七年級(jí)同步第8講：乘法公式(一)-教師版

1、七年級(jí)暑假班乘法公式（一）平方差公式、完全平方公式是特殊的乘法公式，它既是前面知識(shí)“多項(xiàng)式乘 多項(xiàng)式”的應(yīng)用，也是后繼知識(shí)因式分解、分式等的基礎(chǔ)，對(duì)整個(gè)知識(shí)體系也起 到了承上啟下的作用，在初中階段占有很重要的地位.兩個(gè)公式都可以由直觀圖 形引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)，進(jìn)而論證，最后建立數(shù)學(xué)模型，逐步培養(yǎng)學(xué)生的 邏輯推理能力和建模思想.它在本章中起著舉足輕重的作用，是前面知識(shí)的繼承 和發(fā)展，又是后面的分解因式和解一元二次方程的重要依據(jù)，起著承前起后的作 用.1、平方差公式定義：兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘， 等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.a b a-b =a2-b2.模塊一：平方差公式班假暑級(jí)年七【答案】（1）9

2、x2-25;2- ； (3)4x2- y2.9【解【解析】(1)3x 5 3x-5=(3x)（1）a.b可以表示數(shù)，也可以表示式子（單項(xiàng)式和多項(xiàng)式）（2）有些多項(xiàng)式相乘，表面上不能用公式，但通過適當(dāng)變形后可以用公式：2如：ab_cb_ac=b a _c寸b _a_c =b2_a_c2、平方差公式的特征：（1）左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù).（2）右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差.C.-a ba-b D.-x-yx y【難度】【答案】B【解【解析】A:完全平方公式；C:原式-（a -b）2【總結(jié)】對(duì)平方差公式概念的考查.【例【例2】 計(jì)算:(3)2x y 2x-

3、y.【難度】例題解析【例【例1】 下列多項(xiàng)式乘法中,能用平方差公式計(jì)算的是（D：原式二 -(x y)2.(1)3x 5 3x -5;七年級(jí)暑假班(3)2x y 2x_y = (2x)2_ y2=4x2_ y2.【總結(jié)】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.(2)-2x 3y _2x_3y；(3)_2a _3b 2a_3b.(2) -2x 3y -2x -3y i=(-2x)2_(3y)2=4x2-9y2；(3) -2a -3b 2a -3b i=(七b)2-(2a)2=9b2-4a2.【總結(jié)】在運(yùn)用平方差公式時(shí)，一定要注意將相同的項(xiàng)看作【例4】計(jì)算：(1)2a -3 2a 3 4a29;(2)iiii2

4、x32x_3 -2121212yx) -(3)寸【解析】(1)1x211x2252125a”相反的項(xiàng)看作“b”.142(2)a -b.16【例3】 計(jì)算:【難度】【答案】425,22“、2 24x 9y； (3)9b -4a班假暑級(jí)年七【難度】【答案】(1)16a4-81;【解析】(1)原式=(4a2-9)(4a2- 9) =16a4-81；班假暑級(jí)年七原式=（存叫存2.【總結(jié)】平方差公式的連續(xù)運(yùn)用.【例5】計(jì)算:zx 1y_1z253253【答案】xy_丄y2z2.5259【解析】11111 1原式二-(：xy z)( x y z)253253111111-4( x y)z(x y) z25

5、3253“11、21 2 1211=4( x y) z x xy y2594525212z9【總結(jié)】在運(yùn)用平方差公式時(shí)，一定要注意將相同的項(xiàng)看作“a”相反的項(xiàng)看作“b”【例6】計(jì)算：(1)a b a-b i i a 3b a-3b;(2)-2y x 2y xm2x y -2x y;(3)x23丄x2-3-x2x 2.12人2) V 3人3丿【難度】【答案】(1)8b2; (2)5x2-5y2； (3)亠4-62-549【解析】(1)原式=a2-b2-a29b2=8b2;(2)原式=x2-4y24x2-y2=5x2-5y2；七年級(jí)暑假班6 / 20141214123)原式x 9 x亠4x x 5

6、.4949【總結(jié)】平方差公式以及合并同類項(xiàng)的運(yùn)用.【例【例7】計(jì)算：2a-1 2a 1 a 2 a-2_4a2a25.【難度】【答案】a4-25【解【解析】原式=(4a2-1 - a24 -4a2)(a2 5)2 2=(a -5)(a5)=a4-25【總結(jié)】平方差公式的連續(xù)運(yùn)用.【例【例8】 簡(jiǎn)便運(yùn)算：12(1)102 98；(2)30.2 29.8；(3)2524三.33【難度】【答案】(1)9996;(2)899.96;(3)62489【解【解析】 (1)原式=(100 2)(100 -2) =1002-4 =9996；(2)原式=(30 0.2)(30 -0.2) =900 0.04 =

7、899.961 1 1 8(3)原式=(25)(25) =6256243399【總結(jié)】平方差公式在簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用.七年級(jí)暑假班7 / 20模塊二：完全平方公式班假暑級(jí)年七8/ 201完全平方公式定義：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們.r 1, 、2 22222積的兩倍.a b a 2ab b、a _ba _2ab b.2、完全平方公式的特征：（1）左邊是兩個(gè)相同的二項(xiàng)式相乘；（2） 右邊是三項(xiàng)式，是左邊兩項(xiàng)的平方和，加上（這兩項(xiàng)相加時(shí)）或減去（這兩項(xiàng)相減時(shí)）這兩項(xiàng)乘積的2倍；（3）公式中的字母可以表示具體的數(shù) （正數(shù)或負(fù)數(shù)），也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式等代數(shù)式.【例【

8、例9】下列各式中，能用完全平方公式計(jì)算的是（）A.4x -7y-7y-4xB.-4x-7y 7x 4yC.-4x -7y7y 4xD.4x -7y 4x 7y【難度】【答案】C【解【解析】A:_（4x-7y）（4x 7y）;B:-J4x 7y 7x 4y;D:4x7y 4x 7y【總結(jié)】運(yùn)用時(shí)，注意完全平方公式與平方差公式的區(qū)別.【例【例10】下列計(jì)算正確的是（）七年級(jí)暑假班A.（a +b$=a2+b2一y=x2_2xy _y2班假暑級(jí)年七10/ 202 2 2C.(5a+2b ) =25a +4b +20ab【難度】【答案】C【解【解析】A:正確答案為：a22ab b2;12112D:正確答

9、案為：-m -mn-n.934【總結(jié)】本題注意考查學(xué)生對(duì)完全平方公式的理解和準(zhǔn)確運(yùn)用.【例【例11】計(jì)算:【難度】【答案】(1)9x254x 81; (2)1x1xy - y2; (3)x2y2z24xyz 4；4392QQQ【解【解析】(1)3x 9(3x)2 3x 99 =9x 54x 81:(2)廠二凸2? ? y C)2Jx2xyy2;123丿22 334392 2 2 2 2(3)：；：一xyz 2(xyz 2) = x y z 4xyz 4.【總結(jié)】本題主要是利用完全平方公式直接進(jìn)行計(jì)算.D.(11 nKlmlm n+*(32丿364B：正確答案為：x2-2xy - y2；(1)3

10、x 92；(3)-xyz-22.2(2)2x 3 j i 2x -2-2x 2；七年級(jí)暑假班【例【例12】計(jì)算：2(1)x-3x 4- x 3；班假暑級(jí)年七12/ 202(3)2a 1- 2a 1 2a -1.【難度】【答案】(1) x_21;(2)12x 13;(3)4a 2;【解析】(1)原式=x2 x -12 - x2_6x - 9 - -5x - 21;(2)原式=4x212x 9 4 -4x2=12x 13;(3)原式=4a? 4a 1 4a?1 =4a2.【總結(jié)】完全平方公式與合并同類項(xiàng)的運(yùn)用.【例13】計(jì)算:【難度】【答案】(1)-xy;(2)0.3abb2_a2ab _?b22

11、49216【總結(jié)】完全平方公式的直接運(yùn)用，在運(yùn)用時(shí)注意中間項(xiàng)是“積的2倍”.【例14】計(jì)算:(1)9a2-16b23a -4b 3a 4b；(2)11.11. 121.2(1)1x3【解析】12112121122二一x一xy y一一x-xyy亠xy;9349343(2)原式12y(1)原式七年級(jí)暑假班(2)a - b aba b32人32人94班假暑級(jí)年七14/ 20【難度】【答案】(1)81a4_288a2b2256b4; (2)丄a4_丄a2 丄b .81 18 16【解析】(1)原式=(9a2-16b2)(9a216b2) =81a4-288a2b2256b4；121212121412

12、214(2)原式=(ab )( a b ) a a b b.9494811816【總結(jié)】平方差公式與完全平方公式的綜合運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)注意兩個(gè)公式的區(qū)別.【例15】計(jì)算：2 2(1)(2b+c) ；(2)(3x+2y+4)； (3)(x +y_22_x_y).【難度】【答案】(1)a24ab-2ac4bcc2;(2)9x212xy 4y224x 16y 16；2 2(3)-x _2xyy 4x 4y -4.【解析】(1)原式 二(-a -2b) c2=(-a -2b)22c (-a -2b) c22 2 2=a亠4ab亠4b -2ac-4bc亠c;(2)原式=(3x2y)8(3x 2y) 16 =

13、9x 12xy 4y 24x 16y 16；(3)原式二-(x目一2 = -(x y)4(x y)4= -x 2xy y 4x 4y 4.【總結(jié)】三項(xiàng)完全平方的綜合運(yùn)用，注：a bc a2b-c22ab 2ac 2bc.【例16】簡(jiǎn)便計(jì)算:七年級(jí)暑假班(1)99.82;【難度】班假暑級(jí)年七【答案】(1)9960.04;(2)4020025.【解【解析】(1) 99.8二(100_0.2) =10000 _40 0.04 =9960.04；2 2(2)2005 =(20005) =40000002000025 =4020025.【總結(jié)】完全平方公式在簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用.【例【例17】 設(shè)m n =

14、 8,mn =15，求(1)m2n2； (2)m -n.【難度】【答【答案】(1)34;(2)2.【解【解析】(1)m2n2=(m n)22mn = 6430 =34；(2)m - n = (m - n)2= . m2n22mn = 2.【總結(jié)】完全平方公式的變形及其應(yīng)用.常用的變形還有：a b =(a b) -2ab=(a-b)2 ab ，(a b) =(a-b) 4ab等.【例18】 如圖，已知ABE和DCE都為等腰直角三角形, 求ADE的面積.(用含a、b的代數(shù)式表示)【難度】【答案】ab12121 (a b) a b ab.2 2 2【總結(jié)】運(yùn)用完全平方公式求幾何圖形的面積.AB二BE

15、二a,DC二EC二b.D【解析】SADE=3梯形 ABCD SABE -S_DCE班假暑級(jí)年七七年級(jí)暑假班18 / 20【例19】【難度】【答案】【解析】【總結(jié)】平方和.【例20】【難度】【答案】【解析】已知x - -6，求x2-的值.xx38A =(X -丄)22x1=36 2 =38.xxx當(dāng)兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù),并且知道它們的和或者差時(shí),可以利用完全平方公式求它們的42=(a -)2或a2A =(a丄)22aaaa已知：x -2y -1亠x2亠4xy亠4y2=0，貝廿2x y34T|x 2y -1 x24xy 4y2=0,x -2y -1 (x 2y)2=0,x -2y _1 =0 x 2y

16、=0解得：1x=一2七年級(jí)暑假班19 / 20班假暑級(jí)年七【總結(jié)】當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則它們分別為零.【例21已知X -6x k是完全平方式，求k的值.【難度】【答案k =9【解析解：x 6x k =x -2 3x (3) -(3) k =(x -3) -9 k, 且x2-6x - k是完全平方式， k =9.【總結(jié)考察如何配方成完全平方式.1、基本乘法公式有幾個(gè)？2、平方差公式的基本特征是什么？3、完全平方公式的基本特征是什么?隨堂檢測(cè)七年級(jí)暑假班【習(xí)題1】下列各式中，能用平方差公式計(jì)算的是（）A.a -2b a -bB.: -a 2b a -2bC.a 2b -a _2bD._a _2

17、b -a 2b【難度】 【答案】D【解析】D選項(xiàng)為-(a 2b)(2b _a).【總結(jié)】對(duì)平方差公式概念的考查.【習(xí)題2】計(jì)算:(3)l-a -b I -a -b.3232【難度】【答案】(1)4x2-25; (2)1 -4a2; (3)丄a2-丄b2.94【解【解析】（1）原式=（2x）2-52=4x2-25；原式=（3a）2令2十2卞.【總結(jié)】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.【習(xí)題3】計(jì)算:(1)2x 5 2x -5；(2)1 -2a 1 2a；(2)原式=12-(2a)2=1 -4a2；班假暑級(jí)年七22/ 20(1)_?x_?y -x -y ;(2)da _3b 2a 3b.I35人35丿【

18、難度】【答案】(1)4x2-?y2; (2)-4a2-12ab -9b-.925【解析】(1)原式=(2x 3y)(2x 3y) =4x2 9y2;3535925(2)原式=-(2a 3b)2=_4a2_12ab _9b2.【總結(jié)】平方差公式與完全平方公式的運(yùn)用，運(yùn)用時(shí)注意兩個(gè)公式的區(qū)別.【習(xí)題4】解方程：5x 6 3x 2 2 3x 54! x1-x - =2.13人3丿【難度】2 25x 54x -24 6 -54x =25x - 20 =0 x =4【答案】x =4班假暑級(jí)年七23/ 20=18 -32 - T45x 6 3x 2-2 3x -54；2125x 6(9x -4)54( x

19、 ) =2【習(xí)題5】化簡(jiǎn)求值：2b 3a (3a -2b) -(2b -3a)(2b 3a)，其中a=1,b=2.【難度】【答案】-14=18a2-8b2【解析】【總結(jié)】平方差公式在解方程中的運(yùn)用.【解析】原式=9a24b24b29a2z班假暑級(jí)年七24/ 20【總結(jié)】在運(yùn)用平方差公式時(shí)，一定要注意將相同的項(xiàng)看作“a”相反的項(xiàng)看作“b”【習(xí)題6】 計(jì)算：1 6(1)104 96；(2)30.7 29.3；(3)10丄977【難度】【答案】(1)9984;(2)899.51;(3)99蘭49【解析】(1)=(100 4)(100 _4) =10000 _16 =9984;(2)原式=(30 0.

20、7)(30 _0.7) =900 _0.49 =899.51；11148(3)原式=(10)(10 ) =10099 -.774949【總結(jié)】平方差公在簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用.【習(xí)題7】 計(jì)算：(1)4m2-3n2；(2)x -3y x 3y x2- 9y2.【難度】【答案】(1)16m4-24m2n29n ; (2)x4-18x2y281 y4.【解析】(1)原式=16m424m2n2，9n4;(2)原式=(x2-9y2)(x2-9y2) = x4-18x2y281y4.【總結(jié)】完全平方公式的直接運(yùn)用.七年級(jí)暑假班z班假暑級(jí)年七26/ 20【習(xí)題8】 計(jì)算：(1)_x_3y 4x 3y_4;(2)

21、2x y 3 3_2x_y.【難度】【答案】(1)-x2-6xy -9y28x 24y -16; (2)9 -4x2- 4xy -4y2.【解【解析】(1)原式二-(x 3y -4)2=-(x 3y)2-8(x 3y) 162 2-x _6xy_9y亠8x亠24y-16；(2)原式=3 (2x y)3 (2x y) = 9 (2 x y)2= 9 4x2 4xy 4y2.【總結(jié)】平方差公式和完全平方公式的運(yùn)用，注意二個(gè)公式的區(qū)別.【習(xí)題9】如圖，是一個(gè)機(jī)器零件，大圓的半徑為r+2,小圓的半徑為r-2,求陰影部分【作業(yè)1】下列多項(xiàng)式乘法中，能用平方差公式計(jì)算的是（的面積.【答案】【解析】, 2

22、2S =：(r 2) (r -2)8二【總結(jié)】考察圓的面積公式以及完全平方公式.課后作業(yè)課后作業(yè)七年級(jí)暑假班z班假暑級(jí)年七28/ 202 2A.x -y x yB.?a-ba- bC.-c2d2d2c2D.x _y2x2y【難度】【答案】B【解【解析】B選項(xiàng)可以變?yōu)開(ab)(a-b).【總結(jié)】本題主要考查對(duì)平方差公式的理解.【作業(yè)2】計(jì)算:(1)-1x.5【難度】【答案】(1) 丄x2 xy y2;2525100【解【解析】直接使用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算.2 21(2)c dcd4【作業(yè)3】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)403 397;31(2)29- 30-;44(3)99 101 10001;(4

23、)492522.【難度】15【答案】(1)159991;(2)89915；16(3)9999999;(4)5105.110y七年級(jí)暑假班【解析】(1)403 397 =(4003)(400 _3) =160000 _9 =159991;3111115(2)2930(30)(30)=900899;44441616(3)9999 10001 =(10000 _1)(10000 1)=9999999;2 2 2 2(4)4952 =(50 -1)(50 2) =5105.【總結(jié)】完全平方公式或平方差公式在簡(jiǎn)便運(yùn)算中的運(yùn)用.【作業(yè)4】計(jì)算：. 2(1)(2x+y ) (2x + y2x_y)；2(2)-x -y X yI亠X y；2 2(3)2