相似三角形常見模型與經(jīng)典型例題講解

1、第一部分相似三角形模型分析、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)一）A字型、反A字型（斜A字型）（蝴蝶型）（四）一線三等角型:（五）一線三直角型:（六）雙垂型:、相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由 A 字型旋轉(zhuǎn)得到去亠匚一 ；8字型拓展第二部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1:如圖，梯形ABCD中，AD/BC,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,BE/CD交CA延長(zhǎng)線于E.求證：OC2OA OE.例2:已知：如圖，ABC中，點(diǎn)E在中線AD上，DEB ABC.求證：(1)DB2DE DA;(2)DCE DAC.例3:已知：如圖，等腰ABC中，AB=AC,AD丄BC于D,CG/AB,BG分別交AD、AC于

2、E、F.求證：BE2EF EG.相關(guān)練習(xí):1、如圖，已知ADABC的角平分線,2、已知：AD是RtABC中/A的平分線，/C=90,交于一點(diǎn)M求證： AM3ANMD; (2)ND2=NC- NB3、已知：如圖，在ABC中，/ACB=90,CDLAB于D, E是AC上一點(diǎn), 求證：EB- DF=AE- DB4.在ABC中，AB=AC高AD與BE交于H,EF BC，垂足為F,延長(zhǎng)AD到G,使DG=EF M是AH的中點(diǎn)。求證：GBM 905.(本題滿分14分，第(1)小題滿分4分，第(2)、(3)小題滿分各5分)已知：如圖，在RtABC中，/0=90,BO2,AG=4,P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD

3、LAB交邊AC于點(diǎn)D(點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合)，E是射線DC上一點(diǎn)，且/EP=ZA.設(shè)A P兩點(diǎn)的距離為x,ABEP的面積為y.(1)求證：AE=2PE(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)厶BEP-與ABC相似時(shí)，求BEP的面積.雙垂型1、如圖，在ABC中，/A=60,BD CE分別是AC AB上的高EF是AD的CF丄BE于F。G求證：(ABDAACE(2)ADEAABC；(3)BC=2EDDE=6 .2，求：點(diǎn)B到直線AC的距離。共享型相似三角形2、已知：如圖，在RtABC中，AB=AC,ZDAE =45求證：(1) ABEACD;(2)BC22BE CD.一線三等角型相

4、似三角形例1:如圖，等邊ABC中，邊長(zhǎng)為6, D是BC上動(dòng)點(diǎn)，/EDF =602、如圖，已知銳角ABC,AD、CE分別是BC、AB邊上的高，ABC和厶BDE的面積分別是27和3，1ABC是等邊三角形，D、B C E在一條直線上/DAE=I2O，已知BD=1, CE=3 ,求等邊三角形的邊ABDC(1)求證：BDEs CFD(2)當(dāng)BD=1,FC=3時(shí)，求BE例2: (1)在ABC中，ABAC 5,BC 8，點(diǎn)P、Q分別在射線CB、AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持APQABC.1若點(diǎn)P在線段CB上（如圖），且BP 6，求線段CQ的長(zhǎng)；2若BP x,CQ y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫

5、出函數(shù)的定義域;AD/BC,ADvBC,且AD=5,AB=DC=2.（1）如圖8,P為AD上的一點(diǎn)，滿足/BPC=ZA.1求證；ABPsDPC2求AP的長(zhǎng).（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足/BPE=ZA,PE交直線BC于點(diǎn)E,同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q,那么備用圖備用圖（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5（如下圖），點(diǎn)P、Q分別在直線CB、DC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），且保持APQ 90.當(dāng)CQ 1時(shí)，求出線段BP的長(zhǎng).例3:已知在梯形ABCD中,C當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)AP=x,CQ=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域;當(dāng)CE=1時(shí)，寫出AP的長(zhǎng).例

6、4:如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,AB CD BC 6,AD 3點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作EMF B，射線ME交腰AB于點(diǎn)E，射線MF交腰CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF.(1) 求證：MEF BEM；(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形，求EF的長(zhǎng)；(3) 若EF CD，求BE的長(zhǎng).相關(guān)練習(xí):1、如圖，在ABC中，AB AC 8,BC 10,D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在AC邊上，且ADE C.(1)求證：ABDDCE;如果BD x,AE y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，試說明厶ADE是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在厶ABC中，AB=AC=6,BC

7、=5,D是AB上一點(diǎn)，BD=2,E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE,并作DEF B，射線EF交線段AC于F.(1)求證：DBEs ECF;當(dāng)F是線段AC中點(diǎn)時(shí)，求線段BE的長(zhǎng);3、已知在梯形ABCD中，AD/BC,ADVBC,且BC =6,AB=DC=4, 點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).(1)如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且BP=2.求證：BEPCPD;2)如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)(點(diǎn)P與點(diǎn)B、C不重合)，且滿足/EPF =/C,PF交直線CD于點(diǎn)F, 同時(shí)交直線AD于點(diǎn)M,那么當(dāng)點(diǎn)F在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)BP=X,DF=y，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的 定義域；(備用圖)1，點(diǎn)E是射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，以線段E

8、F為邊向右側(cè)作等邊EFG，直線EG, FG交直線AC于點(diǎn)M , N,(1)寫出圖中與BEF相似的三角形；(2)證明其中一對(duì)三角形相似；(3)設(shè)BE X，MNy，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過點(diǎn)P作PE CP,(3)聯(lián)結(jié)DF，如果DEF與厶DBE相似，求FC的長(zhǎng).B E C4、如圖，已知邊長(zhǎng)為3的等邊ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF當(dāng)SC交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)PD x, AE y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。AC 2例2、在ABC中，C 90o, AC 4,BC 3,C是A

9、B上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)AB 5動(dòng)點(diǎn)，PQ CP交線段BC于點(diǎn)Q,（不與點(diǎn)B,C重合），設(shè)AP x,CQ y，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并寫出定義域?！揪毩?xí)1】3在直角ABC中，C 90o, AB 5,ta nB，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，DF DE4交射線AC于點(diǎn)F（1）、求AC和BC的長(zhǎng)（2）、當(dāng)EF / BC時(shí)，求BE的長(zhǎng)。（3） 、連結(jié)EF,當(dāng)DEF和ABC相似時(shí)，求BE的長(zhǎng)?！揪毩?xí)2】C 90o, AB BC, D是AB邊上的一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（與A,C不重合），DF DE , DF與射線BC相交于點(diǎn)F.（1）、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：DE DF,AD亠DE砧/古、當(dāng)m，求 的值DBDF在直角三角形ABC中,AD 1（3）、當(dāng)AC BC 6,一，設(shè)AE x,BF y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域DB 23【練習(xí)4】如圖，在ABC中，C 90,AC 6,tanB -,D是BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上4的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DEF 90,EF交射線BC于點(diǎn)F設(shè)BE x,BED的面積為y（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）如果以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與BED相似，求BED的面積4如圖,在梯形ABCD中，AB|CD,AB