31從算式到方程

1、 人教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè) 3.1 從算式到方程內(nèi)容簡(jiǎn)介本節(jié)先通過一個(gè)具體行程問題。引導(dǎo)學(xué)生嘗試如何用算術(shù)方法解決它，然后再逐步引導(dǎo)學(xué)生列出含未知數(shù)的式子表示有關(guān)的量，并進(jìn)一步依據(jù)相等關(guān)系列出含未知數(shù)的等式方程這樣安排的目的在于，突出方程的根本特征引出方程的定義，并使學(xué)生認(rèn)識(shí)到從算式到方程使我們有了更有力、更方便的數(shù)學(xué)工具，從算術(shù)方法到代數(shù)方法是數(shù)學(xué)的進(jìn)步教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷“把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)方程”的過程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，了解一元一次方程及其相關(guān)概念，認(rèn)識(shí)從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步2經(jīng)歷估算求解方程的解的過程，培養(yǎng)估算能力，了解方程解的概念；3通過觀察、歸納得出

2、等式的性質(zhì)，能利用它們探究一元一次方程的解法； 4能結(jié)合具體例子認(rèn)識(shí)一元一次方程的定義，體會(huì)設(shè)未知數(shù)、列方程的過程，會(huì)用方程表示簡(jiǎn)單實(shí)際問題的相等關(guān)系；5能利用等式的性質(zhì)求解簡(jiǎn)單的一元一次方程，了解方程求解的過程；6會(huì)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，通過列方程解決問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情教學(xué)重點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn)是對(duì)建立方程模型思想的滲透，對(duì)一元一次方程及其概念的認(rèn)識(shí)，了解等式的兩條性質(zhì)，并利用它們討論一些較簡(jiǎn)單的一元一次方程的解法方程是應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具，在初中數(shù)學(xué)課程中占重要地位，小學(xué)對(duì)方程有一定的感性認(rèn)識(shí)，本節(jié)著重讓學(xué)生從實(shí)際問題中認(rèn)識(shí)到方程的概念引入的必要性，并且能設(shè)未知數(shù)、列出方

3、程，感受建立方程模型的一般步驟，由于沒有整式運(yùn)算的基礎(chǔ)，求解方程不要過多，使學(xué)生整體上把握方程建立模型的思想，更好的建立方程的概念等式的性質(zhì)是求解方程的重要依據(jù)，理解等式的性質(zhì)才能進(jìn)一步研究方程的求解教學(xué)難點(diǎn)本節(jié)難點(diǎn)是培養(yǎng)由實(shí)際問題抽象出方程模型的能力，正確的設(shè)未知數(shù)，列出方程雖然小學(xué)對(duì)方程有一定認(rèn)識(shí)，但本節(jié)的問題更貼近實(shí)際，背景、數(shù)據(jù)更復(fù)雜，如何抽象出數(shù)學(xué)需要的數(shù)據(jù)以及之間的各種關(guān)系對(duì)七年級(jí)的學(xué)生有一定的難度教學(xué)時(shí)數(shù)4課時(shí)第1課時(shí)教學(xué)內(nèi)容3.1.1 一元一次方程教學(xué)目標(biāo)1了解什么是方程，什么是一元一次方程2體會(huì)字母表示數(shù)的好處、畫示意圖有利于分析問題、找相關(guān)關(guān)系是列方程的重要一步，從算式到方

4、程是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步3通過用方程解決實(shí)際問題，總結(jié)用方程解決實(shí)際問題的一般步驟教學(xué)重點(diǎn)一元一次方程概念教學(xué)難點(diǎn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化過程教學(xué)過程一、設(shè)計(jì)問題 導(dǎo)入新課問題 一輛客車和一輛卡車同時(shí)從A地出發(fā)沿同一公路同一方向行駛，客車的行駛速度是70 km/h，卡車的行駛速度是60 km/h，客車比卡車早1 h經(jīng)過B地，A、B兩地間的路程是多少？教師展示問題，讓學(xué)生充分發(fā)表意見，并給予肯定或幫助，對(duì)各種解法給予解釋 學(xué)生可自由發(fā)表意見，或與同伴交流二、合作探究 定義方程如果設(shè)A，B兩地相距x km，你能分別列式表示客車和卡車從A地到B地的行駛時(shí)間嗎？ 勻速運(yùn)動(dòng)中，時(shí)間路程/速度 根據(jù)問題的條件，客車和卡

5、車從A地到B地的行駛時(shí)間，可以分別表示為h和h因?yàn)榭蛙嚤瓤ㄜ囋?1 h 經(jīng)過B地，所以比小1，即1 我們已經(jīng)知道，方程是含有未知數(shù)的等式，上面等式中的 x 是未知數(shù)，這個(gè)等式是一個(gè)方程通過本章的學(xué)習(xí)，我們將能夠從上面的方程解出未知數(shù)的值x420，從而求出A、B兩地間的路程為420 km教師結(jié)合上面的過程，給出方程的定義列方程時(shí)，要先設(shè)字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關(guān)系，寫出含有未知數(shù)的等式方程這是首次出現(xiàn)方程的定義，這里所說的等式指其中只有一個(gè)等號(hào)的式子，等號(hào)兩邊分別叫做等式的左邊和右邊三、實(shí)例分析 歸納總結(jié)例 根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)并列出方程： （1）用一根長(zhǎng)24 cm 的鐵絲圍成一個(gè)

6、正方形，正方形的邊長(zhǎng)是多少？ （2）一臺(tái)計(jì)算機(jī)已使用1 700 h，預(yù)計(jì)每月再使用150 h，經(jīng)過多少月這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到規(guī)定的檢修時(shí)間2 450 h？ （3）某校女生占全體學(xué)生數(shù)的52%，比男生多80人，這個(gè)學(xué)校有多少學(xué)生？ 解：（1）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x cm列方程 4 x24 （2）設(shè) x 月后這臺(tái)計(jì)算機(jī)的使用時(shí)間達(dá)到2 450 h，那么在 x 月里這臺(tái)計(jì)算機(jī)使用了150x h列方程 1 700150x2 450 （3）設(shè)這個(gè)學(xué)校的學(xué)生數(shù)為x，那么女生數(shù)為0.52x，男生數(shù)為(10.52)x列方程 0.52x(10.52)x80 觀察所列的幾個(gè)方程，有什么共同點(diǎn)？上面各方程都只含有一

7、個(gè)未知數(shù)(元),未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程說明：該例安排了三個(gè)實(shí)際問題，讓學(xué)生設(shè)未知數(shù)、列出方程這樣安排一方面是要分散列方程這一教學(xué)難點(diǎn)，化整為零地培養(yǎng)由實(shí)際問題抽象出方程模型的能力另一方面是由一些具體的方程歸納出一元一次方程的概念在本節(jié)的前面部分，重點(diǎn)是對(duì)建立方程模型思想的滲透和對(duì)于一元一次方程及其有關(guān)概念的認(rèn)識(shí)解方程還未成為主要內(nèi)容，通過定義、舉例，進(jìn)一步鞏固一元一次方程的概念歸納：上面的分析過程可以表示如下：分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，利用其中的相等關(guān)系列出方程，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的一種方法四、小結(jié)1本節(jié)課學(xué)習(xí)了方程和一元一次方程2還學(xué)習(xí)了將實(shí)際問題

8、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的一般過程五、課堂練習(xí)根據(jù)下列問題，設(shè)未知數(shù)，列出方程，并指出是不是一元一次方程：（1）環(huán)行跑道一周長(zhǎng)400m，沿跑道跑多少周，可以跑3 000 m？（2）甲種鉛筆每支0.3元，乙種鉛筆每支0.6元，用9元錢買了兩種鉛筆共20支，兩種鉛筆各買了多少支？學(xué)生練習(xí)，教師進(jìn)行指導(dǎo)答案：（1）設(shè)跑x周，則400x3 000（2）設(shè)買甲種鉛筆x支，乙種鉛筆(20x)支，則0.3x0.6(20x)9六、作業(yè)教科書第83頁習(xí)題3.1第1、5、6題第2課時(shí)教學(xué)內(nèi)容3.1.1 一元一次方程(方程的解)教學(xué)目標(biāo)1深化對(duì)方程的理解2對(duì)例題進(jìn)行深入分析，通過計(jì)算和比較，從特殊到一般，從具體到抽象地引出方

9、程的解的概念3根據(jù)方程解的概念，會(huì)估算出簡(jiǎn)單的一元一次方程的解教學(xué)重點(diǎn)通過具體數(shù)值的計(jì)算引出方程的解的概念的過程教學(xué)難點(diǎn)由具體、實(shí)際問題抽象出方程的解的概念教學(xué)過程一、設(shè)計(jì)問題 導(dǎo)入新課1我們上節(jié)課探討了方程和一元一次方程的概念，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)這兩個(gè)概念復(fù)述一遍2列方程的一般步驟是什么？說明：首先分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)，最后利用其中的相等關(guān)系列出方程二、師生探究 歸納總結(jié)列方程是解決問題的重要方法，利用方程可以求出未知數(shù)我們通過分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列出了方程，那么，這樣才能求方程的解呢？可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x6 時(shí)，4x的值就是24，這時(shí)方程4x24等號(hào)左右兩邊相等x6叫做方程4 x

10、24的解這就是說，方程4 x24中未知數(shù)x的值應(yīng)是6同樣地，當(dāng)x5時(shí)，1 700150x的值是2 450，這時(shí)方程 1 700150 x 2 450等號(hào)左右兩邊相等x5 叫做方程1 700150 x2 450的解這就是說，方程 1 700150 x 2 450中未知數(shù)x的值應(yīng)是5解方程就是求出使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個(gè)值就是方程的解思考x1 000和x2 000中哪一個(gè)是方程0.52 x(10.52)x80的解？說明：進(jìn)行這樣的思考可以通過比較辨別加深對(duì)方程的解的理解為逐步過渡到用等式性質(zhì)討論方程的解法作準(zhǔn)備教師可引導(dǎo)學(xué)生思考探究，必要時(shí)可全班進(jìn)行討論答案：x2 000是方程0

11、.52 x(10.52)x80的解三、實(shí)例分析 鞏固提高例 已知某廠今年平均每月生產(chǎn)機(jī)器80臺(tái)，比去年每月平均生產(chǎn)機(jī)器的1.5倍少13臺(tái)，那么去年平均每月生產(chǎn)機(jī)器的臺(tái)數(shù)為( )A54.1 B138 C.70 D62分析：我們根據(jù)前面講到的列方程的一般步驟，首先分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，然后設(shè)未知數(shù)，最后利用其中的相等關(guān)系列出方程 設(shè)去年平均每月生產(chǎn)機(jī)器為x臺(tái)，依題意，容易想到： 一方面該廠今年平均每月生產(chǎn)機(jī)器的臺(tái)數(shù)為80臺(tái) 另一方面，1.5x就是該廠去年每月平均生產(chǎn)機(jī)器臺(tái)數(shù)的1.5倍而(1.5x13)就是該廠今年平均每月生產(chǎn)機(jī)器的臺(tái)數(shù)這樣就得到了相等關(guān)系解：設(shè)去年平均每月生產(chǎn)機(jī)器為x臺(tái)，依題意

12、，有1.5x1380可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x62時(shí)，等式成立，這就是說，方程1.5x1380中未知數(shù)x的值應(yīng)是62 故應(yīng)選D例 父親今年38歲，女兒今年14歲，何時(shí)父親的年齡是女兒年齡的7倍？解：設(shè)x年后父親的年齡是女兒年齡的7倍，那時(shí)，父親的年齡是(38x)歲，女兒的年齡是(14x)歲，依題意列方程38x7(14x)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x10時(shí)，等式成立，這就是說，方程38x7(14x)中未知數(shù)x的值應(yīng)是10這就是說，從今年起，10年后(根據(jù)負(fù)數(shù)在這里的意義，就是10年前)父親的年齡是女兒年齡的7倍答：10年前父親的年齡是女兒年齡的7倍說明：（1）應(yīng)用題要根據(jù)實(shí)際意義進(jìn)行檢驗(yàn)：10年前，父親28歲，女兒4歲，

13、父親正好是女兒年齡的7倍（2）在解題時(shí)，千萬不要一看到負(fù)數(shù)(x10)就主觀地?cái)喽ū绢}無解，而是要認(rèn)真分析，結(jié)合實(shí)際情況細(xì)加研究：父親的年齡不會(huì)大到是女兒年齡的7倍，這種關(guān)系只有在過去才能成立四、練習(xí)教科書第80頁練習(xí)說明：此頁的練習(xí)是為使學(xué)生熟悉“分析實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列出方程”的思考方法，同時(shí)也可以鞏固和加深對(duì)一元一次方程的有關(guān)概念的理解 這里重點(diǎn)在于設(shè)未知數(shù)和列方程，重點(diǎn)在于讓學(xué)生對(duì)方程是解決實(shí)際問題的重要工具有所感受，為后面的內(nèi)容進(jìn)行鋪墊 所以不必急于讓學(xué)生考慮方程的解五、作業(yè)教科書第83頁習(xí)題3.1第3、5、6題第3-4課時(shí)教學(xué)內(nèi)容3.1.2 等式的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)1通過觀察、

14、歸納得出等式的性質(zhì)，能利用它們探究一元一次方程的解法2培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、概括的思維能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生積極探究，勇于創(chuàng)新的學(xué)習(xí)態(tài)度滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐的觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)等式的兩條性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)用等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單方程教學(xué)過程一、提出問題 導(dǎo)入新課我們可以直接看出像4x24，x13這樣的簡(jiǎn)單方程的解，但是僅靠觀察來解比較復(fù)雜的方程是困難的因此，我們還要討論怎樣解方程方程是含有未知數(shù)的等式，為了討論解方程，我們先來看看等式有什么性質(zhì)像mnnm，x2x3x，3×315×2，3x15y這樣的式子，都是等式我們可以用ab表示一般的等式 二、探究發(fā)現(xiàn) 歸納總結(jié)探究1請(qǐng)看下圖，由它你能發(fā)現(xiàn)什

15、么規(guī)律？說明：借助天平可以加強(qiáng)對(duì)等式性質(zhì)的直觀理解注意圖中的兩個(gè)方向的箭頭，它們分別表示在天平兩邊“加”或“減”我們可以發(fā)現(xiàn)，如果在平衡的天平的兩邊都加(或減)同樣的量，天平還保持平衡等式就像平衡的天平它具有與上面的事實(shí)同樣的性質(zhì)等式的性質(zhì)1等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等如果ab，那么a±cb±c探究2請(qǐng)看下圖，由它你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？等式的性質(zhì)2 等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等如果ab，那么acbc；如果ab(c0)，那么三、實(shí)例分析 鞏固提高例 利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）x726； （2）5x20； （3）x54分析：要使方程x726轉(zhuǎn)化為xa(常數(shù))的形式，需去掉方程左邊的7，利用等式的性質(zhì)1，