2017-2018學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理學(xué)科素養(yǎng)思想方法(含解析)(新版)新人教版

1、5勾股定理學(xué)科素養(yǎng)思想方法一、方程思想【思想解讀】 方程思想就是從分析幾何問題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)，利用問題中的條件，把要解決的數(shù)學(xué)問題中的已知量和未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或者方程組，進(jìn)而解決問題【應(yīng)用鏈接】在直角三角形中，求線段的長(zhǎng)時(shí)，常利用勾股定理建立方程求解在直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)（a，b）的平方和等于斜邊長(zhǎng)（c）的平方，即 a2+b2=c2,求線段的長(zhǎng)時(shí)，由此通過已知量與未知量的關(guān)系建立起方程（或方程組），然后解方程（或方程組）解決問題【典例 1】（2015 黔西南中考）如圖，在矩形紙片 ABCD 中，AD=1,將紙片折疊，使頂點(diǎn) A 與 CD 邊上的點(diǎn) E 重合，

2、折痕 FG 分別與 AD，AB 交于點(diǎn) F，G，若 DE=，則 EF 的長(zhǎng)為D EC【思路點(diǎn)撥】 設(shè) EF=x，可得 AF 的長(zhǎng)，由 AD=1 可得 DF 的長(zhǎng)，因?yàn)?DE 已知，故在Rt DEF 中，可利用勾股定理列方程，再解方程即可【自主解答】 設(shè) EF=x，由折疊的性質(zhì)知 AF=x，/ AD=1，22221JJ2i DF=1-x.在 Rt DEF 中，DF+DE=EF，即（1-x）+ =x .解得 x=.2答案:【變式訓(xùn)練】（2015 銅仁中考）如圖，在矩形 ABCD 中，BC=6，CD=3,將厶 BCD 沿對(duì)角線 BD 翻折，點(diǎn) C 落在點(diǎn)C處,BC 交 AD 于點(diǎn) E,則線段 DE

3、的長(zhǎng)為（）5-3 -15A.3B. 1C.5D.-【解析】 選 B. 將 BCD 沿 對(duì)角線 BD 翻折得至厶 BC D,A/CBD=/ C BD, / AD/ BC,./ CBD= EDB,/ C BD=/EDB,ABE=DE 設(shè) BE=DE=xJ 則 Rt ABE 中 ,AB=CD=3,AE=AD-DE=BC-DE15=6-x,由勾股定理得32+(6-X)2=x2,解得 x=兒.二、分類討論思想【思想解讀】 分類討論思想：把所有研究的問題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)問題來解決,這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想，稱為分類討論思想.注意：分類要做到不重不漏.【

4、應(yīng)用鏈接】 在研究三角形的高時(shí)，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況去考慮，另外在探究直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)也應(yīng)注意分類【典例 2 (2017 宜昌中考)閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a,b,c 稱為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)，其勾股數(shù)組公式應(yīng)用，當(dāng) n=1 時(shí),求有一邊長(zhǎng)為 5 的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)12 2【解析當(dāng) n=1 時(shí),a= (m-1),b=m,112c= (m+1)因?yàn)橹苯侨切斡幸贿呴L(zhǎng)為5,分情況如下1情況 1:當(dāng) a=5 時(shí),即/ (m2-1)=5,解得 mhI (舍去);15mn 0,m,n 是互質(zhì)的奇數(shù)-4

5、-情況 2:當(dāng) b=5 時(shí),即 m=5,再將它分別代入得1a=，X (52-1)=12,1c= *X(52+1)=13;1情況 3:當(dāng) c=5 時(shí),即 m2+1)=5,m= 3,因?yàn)?m0 所以 m=3,把 m=3 分別代入得1a=，X(32-1)=4,b=3.綜上所述,直角三角形的另兩邊長(zhǎng)為12,13 或 3,4.【變式訓(xùn)練】 在厶 ABC 中,BC=a,AC=b,AB=c,設(shè) c 為最長(zhǎng)邊當(dāng) a2+b2=c2時(shí)， ABC 是直角三角形 時(shí)，利用代數(shù)式 a2+b2和 c2的大小關(guān)系，探究 ABC 的形狀(按角分類).(1)當(dāng)厶 ABC 三邊長(zhǎng)分別為 6,8,9 時(shí)，ABC 為_三角形；當(dāng)厶

6、ABC 三邊長(zhǎng)分別為 6,8,11_三角形.猜想：當(dāng) a2+b2_c2時(shí)，ABC 為銳角三角形；當(dāng) a2+b2_ c2時(shí)， ABC 為鈍角三角形.判斷當(dāng) a=2,b=4 時(shí)，ABC 的形狀，并求出對(duì)應(yīng)的 c 的取值范圍.Y 2會(huì) 2【解析】 當(dāng)兩直角邊分別為 6,8 時(shí),斜邊八 =10,當(dāng)厶 ABC 三邊分別為 6,8,9 時(shí)，ABC 為銳角三角形；當(dāng)厶 ABC 三邊分別為 6,8,11 時(shí)，ABC 為鈍角三角形.答案：銳角鈍角當(dāng) a2+b2c2時(shí)，ABC 為銳角三角形；當(dāng) a2+b2 / c 為最長(zhǎng)邊,2+4=6,2 2 2 2 4 cc2,即 c220,0c2 “ ,當(dāng) 4 c2 時(shí),這個(gè)

7、三角形是銳角三角形 a2+b2=c2,即 c2=20,c=2 a2+b220,C2 當(dāng) 2l、c6 時(shí),這個(gè)三角形是鈍角三角形 三、數(shù)形結(jié)合思想【思想解讀】抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題具體化,從而達(dá)到迅速解題的目的勾股定理的逆定理主要是靠“算”來驗(yàn)證三條邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，從而確定三角形的形狀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想【應(yīng)用鏈接】 數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在利用勾股定理解決實(shí)際問題中 般需要利用數(shù)形結(jié)合來解決【典例 3】在一棵樹的 10 米高 B 處有兩只猴子，為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到 A 處（

8、離樹 20 米）的池塘邊.另一只爬到樹頂 D 后直接躍到 A 處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意，畫出圖形，設(shè)樹的高度為 x 米,利用勾股定理建立方程求解【自主解答】 如圖，設(shè)樹的高度為 x 米,因兩只猴子所經(jīng)過的距離相等都為得:x2+202=30-(x-10)2,解得 x=15 米.故這棵樹高 15 米.答案:15【變式訓(xùn)練】 如圖，在 Rt ABC 中，/ A=90 ,甲、乙二人從點(diǎn) D 同時(shí)出發(fā)，甲沿 DA,AB 過橋到達(dá)點(diǎn) B 處，乙沿 DC 過橋由點(diǎn) C 直達(dá) B 處.已知 DA=6 千米,AB=6 千米，DC=2 千米，假設(shè)甲、乙兩人的速度相同，問：甲、乙當(dāng) c= 時(shí),這個(gè)三角形是直角三角形,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成直角三角形模型時(shí)10+20=30（米）.由勾股定理-6 -二人誰先