高中數學必修五《等差數列前n項和》教案

1、等差數列的前n項和教案一、教學目的1、使學生理解等差數列的前n項和公式的推導過程的思想與方法，并掌握公式。2、使學生運用數學建模的方法，正確運用等差數列的前n項和公式解決一些簡單的應用問題。3、使學生通過自主觀察、分析、探索、歸納、交流，培養(yǎng)學生的自主探索能力、數學建模能力和嚴謹的邏輯思維能力。4、通過從具體到抽象，從特殊到一般的探索，培養(yǎng)學生的理性思維，逐步樹立科學發(fā)展觀，優(yōu)化思維品質，養(yǎng)成健康的心理素質。二、教學重點、難點、關鍵教學重點：等差數列的前n項和公式的推導和應用。教學難點：等差數列的前n項和公式的推導。教學關鍵：推導等差數列的前n項和公式的關鍵是通過情境的創(chuàng)設，發(fā)現倒序求和法。應

2、用公式的關鍵是如何從實際問題中抽象出數量關系，建立等差數列模型，運用公式解決問題。三、教具、學具準備多媒體課件。運用多媒體教學手段，增大教學容量和直觀性，提高教學效率和質量。四、教學方法按現代教育觀，課堂教學應充分發(fā)揮“教為主導，學為主體，練為主線”的教學思想。本節(jié)課運用“引導探索發(fā)現法”，采用“情境引入自主探究成果交流變式應用反思回授”等五個環(huán)節(jié)，并使用多媒體輔助教學，引導學生動手動腦去觀察、分析、探索、歸納獲得解決問題的方法，把教學過程變?yōu)榭释粩嗵剿髡胬聿е篮酶星樯实囊庀蚧顒印Ｎ?、學法指導“授人以魚，不如授人以漁”。教是為了不教，教給學生好的學習方法，讓他們會學習，并善于用數學思維

3、去分析問題和解決問題，受益終身。本節(jié)課根據教材特點，激“疑”生“趣”，學生自主探究，學會從具體到抽象，從特殊到一般，由淺入深去分析、探索，循序漸進地發(fā)現等差數列的普遍規(guī)律，從而得出等差數列的前n項和公式，在應用公式解決問題時，引導學生理論聯系實際，抽象出數量關系，建立數學模型，獲得解決問題的方法，帶領學生踏上“再創(chuàng)造”之旅。六、教學過程1、復習回顧，以舊悟新（1）等差數列的定義：，為常數。（2）等差數列的通項公式：。（3）等差數列中，若，則（、）。2、創(chuàng)設情境，引入新課200多年前，德國著名數學家Gauss（高斯）10歲讀小學時，老師出了一道數學題：據說，當其他同學忙于把100個數逐項相加時，

4、高斯經過思考后很快得出其結果是5050。師：“小高斯快速算出的和，成為千古美談。同學們，我們也能成長為高斯。這節(jié)課我們研究等差數列的前n項和，就是與高斯比一比，我們也能快速算出，并且把這種方法推廣到更一般的等差數列前n項和的求法中去。”這個問題實際上就是本節(jié)課要學習的內容：（板書課題）2.3等差數列的前n項和一般地,等差數列的前n項和用表示,即現在分小組討論探究下面的問題：1、1，2，3，98，99，100從數列角度來看，這是什么數列？高斯用什么方法快速算出這個數列的和？2、高斯的算法妙處在哪里？這種方法能夠推廣到求一般數列的前n項和嗎？3、這些方法用到了等差數列哪一個性質？4、能否用高斯的速

5、算法求下列等差數列的前n項和：（1）計算（2）計算學生閱讀、小組討論時，老師要眼觀六路，耳聽八方，對每個學生在自覺和小組討論中遇到的難題，要進行適當點拔，使他們的學習走上正軌，然后各小組匯報研究性學習成果，進行全班交流。A組小組長說：1，2，3，98，99，100是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列，高斯的算法是：（1+100）+（2+99）+（50+51）=。B組小組長說：也可以寫成算式的形式：。師：很好，這種方法就是把數列各項的順序倒過來再相加的方法，我們把這種方法稱為“倒序求和法”。這種倒序求和法運用了等差數學哪一個性質？B組小組長說：運用了等差數列中與首末兩項等距離的兩項的和等

6、于首末兩項和的性質。即在等差數列中，若，則（、）。3、講授新課，推導公式教師因勢設問：“能把倒序求和法推廣到一般的等差數列的前n項和嗎？”C組小組長說：可以運用高斯算法倒序求和法可計算：，D組小組長說：同理運用高斯算法倒序求和法也可計算：E組小組長搶答:由下列算法也可以得到公式：以代入也可得到公式的形式。師：非常好。公式、稱為等差數列的前n項和公式，用這些公式可求得等差數列的前n項和。引導學生比較得出：若已知等差數列首項為，末項為，項數為，可直接運用公式求和；若已知等差數列首項為，公差為，項數為，則直接運用公式求和較為簡便。從公式的結構特點可知，公式化共包含五個量，只要知道其中三個量，就可以求

7、出其余兩個量。思考：比較兩個公式、，說說它們分別從哪些角度反映等差數列的性質？4、初步應用，熟悉公式請同學們解下列一組題。計算下列各題：（1）。（2）。（3）。（4）。生：直接利用等差數列的前n項的公式求得：（1）原式（這是正整數列之和）。（2）原式（這是正奇數列之和）。（3）原式（這是正偶數列之和）。師：第（4）題中的數列不是等差數列，但在解題時我們應仔細觀察，由此及彼，由表及里，去偽存真，尋找規(guī)律，可能某局部成等差數列（學生在老師引導下會悟到）。生甲：把正數項與負數項分開，正好組成正奇數列與正偶數列之差。生乙：原數列雖然不是等差數列，但還有一個規(guī)律，相鄰兩個正整數之差為1，即依次相鄰兩項結

8、合都為，可得另一解法：師：從以上解題過程反思，可以看到一些題目表面上好像沒有什么規(guī)律，在解題時只要我們仔細觀察、尋找規(guī)律，是會找到好的解題方法的。5、建立模型，獲解方法例1、求集合的元素個數，并求這些元素的和。引導學生清楚地認識到，要找到解應用題的方法，必須運用理論聯系實際的方法，抽象出數量關系，建立相應的數學模型，這是尋找解題方法的關鍵。求等差數列的和，要特別注意數列的項數n是什么。師：元素的個數應根據什么條件確定？生：應根據、的范圍、條件確定，由，得，又，。師：請把這14個元素從小到大列出來。生：7，14，21，98。師：這是一個什么數列？生：這個數列是等差數列，記為，其中首項，末項，項數

9、，公差，根據等差數列的前n項和公式得：。答：集合M共有14個元素，它們的和等于735。師：可能用公式解答嗎？生：可以，有：。師：比較一下，這兩種方法有什么不同之處？生：用公式要先求出，再運用公式。用公式不需求就可以直接運用公式，顯然用公式方法簡單。小結：1、在應用等差數列的前n項和公式解應用題時，運用理論聯系實際的方法抽象出數量關系，建立相應的數學模型，即等差數列模型，從而獲得解題方法。2、分別用公式、解答，即掌握題目的數量關系后，可以從多角度去解應用題。例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了關于在中小學實施“校校通”工程的通知。某市據此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10

10、年時間，在全市中小學建成不同標準的校園網，據測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元，為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元，那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？對此例題，老師先啟發(fā)引導，然后讓學生練習，如有不懂再點拔。實施“校校通”工程的經費，每年是多少？總投入經費是多少？想一想這個問題的數量關系與我們所學過的哪些數學規(guī)律類似？500萬，50萬，未來10年的“10年”，工程總投入等相當于數學理論中什么量？從中建立求解的數學模型。學生甲：根據題意，從2001年起到2010年該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增

11、加50萬，可以建立一個等差數列，表示從2001年起每年投入的資金。其中。由公式可知，投入金額為：。學生乙：也可以用公式求解：，。答：從2001年起到2010年，該市在“校校通”工程中總投入資金7250萬元。小結：解應用題必須建立適當的數學模型。6、加強練習，練中提高（1）、求集合的元素個數，并求這些元素的和。（2）、一位技術人員計劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速10km/h開始，每隔2s速度提高20km/h。如果測試時間為30s，測試距離是多長？（3）、請同學們參考例1、例2和課堂練習題自己編寫一道求等差數列前n項和的練習題。7、歸納總結，提高認識師：誰來總結一下，本節(jié)課學習了什么內容和方法

12、？生：（1）、本節(jié)課學習了等差數列的前n項和公式（2）、學習了一種嶄新的數學方法倒序求和法。師：總結得很好，我們還應注意以下幾點：（1）、公式、共有五個量，只要知道其中三個量，就可以求出其他兩個量。這是下一節(jié)課要學習的內容。（2）、求等差數列的前n項和，要特別注意公式中的項數n是什么。（3）、解應用題時，必須運用理論聯系實際的方法，抽象出數量關系，建立相應的數學模型，才能找到適當的解題方法。8、布置作業(yè)（1）、課本習題2.3第2題。（2）、自己編寫一道求等差數列的前n項和的練習題。（3）、寫一篇學習“等差數列的前n項和”的心得。（4）、預習：課本。9、教學信息反饋五分鐘測驗如圖，一個堆放鉛筆的

13、V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支，這個V形架上共放多少支鉛筆？教案說明本教案的內容是等差數列的前n項和的第一節(jié)課，現將該節(jié)課設計意圖簡單介紹如下：根據新課標的要求，盡可能將數學文化與高中數學課程內容有機結合。因此本節(jié)課創(chuàng)設高斯10歲時快速解出1+2+3+100=？的情境，通過學生預習課文、小組討論、全班交流等形式，讓學生在互幫、互辯、互學中去分析問題、發(fā)現問題，使學生在自主學習中提高人文素養(yǎng)和綜合運用知識的能力，體現了學生的主體地位。在公式推導中，學生通過從具體到抽象、從特殊到一般、由淺入深的嚴格邏輯推理，從而獲得等差數列的前n項和公式。這種設計符合學生的認知規(guī)律，培養(yǎng)了學生的分析能力和創(chuàng)新意識，逐步樹立科學發(fā)展觀。同時，在不斷變式推理過程中，讓學生在實踐認識再實踐再認識的道路上循序漸進去發(fā)現解決問題的方法，在數學實踐中滲透理性思維，優(yōu)化學生的思維品質。本節(jié)課加強了數學應用的教學，在老師啟發(fā)、引導下，學生學會運用理論聯系