, D 是歸納推理，C 是類比推理.【答案】 A3用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a20”，你認(rèn)為這個(gè)推理（）A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.是正確的【解析】這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a20”.顯然結(jié)論錯(cuò)誤，原因是大前提錯(cuò)誤.【答案】 A4. 函數(shù)y=

14、2x+ 5 的圖象是一條直線，用三段論表示為：大前提：_ ;小前提：_ ;結(jié)論：_ .【答案】一次函數(shù)的圖象是一條直線函數(shù)y= 2x+ 5 是一次函數(shù)函數(shù)y= 2x+ 5 的圖象是一條直線5. 用三段論的形式寫出下列演繹推理.（1）矩形的對(duì)角線相等，正方形是矩形，所以正方形的對(duì)角線相等；（2）y= cosx（x R）是周期函數(shù).【解】（1）因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線相等，（大前提）而正方形是矩形，（小前提）所以正方形的對(duì)角線相等.（結(jié)論）（3）因?yàn)槿呛瘮?shù)是周期函數(shù)，（大前提）而y= cosx（x R）是三角函數(shù)， （小前提）所以y= cosx（x R）是周期函數(shù).（結(jié)論）學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)（建議用時(shí)：45

15、分鐘）學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)-一、選擇題1.下面幾種推理中是演繹推理的為( )A. 由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想:金屬都可導(dǎo)電121 1 11B. 猜想數(shù)列 1X2，2X3，3X4，的通項(xiàng)公式為an=n n+(n N+)132C.半徑為r的圓的面積s=nr,則單位圓的面積S= nD.由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為（xa）2+ （yb）2=r2,推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的2 2 2 2方程為（xa） + （yb） + （zc） =r【解析】 A, B 為歸納推理，D 為類比推理，C 為演繹推理.【答案】 C2.已知ABC中, ZA= 30,/B= 60,求證：avb.證明：/A= 30,ZB= 60,.ZAvZ

16、B,.avb,畫線部分是演繹推理的（）A.大前提B.小前提C.結(jié)論D.三段論【解析】 結(jié)合三段論的特征可知，該證明過程省略了大前提“在同一個(gè)三角形中大角對(duì)大邊”，因此畫線部分是演繹推理的小前提.【答案】 B3“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y= logax是增函數(shù)（大前提），而y= x是對(duì)數(shù)函數(shù)（小前提）， 所以y=. x 是增函數(shù)（結(jié)論）.”上面推理錯(cuò)誤的是（）A. 大前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)B. 小前提錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)C. 推理形式錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)D. 大前提和小前提都錯(cuò)導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)【解析】大前提y= logax是增函數(shù)錯(cuò)誤，當(dāng) 0a2ab,所以 2(a2+b2) a2+b2+ 2ab.2 2【解析】 由小前提和結(jié)論可知，是

17、在小前提的兩邊同時(shí)加上了a+b,故大前提為：若ab,貝 Va+cAb+c.【答案】 若aAb,貝U a+cAb+c7命題：“若空間兩條直線a,b分別垂直平面 a ,則a/b”.學(xué)生小夏這樣證明：設(shè)a,b與面 a 分別相交于A B,連接A B,Ta丄 a ,b丄 a ,AB? a ,二a丄AB b丄AB a/b.這里的證明有兩個(gè)推理，即:？和？.老師認(rèn)為小夏的證明推理不正確，這兩個(gè)推理中不正確的是 _.【解析】 ？時(shí)，大前提錯(cuò)誤，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.【答案】 ？&“如圖 2-1-12，在ABC中,AOBC CD是AB邊上的高，求證：/ACD/BCD.C.zL 圖 2-1-12證明：在厶ABC中

18、,因?yàn)镃DL AB, AOBC,所以AOBD于是/ACD/BCD則在上面證明的過程中錯(cuò)誤的是(填序號(hào)).A. 115【解析】 由ADBD得到/ACD/BCD勺推理的大前提應(yīng)是“在同一三角形中，大邊對(duì)大角”，小前提是“ADBD，而AD與BD不在同一三角形中，故錯(cuò)誤.【答案】 16三、解答題9用三段論證明通項(xiàng)公式為an=cqn(c,q為常數(shù)，且cq0)的數(shù)列an是等比數(shù)列.【證明】 設(shè)an+1,an是數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)，則從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列叫等比數(shù)列(大前提)，n+1+icq因?yàn)?=-=q(常數(shù))(小前提)，ancq所以an是等比數(shù)列(結(jié)論)2*Z1 x所以aT+ ua+

19、號(hào)，整理得a-a(2x-2-x)=0,必有=1.能力提升1.下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，貝恠(a,b)內(nèi)，f(x)0 恒成立.因?yàn)閒(x) =x3在(一 1,1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(一 1,1)內(nèi)，f(x) = 3x20恒成立.以上推理中()A.大前提錯(cuò)誤D.推理形式錯(cuò)誤【解析】f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a,b)內(nèi)，f(x) 0 恒成立，故大前提錯(cuò)誤，選 A.【答案】 A2.設(shè)是 R 內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，A是 R 的非空子集.若對(duì)于任意a,bA,有abA,則 稱A對(duì)運(yùn)算封閉.下列數(shù)集對(duì)加法、 減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的 是()A.自然數(shù)集B.整數(shù)集C.有理數(shù)集 D.無理數(shù)集【解析】 A 錯(cuò)，因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法不封閉；B 錯(cuò)，因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉； C 對(duì)，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故 有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D 錯(cuò)，因?yàn)闊o理數(shù)集對(duì)加、 減、乘、除法都不封閉.10.已知x2a0 且函數(shù)f(x) =+aa的值.【解】由于f(x)是偶函數(shù)，所以f( -x) =f(x)對(duì)x R 恒成立，即2-xxa2a0,所以aB.小前提錯(cuò)誤C.結(jié)論正確R 上的偶函數(shù)，求