第一章隨機(jī)事件與概率

1、12 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)創(chuàng)立于十七世紀(jì)五十年代概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)創(chuàng)立于十七世紀(jì)五十年代.起源于并不高尚的賭博事業(yè)起源于并不高尚的賭博事業(yè), 但它目前已經(jīng)發(fā)展為但它目前已經(jīng)發(fā)展為一個(gè)蔚為壯觀的龐大數(shù)學(xué)理論一個(gè)蔚為壯觀的龐大數(shù)學(xué)理論, 它在社會(huì)科學(xué)、生它在社會(huì)科學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融管理、商務(wù)管物學(xué)、物理學(xué)和化學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融管理、商務(wù)管理、保險(xiǎn)業(yè)等都有著廣泛的應(yīng)用理、保險(xiǎn)業(yè)等都有著廣泛的應(yīng)用. 我們的生活中有確定性的一面我們的生活中有確定性的一面, 如像瓜熟蒂落如像瓜熟蒂落,日出日沒(méi)日出日沒(méi), 春夏秋冬春夏秋冬, 暑往寒來(lái)等暑往寒來(lái)等, 它們次序井然它們次序井然, 有固定規(guī)律可循有固

2、定規(guī)律可循. 而生活的另一面卻充滿了各種各而生活的另一面卻充滿了各種各樣的偶然性樣的偶然性, 充滿了各種各樣的機(jī)遇充滿了各種各樣的機(jī)遇, 茫茫然而難茫茫然而難蹤其緒蹤其緒. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就在于從偶然性概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就在于從偶然性中探求必然性中探求必然性, 從無(wú)序中探求有序從無(wú)序中探求有序.3在一定條件下必然發(fā)生在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象的現(xiàn)象稱(chēng)為確定性現(xiàn)象. . “太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起太陽(yáng)不會(huì)從西邊升起”,1. 確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象 “水從高處流向低處水從高處流向低處”.實(shí)例實(shí)例在自然界和人類(lèi)社會(huì)中存在著兩類(lèi)不同的現(xiàn)象在自然界和人類(lèi)社會(huì)中存在著兩類(lèi)不同的現(xiàn)象,一類(lèi)

3、是一類(lèi)是確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象, 另一類(lèi)是另一類(lèi)是隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象.確定性現(xiàn)象的特征確定性現(xiàn)象的特征 條件完全決定結(jié)果條件完全決定結(jié)果4在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的、的、事先事先無(wú)法確切知道其結(jié)果的現(xiàn)象無(wú)法確切知道其結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象.實(shí)例實(shí)例1 “在相同條件下擲一枚均勻的硬幣在相同條件下擲一枚均勻的硬幣, 觀察觀察正反兩面出現(xiàn)的情況正反兩面出現(xiàn)的情況”.2. 隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象 結(jié)果有可能結(jié)果有可能出現(xiàn)正面出現(xiàn)正面也可能也可能出現(xiàn)反面出現(xiàn)反面.結(jié)果有可能為結(jié)果有可能為:“1”, “2”, “3”, “4”, “5” 或或 “6”. 實(shí)例實(shí)例2

4、 “拋擲一枚骰子拋擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”.隨機(jī)現(xiàn)象的特征隨機(jī)現(xiàn)象的特征條件不能完全決定結(jié)果條件不能完全決定結(jié)果5 為了研究隨機(jī)現(xiàn)象為了研究隨機(jī)現(xiàn)象, 就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察就要對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察, 觀察的過(guò)程稱(chēng)為觀察的過(guò)程稱(chēng)為().(1) 在相同的條件下試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行在相同的條件下試驗(yàn)可重復(fù)進(jìn)行;(2) 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性, 且在試驗(yàn)之前且在試驗(yàn)之前,試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是可以明確知道的試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是可以明確知道的;(3) 每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè),但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定

5、這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果一個(gè)結(jié)果.可重復(fù)性可重復(fù)性多可能性多可能性不確定性不確定性6人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究后人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐并深入研究后, 發(fā)現(xiàn)隨機(jī)發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象雖然具有不確定性現(xiàn)象雖然具有不確定性, 但在大量重復(fù)試驗(yàn)下但在大量重復(fù)試驗(yàn)下,它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性它的結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種規(guī)律性.這種在大量重復(fù)試驗(yàn)中所呈現(xiàn)的規(guī)律性這種在大量重復(fù)試驗(yàn)中所呈現(xiàn)的規(guī)律性, 稱(chēng)稱(chēng)為為.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支, 它研它研究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性究的對(duì)象是隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性. 條件下條件下, 通過(guò)大量重復(fù)的試驗(yàn)來(lái)分析

6、研究隨機(jī)現(xiàn)通過(guò)大量重復(fù)的試驗(yàn)來(lái)分析研究隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律象出現(xiàn)的數(shù)量規(guī)律.即在相同的即在相同的7對(duì)于一個(gè)試驗(yàn)對(duì)于一個(gè)試驗(yàn), 盡管各次試驗(yàn)的結(jié)果在試盡管各次試驗(yàn)的結(jié)果在試驗(yàn)之前無(wú)法預(yù)知驗(yàn)之前無(wú)法預(yù)知, 但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已但試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是已知的知的.我們將隨機(jī)試驗(yàn)我們將隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能的結(jié)果所組的所有可能的結(jié)果所組成的集合稱(chēng)為成的集合稱(chēng)為 E 的的, 記為記為 .樣本空間的元素樣本空間的元素, 稱(chēng)為稱(chēng)為.8試驗(yàn)試驗(yàn)E1: 拋一枚硬幣拋一枚硬幣, 觀察正面觀察正面H、反面、反面T出現(xiàn)的情況出現(xiàn)的情況.樣本空間樣本空間1: 1,H T 試驗(yàn)試驗(yàn)E2: 將一枚硬幣拋擲三次將一枚硬

7、幣拋擲三次, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)觀察正面出現(xiàn)的次數(shù).樣本空間樣本空間2: 20,1,2,3 試驗(yàn)試驗(yàn)E3:記錄某公共汽車(chē)站某日記錄某公共汽車(chē)站某日上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù)上午某時(shí)刻的等車(chē)人數(shù).樣本空間樣本空間3: 30,1,2,3, L L試驗(yàn)試驗(yàn)E4: 在一批燈泡中任抽取一只在一批燈泡中任抽取一只, 測(cè)試它的壽命測(cè)試它的壽命.樣本空間樣本空間4: 4 |0t t 9試驗(yàn)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 的子集稱(chēng)為的子集稱(chēng)為 E 的的簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng).在每次試驗(yàn)中在每次試驗(yàn)中, 當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí), 稱(chēng)這一稱(chēng)這一. 特別地特別地, 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)

8、集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集, 稱(chēng)為稱(chēng)為. 每一基本事件對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)的一個(gè)可能每一基本事件對(duì)應(yīng)著試驗(yàn)的一個(gè)可能結(jié)果結(jié)果.如試驗(yàn)如試驗(yàn) E1 有兩個(gè)基本事件有兩個(gè)基本事件:H和和T記為記為,.A B C L L試驗(yàn)試驗(yàn) E3 有無(wú)數(shù)個(gè)基本事件有無(wú)數(shù)個(gè)基本事件:0,1,2,.L L,10樣本空間樣本空間 作為自身的子集作為自身的子集, 包含了所有包含了所有空集空集 作為樣本空間作為樣本空間 的子集的子集, 它不包它不包 例例:則樣本空間為則樣本空間為123456, 且且135,A 而而56,B 的樣本點(diǎn)的樣本點(diǎn), 其對(duì)應(yīng)的事件就是必然事件其對(duì)應(yīng)的事件就是必然事件.含任何樣本點(diǎn)含任何樣本點(diǎn), 其對(duì)應(yīng)的事

9、件就是不可能事件其對(duì)應(yīng)的事件就是不可能事件.,ii 設(shè)設(shè)表表示示 擲擲一一顆顆骰骰子子出出現(xiàn)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn) 這這一一基基本本事事件件,表表示示 擲擲骰骰子子出出現(xiàn)現(xiàn)奇奇數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn) 這這一一事事件件5表表示示 擲擲骰骰子子出出現(xiàn)現(xiàn)的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)大大于于或或等等于于 點(diǎn)點(diǎn).這這一一事事件件7,而而 擲擲骰骰子子出出現(xiàn)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)小小于于就就是是必必然然事事件件7.擲擲骰骰子子出出現(xiàn)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)大大于于就就是是不不可可能能事事件件11設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間為的樣本空間為 , 而而,(1,2,)kA B A k L L是是 的子集的子集.如果事件如果事件 A 發(fā)生必然導(dǎo)致發(fā)生必然導(dǎo)致 B 發(fā)生發(fā)生, 即屬于即屬

10、于 A 的的 每一個(gè)樣本點(diǎn)也屬于每一個(gè)樣本點(diǎn)也屬于 B, 則稱(chēng)則稱(chēng).(或稱(chēng)或稱(chēng) , )記為記為AB 或或.BA BA維恩圖維恩圖12為了方便起見(jiàn)為了方便起見(jiàn), 規(guī)定對(duì)任一事件規(guī)定對(duì)任一事件 A, 有有.A 顯然顯然, 對(duì)任一事件對(duì)任一事件 A, 有有. A同樣同樣, 如如BA 且且,CB 則則.CA 如如BA 且且,AB 則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A, B ,記為記為 .AB 132. “事件事件 A 與與 B 至少有一個(gè)發(fā)生至少有一個(gè)發(fā)生” 這一事件稱(chēng)為這一事件稱(chēng)為 記為記為.ABU UBA它是由屬于它是由屬于 A 或?qū)儆诨驅(qū)儆?B 的所有樣本點(diǎn)組成的集合的所有樣本點(diǎn)組成的集合.即即:|.ABx x

11、AxB或或U U .AB 或或ABU U14 此定義可推廣到有限個(gè)事件此定義可推廣到有限個(gè)事件.即即:n 個(gè)事件的和事件個(gè)事件的和事件12nAAAU UU U L L U U1niiA U U153. “事件事件 A 與與 B 同時(shí)發(fā)生同時(shí)發(fā)生” 這一事件稱(chēng)為這一事件稱(chēng)為. 記為記為ABIBA它是由既屬于它是由既屬于 A 又屬于又屬于 B 的所有公共樣本點(diǎn)的所有公共樣本點(diǎn)組成的集合組成的集合.即即:|.ABx xAxB I I且且或或 AB. ABI16 此定義可推廣到有限個(gè)事件此定義可推廣到有限個(gè)事件.即即:n 個(gè)事件的積事件個(gè)事件的積事件12nAAAI II I L L I I1niiA

12、I I174. “事件事件 A 發(fā)生而發(fā)生而 B 不發(fā)生不發(fā)生” 這一事件稱(chēng)為這一事件稱(chēng)為.記為記為.BA A它是由屬于它是由屬于 A 但不屬于但不屬于 B 的那些樣本點(diǎn)組成的集合的那些樣本點(diǎn)組成的集合.即即:.|BxAxxBA 且且 AB B18BA5. 如果事件如果事件 A 與與 B 在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生在一次試驗(yàn)中不可能同時(shí)發(fā)生,即即 則稱(chēng)則稱(chēng), 或或., AB 19如果如果 n 個(gè)事件個(gè)事件12,nA AAL L中任意兩個(gè)事件中任意兩個(gè)事件都不可能同時(shí)發(fā)生都不可能同時(shí)發(fā)生, 即即)(jiAAji 則稱(chēng)這則稱(chēng)這 n 個(gè)事件是兩兩互不相容的個(gè)事件是兩兩互不相容的.或簡(jiǎn)稱(chēng)這或簡(jiǎn)稱(chēng)這 n

13、 個(gè)事件是互不相容的個(gè)事件是互不相容的.如對(duì)一個(gè)試驗(yàn)而言如對(duì)一個(gè)試驗(yàn)而言, 它的各個(gè)基本事件之它的各個(gè)基本事件之間是間是互不相容的互不相容的.20A 若事件若事件 A 與與 B 互為對(duì)立事件互為對(duì)立事件, 則在一次試驗(yàn)則在一次試驗(yàn)中中, 事件事件 A 與與 B 必有一個(gè)發(fā)生必有一個(gè)發(fā)生, 且只有一個(gè)發(fā)生且只有一個(gè)發(fā)生.事件事件 A 的逆事件記為的逆事件記為6. 若若 且且 則稱(chēng)則稱(chēng), 又稱(chēng)又稱(chēng)., ABAB U U.A.AA 它是由樣本空間它是由樣本空間 中所有不屬于中所有不屬于 A 的那些樣的那些樣本點(diǎn)組成的集合本點(diǎn)組成的集合.A 21構(gòu)成一個(gè)構(gòu)成一個(gè)完備事件組完備事件組.則稱(chēng)這則稱(chēng)這 n

14、個(gè)事件個(gè)事件如果如果 n 個(gè)事件個(gè)事件12,nA AAL L兩兩互不相容兩兩互不相容,即即(),ijA Aij 且它們的和是必然事件且它們的和是必然事件 , 即即12,nAAA UU L U12,nA AAL L例例:則樣本空間為則樣本空間為,654321 1135,A 2246,A 就是一個(gè)完備事件組就是一個(gè)完備事件組.112,A 23,A 事件組事件組.3456,A 也是一個(gè)完備也是一個(gè)完備,ii 設(shè)設(shè)表表示示 擲擲一一顆顆骰骰子子出出現(xiàn)現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn) 這這一一基基本本事事件件但但112,A 23A 不是完備事件組不是完備事件組.12,nA AA或或稱(chēng)稱(chēng)構(gòu)構(gòu)成成樣樣本本L L. 空空間間的的一一個(gè)

15、個(gè)劃劃分分22(1) 交換律交換律;ABBA (2) 結(jié)合律結(jié)合律;)()(CBACBA (3) 分配律分配律()()();ABCABAC (4) 德德.摩根律摩根律;ABAB ;AA ;AA ;AA ABAAB .ABBA .)()(CBACBA ()()().ABCABAC .ABAB ,.A B C 是是的的子子集集,E 設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空間間為為.AB 23例例1: 設(shè)一個(gè)工人生產(chǎn)了三個(gè)零件設(shè)一個(gè)工人生產(chǎn)了三個(gè)零件, 又又 Ai 表示事表示事件件“他生產(chǎn)的第他生產(chǎn)的第 i 個(gè)零件是正品個(gè)零件是正品”( i = 1,2,3). 試用試用諸諸 Ai 表示下列各事件表示下列各事件.

16、沒(méi)有一個(gè)產(chǎn)品是次品沒(méi)有一個(gè)產(chǎn)品是次品;至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品至少有一個(gè)產(chǎn)品是次品;(1)只有一個(gè)產(chǎn)品是正品只有一個(gè)產(chǎn)品是正品.123(1) A A A123(2) A A A123(3) A A A123A A AU123A A AU123()AAA或或UU24例例2: 一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次一名射手連續(xù)向某個(gè)目標(biāo)射擊三次, 事件事件 Ai 表示該射手第表示該射手第 i 次射擊時(shí)擊中目標(biāo)次射擊時(shí)擊中目標(biāo) ( i = 1, 2, 3). 試試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录梦淖謹(jǐn)⑹鱿铝惺录?12(1) AAU U前兩次中至少有一次擊中前兩次中至少有一次擊中.2(2) A第二次未擊中第二次未擊中.123

17、(3) A A A三次都擊中三次都擊中.32(4) A A第三次擊中但第二次未擊中第三次擊中但第二次未擊中.23(5) AAU U后二次中至少有一次未擊中后二次中至少有一次未擊中.2323AAAA UIUI25 在相同的條件下在相同的條件下, 進(jìn)行了進(jìn)行了n 次試驗(yàn)次試驗(yàn), 在這在這 n 次試次試驗(yàn)中驗(yàn)中, 事件事件 A 發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù) nA 稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件 A 發(fā)生的發(fā)生的.比值比值A(chǔ)nn稱(chēng)為事件稱(chēng)為事件 A 發(fā)生的發(fā)生的, 記為記為( ).nfA顯然顯然, 頻率具有下述基本性質(zhì)頻率具有下述基本性質(zhì):(1) 有界性有界性 0( )1;nfA (2) 規(guī)范性規(guī)范性 ()0,()1;nn

18、ff(3) 有限可加性有限可加性 若若12,kA AAL L是兩兩互不相容是兩兩互不相容的事件的事件, 則則11()()().nknnkfAAfAfA U L UL26 人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐發(fā)現(xiàn)人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐發(fā)現(xiàn), 雖然隨機(jī)事件雖然隨機(jī)事件在某一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生在某一次試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生, 但在但在大量重復(fù)的試驗(yàn)中大量重復(fù)的試驗(yàn)中, 它卻呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性它卻呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性 - 即頻率在區(qū)間即頻率在區(qū)間 0, 1上的某個(gè)上的某個(gè)確定的數(shù)確定的數(shù) p 附近擺動(dòng)附近擺動(dòng).27實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者nnHfn(H)德德. .摩根摩根204810610.5181蒲蒲 豐豐4040204

19、80.5069K K. .皮爾遜皮爾遜1200060190.5016K K. .皮爾遜皮爾遜24000120120.5005維尼維尼30000149940.499828既然大量重復(fù)試驗(yàn)中既然大量重復(fù)試驗(yàn)中, 隨機(jī)事件出現(xiàn)的隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率是逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù)頻率是逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù) p, 則這個(gè)常數(shù)則這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是事件本身的一種屬性實(shí)際上就是事件本身的一種屬性. 我們就有我們就有可能用這個(gè)數(shù)字來(lái)對(duì)事件出現(xiàn)的可能性大小可能用這個(gè)數(shù)字來(lái)對(duì)事件出現(xiàn)的可能性大小進(jìn)行客觀的度量進(jìn)行客觀的度量. 從而有如下的概率的定義從而有如下的概率的定義.在不變的條件下重復(fù)進(jìn)行某一試驗(yàn)在不變的條件下重復(fù)進(jìn)行某一試

20、驗(yàn), 當(dāng)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增多時(shí), 事件事件 A 出現(xiàn)的頻率的出現(xiàn)的頻率的穩(wěn)定值穩(wěn)定值 p 稱(chēng)為稱(chēng)為 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率,記為記為 P(A). 即即 ( ).P Ap 29 如果一個(gè)試驗(yàn)滿足如果一個(gè)試驗(yàn)滿足:樣本空間中只有有限個(gè)基本事件樣本空間中只有有限個(gè)基本事件, (2) 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.則稱(chēng)該試驗(yàn)為則稱(chēng)該試驗(yàn)為.所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)是有限的;如擲硬幣、如擲硬幣、骰子、骰子、摸小球、摸小球、 對(duì)古典概率試驗(yàn)對(duì)古典概率試驗(yàn), 假定樣本空間假定樣本空間 所含的基所含的基本事件

21、總數(shù)為本事件總數(shù)為 n, 事件事件 A 所包含的基本事件總數(shù)所包含的基本事件總數(shù)為為k. 則則( )kP An .A 包包含含的的基基本本事事件件數(shù)數(shù)中中基基本本事事件件的的總總數(shù)數(shù)產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)等產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)等.即在試驗(yàn)中即在試驗(yàn)中 301、兩個(gè)基本原理、兩個(gè)基本原理 加法原理加法原理 假設(shè)完成一件事可以有兩類(lèi)辦法，而在第假設(shè)完成一件事可以有兩類(lèi)辦法，而在第一類(lèi)辦法中有一類(lèi)辦法中有 n1 種不同的方法，在第二類(lèi)辦法種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有中有 n2 種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，那么完成這件事共有n1+ n2 種不同的方法。種不同的方法。 加法原理不難推廣到有多類(lèi)辦法的情

22、形。加法原理不難推廣到有多類(lèi)辦法的情形。 (2) 乘法原理乘法原理 假設(shè)完成一件事可以分成兩步來(lái)做，而在假設(shè)完成一件事可以分成兩步來(lái)做，而在第一步時(shí)有第一步時(shí)有 n1 種不同的方法，在第二步時(shí)有種不同的方法，在第二步時(shí)有 n2種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法，那么完成這件事共有 n1n2 種不種不同的方法。同的方法。 乘法原理不難推廣到有多個(gè)步驟的情形。乘法原理不難推廣到有多個(gè)步驟的情形。 312、排列數(shù)、排列數(shù)mnPn (1)n (2)n L L)1( mn(1)(1)()2 1()2 1n nnmnmnm L LL LL L!.()!nnm !12;nn L L其其中中 0!1

23、. 規(guī)規(guī)定定(), .nm mnnm 從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中任任取取個(gè)個(gè)元元素素 按按照照一一定定的的次次序序排排成成一一列列叫叫做做從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取個(gè)個(gè)元元素素的的一一排排列列個(gè)個(gè)(), ,nm mnnm 從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取出出個(gè)個(gè)元元素素的的所所有有排排列列的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)叫叫做做從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取個(gè)個(gè)元元素素的的排排列列數(shù)數(shù)出出.mnP用用符符號(hào)號(hào)表表示示.mnA或或用用符符號(hào)號(hào)表表示示323、組合數(shù)、組合數(shù)mmnnmmPCP (1)(1)2 1n nnmm LL!.!()!nmnm .mn mnnCC 顯顯然然1233,CC

24、 2688.CC (), .nm mnnm 從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中任任取取個(gè)個(gè)元元素素 組組成成一一組組叫叫做做從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取元元素素的的一一個(gè)個(gè)組組合合個(gè)個(gè)(), ,nm mnnm 從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取出出個(gè)個(gè)元元素素的的所所有有組組合合的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)叫叫做做從從個(gè)個(gè)不不同同的的元元素素中中取取個(gè)個(gè)元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)出出.mnC用用符符號(hào)號(hào)表表示示33例例1：一部四卷本的文集按任意次序放到書(shū)架上去，：一部四卷本的文集按任意次序放到書(shū)架上去，問(wèn)各冊(cè)從左到右或從右到左恰成問(wèn)各冊(cè)從左到右或從右到左恰成1、2、3、4的順序的順序的概率是多少？的概率

25、是多少？P 1.12 例例2：100個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，任取個(gè)次品，任取10個(gè)，求其中個(gè)，求其中恰有恰有2個(gè)次品的概率？個(gè)次品的概率？P 10100C25C 895C0.0702. !()!mnnCmnm (1)(2)(1)mnPn nnnm L問(wèn)：任取的問(wèn)：任取的10個(gè)產(chǎn)品中沒(méi)有次品的概率又是多少？個(gè)產(chǎn)品中沒(méi)有次品的概率又是多少？109510100CPC 0.5878. 44P234例例3：從數(shù)字：從數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5 中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，計(jì)算它們組成的兩位數(shù)大于計(jì)算它們組成的兩位數(shù)大于 30 的概率。的概率。P 13C14C3.5 例例4：十

26、二個(gè)球中有：十二個(gè)球中有5個(gè)紅球，個(gè)紅球，4個(gè)白球，個(gè)白球，3個(gè)黑球，個(gè)黑球，從中任取兩個(gè)球，計(jì)算沒(méi)有取到紅球的概率。從中任取兩個(gè)球，計(jì)算沒(méi)有取到紅球的概率。P 212C27C7.22 !()!mnnCmnm 又問(wèn)：若改變?nèi)∏蚍绞?，先取一球，觀察顏色后放回，又問(wèn)：若改變?nèi)∏蚍绞?，先取一球，觀察顏色后放回，然后再取第二個(gè)球，則概率又是多少？然后再取第二個(gè)球，則概率又是多少？P 1212 77 49.144 15C 14C350)( P概率的有限可加性概率的有限可加性若若12,nA AAL L是兩兩互不相容的事件，則有是兩兩互不相容的事件，則有11()()()nnP AAP AP A U U L

27、L U UL L,()( )( );ABP BAP BP A設(shè)設(shè)則則()( )();P ABP AP AB36對(duì)任一事件對(duì)任一事件 A, 有有0( )1.P A對(duì)任一事件對(duì)任一事件 A, 有有( )1( ).P AP A （逆事件的概率）（逆事件的概率）（加法公式）（加法公式）對(duì)任意兩個(gè)事件對(duì)任意兩個(gè)事件 A, B, 有有()( )( )().P ABP AP BP ABU U37加法公式可推廣到有限個(gè)事件上去加法公式可推廣到有限個(gè)事件上去.如對(duì)任意三個(gè)事件如對(duì)任意三個(gè)事件 A, B, C, 有有()P ABC U UU U)()()(CPBPAP )()()(BCPACPABP ).(ABC

28、P 385,( )0.2,( )0.3,(1)( ); (2)(); (3)(); (4)();(5)().AB P AP BP AP ABP ABP BAP AB 例例 ：設(shè)設(shè)求求U(1)( )1( )P AP A0.8 ()( )P ABP B U(2),AB Q0.30.2 ,ABBU0.3 (3),AB Q,ABA()( )P ABP A 0.2 (4)()()P BAP BA 0.1 (5)()()P ABP 0 AB()()P BP A 39例例6: 某城市有某城市有50%住戶訂日?qǐng)?bào)住戶訂日?qǐng)?bào), 有有65%住戶訂住戶訂晚報(bào)晚報(bào), 有有85%住戶至少訂這兩種報(bào)紙中的一種住戶至少訂這兩

29、種報(bào)紙中的一種,求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比求同時(shí)訂這兩種報(bào)紙的住戶的百分比. 設(shè)事件設(shè)事件A為為“住戶訂有日?qǐng)?bào)住戶訂有日?qǐng)?bào)”, 事件事件B為為“住戶訂有晚報(bào)住戶訂有晚報(bào)”, AB則則U“住戶至少訂有日?qǐng)?bào)和晚報(bào)中的一種住戶至少訂有日?qǐng)?bào)和晚報(bào)中的一種”, AB表示事件表示事件“住戶既訂日?qǐng)?bào)又訂晚報(bào)住戶既訂日?qǐng)?bào)又訂晚報(bào)”. ()0.50,P A 已已知知,65. 0)( BP()0.85,P AB U U()()()()P ABP AP BP AB U U所所以以30. 085. 065. 050. 0 表示事件表示事件40例例7: 袋中裝有袋中裝有4個(gè)白球和個(gè)白球和3個(gè)黑球個(gè)黑球, 從中一次

30、抽從中一次抽取取3個(gè)個(gè), 計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率. (0,1, 2, 3).iAii 設(shè)設(shè)事事件件為為 抽抽取取的的三三個(gè)個(gè)球球有有 個(gè)個(gè)白白球球 顯然顯然23.A A 2323()()()P AAP AP A U U則則214337C CC 22.35 3437CC 41 在事件在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概發(fā)生的概率稱(chēng)為率稱(chēng)為。 簡(jiǎn)稱(chēng)為簡(jiǎn)稱(chēng)為B對(duì)對(duì) A 的條件概率。的條件概率。 在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們往往會(huì)遇到在事件在許多實(shí)際問(wèn)題中，我們往往會(huì)遇到在事件A已經(jīng)發(fā)生的前提下，求事件已經(jīng)發(fā)生的前提下，求事件B發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。

31、記為記為(|).P B A相應(yīng)地，相應(yīng)地， )(BP稱(chēng)為無(wú)條件概率。稱(chēng)為無(wú)條件概率。一般來(lái)說(shuō)，一般來(lái)說(shuō)，)()|(BPABP 這時(shí)由這時(shí)由于有了附加條件，我們稱(chēng)這種概率為于有了附加條件，我們稱(chēng)這種概率為。42例例1：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況情況. 設(shè)事件設(shè)事件A為為“至少有一次為至少有一次為H”，事件，事件B為為“兩兩次擲出同一面次擲出同一面” 。現(xiàn)在求?，F(xiàn)在求(|).P B A樣本空間為樣本空間為 = HH, HT, TH, TT,A = HH, HT, TH, B = HH, TT已知事件已知事件A已發(fā)生已發(fā)生, 有了這一信息有了這

32、一信息, 知道知道“TT”不可能不可能發(fā)生。發(fā)生。即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合就是即知試驗(yàn)所有可能結(jié)果組成的集合就是A。A中共有中共有3個(gè)元素個(gè)元素, 其中只有其中只有.BHH 于是于是, 在在A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為1(|).3P B A 顯然顯然,21( ).42P B )()|(BPABP 43樣本空間為樣本空間為 = HH, HT, TH, TT,A = HH, HT, TH, B = HH, TT1(|).3P B A 21().42P B )()|(BPABP 1(),4P AB 3( ),4P A 1()43( )4P ABP A 1.3 ()(|)

33、.()P ABP B AP A 例例1：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的：將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正反面的情況情況. 設(shè)事件設(shè)事件A為為“至少有一次為至少有一次為H”，事件，事件B為為“兩兩次擲出同一面次擲出同一面” ?，F(xiàn)在求。現(xiàn)在求(|).P B A44 第二節(jié)中所說(shuō)明的關(guān)于概率的一些性質(zhì)都第二節(jié)中所說(shuō)明的關(guān)于概率的一些性質(zhì)都12,BB例例如如：對(duì)對(duì)于于任任意意事事件件有有121212()()|()(|).|P BBAAP BP BP BABA U U設(shè)設(shè) A, B 是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件, 且且, 0)( AP則定義則定義()(|).( )P ABP B AP A 適用于條件概率

34、適用于條件概率.121212()()()().P BBP BP BP B B U U450)( AP若若此結(jié)果可推廣到多個(gè)事件的積事件的情況此結(jié)果可推廣到多個(gè)事件的積事件的情況. 如如設(shè)設(shè) A, B, C 為三個(gè)事件為三個(gè)事件, 且且 P(AB) 0, 則有則有)(ABCP)(CABP )|()(ABCPABP )|()|()(ABCPABPAP 0)( BP若若)|()()(ABPAPABP )|()()(BAPBPABP ()(|)( )P ABP B AP A ()(|)( )P ABP A BP B 46例例2：市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中市場(chǎng)上供應(yīng)的燈泡中, 甲廠產(chǎn)品占甲廠產(chǎn)品占70%, 乙乙

35、廠產(chǎn)品占廠產(chǎn)品占30%, 甲廠產(chǎn)品的合格率是甲廠產(chǎn)品的合格率是95%, 乙廠乙廠產(chǎn)品的合格率是產(chǎn)品的合格率是80%, 求從市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)燈泡求從市場(chǎng)上買(mǎi)到一個(gè)燈泡是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率. 用用A表示表示“產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)產(chǎn)品由甲廠生產(chǎn)”這一事件這一事件, 用用B表示表示“產(chǎn)品合格產(chǎn)品合格”這一事件這一事件,()P AB則則0.70.95 () (|)P A P B A 0.665 47例例3： 一箱產(chǎn)品有一箱產(chǎn)品有100件件, 次品率為次品率為10%, 出廠時(shí)出廠時(shí)作不放回抽樣作不放回抽樣, 開(kāi)箱連續(xù)地抽驗(yàn)開(kāi)箱連續(xù)地抽驗(yàn)3件件. 若若3件產(chǎn)品件產(chǎn)品都合格都合格, 則

36、準(zhǔn)予該箱產(chǎn)品出廠則準(zhǔn)予該箱產(chǎn)品出廠. 求一箱產(chǎn)品準(zhǔn)予求一箱產(chǎn)品準(zhǔn)予出廠的概率出廠的概率. (1,2,3)iAii 設(shè)設(shè)事事件件為為 抽抽到到第第件件為為正正品品 123()P A A A則則90100 )|()|()(213121AAAPAAPAP 7265. 0 8999 8898 48 在實(shí)際問(wèn)題中，事件在實(shí)際問(wèn)題中，事件 B 的發(fā)生總會(huì)有一定的原的發(fā)生總會(huì)有一定的原因，其中每一個(gè)原因都可能導(dǎo)致因，其中每一個(gè)原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故發(fā)生，故B發(fā)生的發(fā)生的概率，是各原因引起它發(fā)生的概率的總和。概率，是各原因引起它發(fā)生的概率的總和。這種這種“已知原因求結(jié)果已知原因求結(jié)果”的問(wèn)題，是全概率公式解

37、決的的問(wèn)題，是全概率公式解決的問(wèn)題。問(wèn)題。 對(duì)每個(gè)要用全概率公式解決的問(wèn)題都可再追問(wèn)對(duì)每個(gè)要用全概率公式解決的問(wèn)題都可再追問(wèn)一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)問(wèn)題：“在這些導(dǎo)致在這些導(dǎo)致B發(fā)生的所有原因中，誰(shuí)是發(fā)生的所有原因中，誰(shuí)是最主要的原因？最主要的原因？” 它所求的是條件概率，是已知某它所求的是條件概率，是已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生可能性的大小。結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生可能性的大小。這類(lèi)這類(lèi)“已知結(jié)果求原因已知結(jié)果求原因” 的問(wèn)題，是貝葉斯公式解的問(wèn)題，是貝葉斯公式解決的問(wèn)題。決的問(wèn)題。49如果事件如果事件12,nA AAL L事件組，事件組，()0 (1, ),iP Ain 且且L L則對(duì)

38、任意一個(gè)事件則對(duì)任意一個(gè)事件 B，有，有構(gòu)成一個(gè)完備構(gòu)成一個(gè)完備( )P B 11() (|)P A P B A22() (|)P A P B A () (|)nnP A P B A 1() (|).niiiP A P B A 501() (|)(|),(1,2, ).() (|)iiinjjjP A P B AP ABinP A P B A L L如果事件如果事件12,nA AAL L件組，件組，則對(duì)任意一個(gè)概率大于零的事件則對(duì)任意一個(gè)概率大于零的事件 B，有，有構(gòu)成一個(gè)完備事構(gòu)成一個(gè)完備事()(|)( )iiP A BP ABP B 1() (|).() (|)iinjjjP A P B

39、AP A P B A ()0 (1, ),iP Ain 且且L L51例例1： 有兩個(gè)口袋，甲袋中盛有兩個(gè)白球，一個(gè)黑有兩個(gè)口袋，甲袋中盛有兩個(gè)白球，一個(gè)黑球，乙袋中盛有一個(gè)白球，兩個(gè)黑球。由甲袋任取球，乙袋中盛有一個(gè)白球，兩個(gè)黑球。由甲袋任取一個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕鲆粋€(gè)球，求最后一個(gè)球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥〕鲆粋€(gè)球，求最后取到白球的概率。取到白球的概率。設(shè)設(shè) A 表示表示“從甲袋中取出一個(gè)白球從甲袋中取出一個(gè)白球”，B 表示表示“從乙袋中取出一個(gè)白球從乙袋中取出一個(gè)白球”，.A則則表表示示“從從甲甲袋袋中中取取出出一一個(gè)個(gè)黑黑球球”所以所求概率為所以所求概率為( )P B2 23 41

40、 13 45.12 ( ) (|)P A P B A ( ) (|)P A P B A 52例例2：假設(shè)：假設(shè) 100 件產(chǎn)品中有件產(chǎn)品中有 5 件是次品，依次作不件是次品，依次作不放回抽取兩件產(chǎn)品，求放回抽取兩件產(chǎn)品，求(1)第二次抽取到次品的概第二次抽取到次品的概率；率；(2)第二次才抽取到次品的概率。第二次才抽取到次品的概率。設(shè)設(shè) A 表示表示“第一次抽取到次品第一次抽取到次品”，B 表示表示“第二第二次抽取到次品次抽取到次品”，(1)第二次抽取到次品的概率為第二次抽取到次品的概率為)(BP)|()()|()(ABPAPABPAP 5100 499 955100 9919.396 (2)

41、第二次才抽取到次品的概率為第二次才抽取到次品的概率為()P AB( ) (|)P A P B A 1,20 95100 599 53例例3：某倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品：某倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品 6 箱，其中有箱，其中有 3 箱，箱，2 箱和箱和 1 箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且三廠的次品率分別為三廠的次品率分別為 1/10，1/15 和和 1/20，現(xiàn)從這，現(xiàn)從這 6 箱任取一箱，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥稳∫患嚽笙淙稳∫幌?，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥稳∫患?，試?(1)取得的一件是次品的概率；取得的一件是次品的概率； (2)若已知若已知取得的一取得的一件是次品，問(wèn)它

42、是丙廠生產(chǎn)的概率為多少？件是次品，問(wèn)它是丙廠生產(chǎn)的概率為多少？，“取取得得的的一一件件是是次次品品”設(shè)設(shè) B廠生產(chǎn)的”，廠生產(chǎn)的”，“取得的一件產(chǎn)品是甲“取得的一件產(chǎn)品是甲 1A廠生產(chǎn)的”，廠生產(chǎn)的”，“取得的一件產(chǎn)品是乙“取得的一件產(chǎn)品是乙 2A廠生產(chǎn)的”，廠生產(chǎn)的”，“取得的一件產(chǎn)品是丙“取得的一件產(chǎn)品是丙 3A組組成成完完備備事事件件組組，顯顯然然，321,AAA54(1)取得的一件是次品的概率為取得的一件是次品的概率為)(BP)|()()|()()|()(332211ABPAPABPAPABPAP 63 101 62 151 61 201 36029 例例3：某倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品：某

43、倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品 6 箱，其中有箱，其中有 3 箱，箱，2 箱和箱和 1 箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且三廠的次品率分別為三廠的次品率分別為 1/10，1/15 和和 1/20，現(xiàn)從這，現(xiàn)從這 6 箱任取一箱，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥稳∫患?，試求箱任取一箱，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥稳∫患?，試?(1)取得的一件是次品的概率；取得的一件是次品的概率； (2)若已知若已知取得的一取得的一件是次品，問(wèn)它是丙廠生產(chǎn)的概率為多少？件是次品，問(wèn)它是丙廠生產(chǎn)的概率為多少？55(2)若已知若已知取得的一件是次品，則它是丙廠生產(chǎn)的取得的一件是次品，則它是丙廠生產(chǎn)的 概率為概率為

44、)|(3BAP3()( )P A BP B 33() (|)( )P A P B AP B 116 2029360 3.29 例例3：某倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品：某倉(cāng)庫(kù)有同樣規(guī)格的產(chǎn)品 6 箱，其中有箱，其中有 3 箱，箱，2 箱和箱和 1 箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且箱依次是由甲、乙、丙三個(gè)廠生產(chǎn)的，且三廠的次品率分別為三廠的次品率分別為 1/10，1/15 和和 1/20，現(xiàn)從這，現(xiàn)從這 6 箱任取一箱，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥稳∫患?，試求箱任取一箱，再?gòu)娜〉玫囊幌渲腥稳∫患?，試?(1)取得的一件是次品的概率；取得的一件是次品的概率； (2)若已知若已知取得的一取得的一件是次品，問(wèn)它是丙廠

45、生產(chǎn)的概率為多少？件是次品，問(wèn)它是丙廠生產(chǎn)的概率為多少？ 從直觀從直觀上講，這很自然。在這種場(chǎng)合可以說(shuō)，上講，這很自然。在這種場(chǎng)合可以說(shuō)，A 與與 B 出現(xiàn)與否有某種出現(xiàn)與否有某種“獨(dú)立性獨(dú)立性”。56 我們知道，在一般情況下我們知道，在一般情況下),()|(BPABP 但在某些情況下，它們是相等的。但在某些情況下，它們是相等的。例如：例如： 一口袋中有一口袋中有8只紅球和只紅球和2只白球，從袋中連只白球，從袋中連續(xù)地取兩次球，每次取一只，然后放回。續(xù)地取兩次球，每次取一只，然后放回。 若若 A 表示表示 “第一次取到白球第一次取到白球”，B 表示表示 “第第二次取到白球二次取到白球”。則。則

46、 21(|)105P B A 這里，這里，A 的發(fā)生不影響的發(fā)生不影響 B 發(fā)生的概率。發(fā)生的概率。).()()(BPAPABP 顯顯然然，此此時(shí)時(shí)有有( ).P B 57設(shè)設(shè) A, B 是兩事件，如果滿足等式是兩事件，如果滿足等式),()()(BPAPABP 則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A, B ，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng) A, B 。設(shè)設(shè) A, B 是兩事件，則有是兩事件，則有(1)()0,P AA B 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，相相互互獨(dú)獨(dú)立立(2)( )0,P BA B 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ;, ;, ;,A BA BA BA B若若四四對(duì)對(duì)事事件件有有一一對(duì)對(duì)相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則另另外外三三對(duì)對(duì)也也是是相相互互

47、獨(dú)獨(dú)立立的的。(|)();P B AP B (|)().P A BP A 58設(shè)設(shè) A, B, C 是三個(gè)事件是三個(gè)事件, 如果滿足下列四個(gè)等式如果滿足下列四個(gè)等式),()()(BPAPABP ),()()(CPBPBCP ),()()(CPAPACP ),()()()(CPBPAPABCP 則稱(chēng)事件則稱(chēng)事件 A, B, C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立. 如果如果 A, B, C 三個(gè)事件僅滿足前面三個(gè)等式三個(gè)事件僅滿足前面三個(gè)等式, 則稱(chēng)則稱(chēng) A, B, C 兩兩獨(dú)立兩兩獨(dú)立.59(1),2A B C若若事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則其其中中任任意意個(gè)個(gè)事事件件也也是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的。(2),3

48、A B C若若事事件件相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則將將其其中中任任意意多多個(gè)個(gè)事事件件換換成成它它們們的的對(duì)對(duì)立立事事件件，所所得得的的個(gè)個(gè)事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立。60例例1：三人獨(dú)立地破譯密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率：三人獨(dú)立地破譯密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率設(shè)設(shè) A, B, C 分別表示三人能單獨(dú)譯出密碼分別表示三人能單獨(dú)譯出密碼, 則則 A, B, C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.此密碼被譯出的概率為此密碼被譯出的概率為)1()P ABCUUUU4 2 315 3 43.5 分別為分別為 求求(1)此密碼被譯出的概率此密碼被譯出的概率; (2)此密碼此密碼,41,31,51恰被一人譯出的概率恰被一人譯出的概率.1()P ABCUUUU1()P ABC1() () ()P A P B P C )(1)(1)(1 1CPBPAP 61例例1：三人獨(dú)立地破譯密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率：三人獨(dú)立地破譯密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率設(shè)設(shè) A, B, C 分別表示三人能單獨(dú)譯出密碼分別表示三人能單獨(dú)譯出密碼, 則則 A, B, C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立.(2) 此此密密碼碼恰恰被被一一人人譯譯出出的的概概率率為為()P ABCABCABCU UU U分別為分別為 求