ch4_4雙線性變換法

1、數(shù)字信號(hào)處理數(shù)字信號(hào)處理 如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器如何將模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字濾波器?W Wp,W Wsw wp,w wsH(s)H(z)頻率頻率變換變換設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬濾波器濾波器AF到到DF的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換利用利用AF-BW filter及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 。01-18-16-14-12-10-8-6-4-20Normalized frequencyGain,dBAs = 14.2dB)(sH) (sH)(zH

2、wwW/,/TT)2arctan(2TTwwT wW,)2tan(2WwT模擬頻率與數(shù)字頻率的關(guān)系為 T/p )2tan(2WwT)2cos()2sin(2j)2tan(2jjWWWwTTwjsWjez11112zzTssTsTz/2/22j2j2j2jeeee2WWWWTWWjje1e12TWWwjje1e12jT雙線性變換雙線性變換 11112zzTssTsTz222222)/2()/2(wwTTz令令s= +jw w，則有，則有1) 1) 0,0,|z| 0,0,|z|1S域虛軸映射到域虛軸映射到z域單位圓上域單位圓上S域右半平面映射到域右半平面映射到z域單位圓外域單位圓外) 2/tan

3、(2WTwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww)2(tan2Tw雙線性變換法雙線性變換法適合設(shè)計(jì)幅度響應(yīng)為分段常數(shù)的數(shù)字濾波器。幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真幅度響應(yīng)不是常數(shù)時(shí)會(huì)產(chǎn)生幅度失真無混疊無混疊1. 1. 將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo) W Wk 轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為 模擬濾波器的頻率指標(biāo)模擬濾波器的頻率指標(biāo) w wk 2. . 由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬濾波器的H(s)。3. 利用雙線性變換法，將利用雙線性變換法，將H(s)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換H(z)。)2tan(2kkTWw11112)()(zzTssHzHW Wp,W Wsw wp,w w

4、sH(s)H(z)設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬濾波器濾波器雙線性變換雙線性變換：AF分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量Fs：抽樣頻率：抽樣頻率：DF分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量利用利用MATLAB)2tan(2WwT11112)()(zzTssHzH 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)標(biāo)W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF比較。比較。設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(1) 將將DF的頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為的

5、頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換為AF的頻率指標(biāo)的頻率指標(biāo))2tan(2ppWwT(2) 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)3dB截頻為截頻為w wp的一階的一階BW型模擬低通濾波器，即型模擬低通濾波器，即N=1, w wc = w wp1/1)(cwssH1/1pws故故1)2/tan(21pWsT 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)標(biāo)W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF比較。比較。設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為設(shè)雙線性變換中的參數(shù)為T(3) 用雙線性變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器用雙線性

6、變換法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器參數(shù)參數(shù)T的取值和最終的設(shè)計(jì)結(jié)果無關(guān)。的取值和最終的設(shè)計(jì)結(jié)果無關(guān)。 為簡單起見，一般取為簡單起見，一般取T=2 1)2/tan(21)(pWsTsH1pp1p) 1)2(tan()2tan(1)1)(2tan()(z/z/zHWWW11112zzTs112697. 01366. 0366. 0zz 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)標(biāo)W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF比較。比較。雙線性變換法設(shè)計(jì)的雙線性變換

7、法設(shè)計(jì)的DF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為112697. 01)366. 0366. 0)(zzzH雙脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF的系統(tǒng)函數(shù)為的系統(tǒng)函數(shù)為1ppe1e1)(zzHWW脈令令z=ejW W ，可分別獲得兩者的幅度響應(yīng)。，可分別獲得兩者的幅度響應(yīng)。1/3e1/3z 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)標(biāo)W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，并與的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF比較。比較。H雙雙(z)和和H脈脈(z)幅度響應(yīng)比較的幅度響應(yīng)比較的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)

8、現(xiàn)Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid; 利用利用BW型模擬低通濾波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足型模擬低通濾

9、波器和雙線性變換法設(shè)計(jì)滿足指標(biāo)指標(biāo)W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的數(shù)字低通濾波器，的數(shù)字低通濾波器，并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的并與脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的DF比較。比較。脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法 脈沖響應(yīng)不變法存在頻脈沖響應(yīng)不變法存在頻譜混疊，所設(shè)計(jì)的譜混疊，所設(shè)計(jì)的DF不滿不滿足給定指標(biāo)。而雙線性變足給定指標(biāo)。而雙線性變換法不存在頻譜混疊，所換法不存在頻譜混疊，所設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)的DF滿足給定指標(biāo)。滿足給定指標(biāo)。 利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2d

10、B, As 15dB (1) 將數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)將數(shù)字低通指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通指標(biāo)，取，取T=2 Ap2db, As15db (2) 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器設(shè)計(jì)模擬低通濾波器 （BW型）型）)/lg(2)110110(lgps1 . 01 . 0pswwAAN=2)2/(11 . 0sc) 110(sNAww=0.585 1 12)(1)(c2cLwwsssH9324. 0)2tan(2ppWwT4376. 1)2tan(2ssWwT3342. 05827. 03342. 02ss利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2

11、p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB (3) 用用雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器雙線性變換法將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器 11112)()(zzTssHzH21213237. 02606. 018157. 05315. 08157. 0zzzz利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP

12、 specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)利用利用AF-BW

13、filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%com

14、puter Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized freq

15、uencyGain,dbAp= 0.3945As= 15.0000利用利用AF-BW filter及及雙線性變換法雙線性變換法設(shè)計(jì)一設(shè)計(jì)一DF，滿足，滿足 W Wp=0.2p p, W Ws=0.6p p, Ap 2dB, As 15dB 01-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50Normalized frequencyGain,dB將將雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法所雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法所設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)DF的結(jié)果比較。的結(jié)果比較。雙線性變換雙線性變換Ap= 0.3945As= 15.0000脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變

16、法雙線性變換法雙線性變換法脈沖響應(yīng)不變脈沖響應(yīng)不變Ap= 1.1187As= 12.3628W Wp,W Wsw wp,w wsH(z)w =W/T脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法H(s)模擬頻模擬頻率變換率變換設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)(LsH復(fù)頻率變換復(fù)頻率變換)2tan(2Tw 脈沖響應(yīng)不脈沖響應(yīng)不變法不能設(shè)計(jì)變法不能設(shè)計(jì)和和數(shù)字濾數(shù)字濾波器波器1e111zpsTpll11112zzTsW Wp,W WsH(z)w =W/T脈沖響應(yīng)不變法脈沖響應(yīng)不變法雙線性變換法雙線性變換法數(shù)字頻數(shù)字頻率變換率變換設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型低通濾波器低通濾波器sp,ww)

17、(LsH)2tan(2WwT1e111zpsTpll11112zzTssp,WW)(LzHz域域變換變換試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。 脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器，脈沖響應(yīng)不變法不適合設(shè)計(jì)數(shù)字帶阻濾波器，因此采用雙線性變換法設(shè)計(jì)。因此采用雙線性變換法設(shè)計(jì)。 (1) 將數(shù)字帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指標(biāo)將數(shù)字帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬帶阻濾波器指

18、標(biāo) )2tan(2WwT取取T=2，利用，利用得模擬帶阻指標(biāo)為得模擬帶阻指標(biāo)為w wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(2) 將模擬帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo)將模擬帶阻濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標(biāo) 21s2swwB9499.

19、92s1s0www3714. 0,max202p2p2202p1p1pwwwwwwwBBAp 1dB, As 10dB 1sww wp1=6rad, w wp2=13rad, w ws1=9rad, w ws2=1rad1,Ap 1dB, As 10dB 模擬帶阻指標(biāo)模擬帶阻指標(biāo)試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。(3) 設(shè)計(jì)原型設(shè)計(jì)原型BW型模擬低通濾波器型模擬低通

20、濾波器 Ap 1dB, As 10dB 1,3714. 0spww原型模擬低通指標(biāo)原型模擬低通指標(biāo)2)/(lg2)110110lg(ps1 . 01 . 0pswwAAN5774. 0) 110()2/(11 . 0scsNAww原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 12)(1)(c2cLwwsssH3333. 08165. 03333. 02ss試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的試設(shè)計(jì)滿足下列指標(biāo)的BW型數(shù)字帶阻濾波器型數(shù)字帶阻濾波器 W Wp1=2.8113rad/s, W Wp2=2.9880rad/s, Ap 1dB , W Ws1=2.9203rad/s, W Ws2=2.9603rad/s, As 10dB (4) 由復(fù)頻率變換將原型模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器由復(fù)頻率變換將原型模擬低通轉(zhuǎn)換為模擬帶阻濾波器 3333. 08165. 03333. 0)(2LsssH202)()(LBSwsBsssHsH9801485210899. 4980119823424ssssss(5) 由雙線性變換模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器由雙線性變換模擬帶阻濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶阻濾波器 11112)()(zzTssHzH432143219067. 06412. 35601. 58241. 319522. 07327. 3