普通高級(jí)中學(xué)必修選修科目「數(shù)學(xué)」課程綱要(草案)

1、2006年12月06日普通高級(jí)中學(xué)必修選修科目數(shù)學(xué)課程綱要(草案)目標(biāo)理念1. 每?jī)?cè)有一主題，讓學(xué)生能掌握主要脈絡(luò)，建構(gòu)清晰的數(shù)學(xué)概念。2. 學(xué)習(xí)化繁為簡(jiǎn)、以簡(jiǎn)御繁的數(shù)學(xué)思考方法及解題策略。3. 注意歸納思維的訓(xùn)練，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，發(fā)展數(shù)學(xué)建?；灸芰?。4. 以重要的圖形與實(shí)例充實(shí)抽象思維的內(nèi)涵。5. 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)的普遍性與本質(zhì)性。原則1. 要能把握其他學(xué)科所需要的核心題材。2. 要能銜接大學(xué)基礎(chǔ)課程。教材綱要1. 普通高級(jí)中學(xué)必修科目數(shù)學(xué)課程十六學(xué)分。2. 普通高級(jí)中學(xué)選修科目數(shù)學(xué)課程三至八學(xué)分。數(shù)學(xué)I：函數(shù)（4學(xué)分）主題子題內(nèi)容一、數(shù)與式1.數(shù)與數(shù)線(xiàn)1.1 整數(shù)系、輾轉(zhuǎn)相除法

2、1.2 數(shù)線(xiàn)上的有理點(diǎn)及其十進(jìn)位的表示法1.3 實(shí)數(shù)系：實(shí)數(shù)的十進(jìn)位表示法、四則運(yùn)算、絕對(duì)值、大小關(guān)係2.數(shù)線(xiàn)上的幾何2.1 數(shù)線(xiàn)上的兩點(diǎn)距離與分點(diǎn)公式2.2 含絕對(duì)值之一次方程式與不等式3.文字符號(hào)的運(yùn)算3.1 乘法公式與因式分解3.2 分式與根式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)二、多項(xiàng)函數(shù)1.簡(jiǎn)單多項(xiàng)函數(shù)及其圖形1.1 一次函數(shù)、二次函數(shù)、配方法、極值、圖形1.2 單項(xiàng)函數(shù)：奇偶性、單調(diào)性、凹凸性、圖形平移2.多項(xiàng)式的運(yùn)算與應(yīng)用2.1 乘法、除法(含綜合除法)、除法原理(含餘式定理、因式定理)及其應(yīng)用(含多項(xiàng)函數(shù)的求值)2.2 插值多項(xiàng)函數(shù)3.多項(xiàng)方程式3.1 二次方程式的根(含複數(shù)根與複數(shù)的四則運(yùn)算)3.2

3、 有理根判定法、勘根定理、二分逼近法、n次方根3.3 實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)基本定理、虛根成對(duì)定理4.多項(xiàng)函數(shù)的圖形與多項(xiàng)不等式4.1 辨識(shí)已分解的多項(xiàng)函數(shù)圖形及處理其不等式問(wèn)題三、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)1.指數(shù)定律與指數(shù)建模1.1 指數(shù)為整數(shù)、分?jǐn)?shù)與實(shí)數(shù)的指數(shù)定律1.2指數(shù)成長(zhǎng)的問(wèn)題2.指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及其圖形2.1 介紹的函數(shù)圖形、性質(zhì)及其特徵(含單調(diào)性)2.2 介紹函數(shù)圖形、性質(zhì)及特徵(含定義域、對(duì)數(shù)定律、單調(diào)性、凹凸性、算幾不等式)2.3一般底的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與換底公式3.對(duì)數(shù)定律的應(yīng)用3.1 對(duì)數(shù)表、內(nèi)插法與使用計(jì)算器3.2 科學(xué)記號(hào)、首尾數(shù)，處理乘除與次方問(wèn)題3.3 指數(shù)方程式與指數(shù)不等式的應(yīng)用

4、問(wèn)題附錄認(rèn)識(shí)定理的敍述與證明介紹命題、充分條件、必要條件、反證法數(shù)學(xué)II：有限數(shù)學(xué)（4學(xué)分）主題子題內(nèi)容一、數(shù)列與級(jí)數(shù)1.數(shù)列1.1 發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律性1.2 數(shù)學(xué)歸納法2.級(jí)數(shù)2.1 介紹符號(hào)及其基本操作二、排列、組合1.集合與計(jì)數(shù)原理1.1 集合的定義、集合的表示法與操作1.2 基本計(jì)數(shù)原理(含窮舉法、樹(shù)狀圖、一一對(duì)應(yīng)原理)1.3 加法原理、乘法原理、取捨原理2.排列與組合2.1 直線(xiàn)排列、重複排列2.2 組合、重複組合3.二項(xiàng)式定理3.1 以組合概念導(dǎo)出二項(xiàng)式定理3.2 巴斯卡三角三、機(jī)率1.樣本空間與事件1.1 樣本空間與事件2.機(jī)率的定義與性質(zhì)2.1 古典機(jī)率的定義3.條件機(jī)率與貝氏定

5、理3.1 獨(dú)立事件、條件機(jī)率、貝氏定理4.隨機(jī)變數(shù)4.1 期望值、變異數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差5.二項(xiàng)分布5.1 重複試驗(yàn)、二項(xiàng)分布、二項(xiàng)分布之性質(zhì)四、統(tǒng)計(jì)1.數(shù)據(jù)分析1.1 一維數(shù)據(jù)：平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化1.2 二維數(shù)據(jù)：散佈圖、相關(guān)係數(shù)2.抽樣與統(tǒng)計(jì)推論2.1 抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣2.2亂數(shù)表2.3常態(tài)分布、信賴(lài)區(qū)間與信心水準(zhǔn)的解讀附錄最小平方法數(shù)學(xué)III：平面坐標(biāo)與向量（4學(xué)分）主題子題內(nèi)容一、三角1.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)1.1 直角坐標(biāo)、距離公式1.2 三角形的邊角關(guān)係(正弦、餘弦、正切)、平方關(guān)係1.3 廣義角的正弦、餘弦、正切及補(bǔ)角關(guān)係1.4 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換2.正弦、餘弦定理2.1

6、 面積與正弦定理、長(zhǎng)度與餘弦定理、海龍公式3.差角公式3.1 含和角、倍角、半角公式4.三角測(cè)量4.1 查表或使用計(jì)算器4.2 平面與立體測(cè)量二、直線(xiàn)1.直線(xiàn)方程式及其圖形1.1 斜率、點(diǎn)斜式1.2 兩線(xiàn)關(guān)係(垂直、平行、相交)、聯(lián)立方程式2.線(xiàn)性規(guī)劃2.1 二元一次不等式2.2 線(xiàn)性規(guī)劃(目標(biāo)函數(shù)為一次式)三、平面向量1.平面向量的表示法1.1 幾何表示、坐標(biāo)表示，加減法、係數(shù)乘法1.2 線(xiàn)性組合、平面上的直線(xiàn)參數(shù)式2.平面向量的內(nèi)積2.1 內(nèi)積與餘弦的關(guān)聯(lián)、正射影與高、柯西不等式2.2直線(xiàn)的法線(xiàn)式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、兩向量垂直的判定3.面積與二階行列式3.1 面積公式與二階行列式的定義與性質(zhì)

7、、兩向量平行的判定3.2 兩直線(xiàn)幾何關(guān)係的代數(shù)判定、二階克拉瑪公式數(shù)學(xué)IV：線(xiàn)性代數(shù)（4學(xué)分）主題子題內(nèi)容一、空間向量1.空間概念1.1 空間中兩直線(xiàn)、兩平面、及直線(xiàn)與平面的位置關(guān)係2.空間向量的坐標(biāo)表示法2.1空間坐標(biāo)系：點(diǎn)坐標(biāo)、距離公式2.2 空間向量的加減法、係數(shù)乘法，線(xiàn)性組合、直線(xiàn)與平面的參數(shù)式3.空間向量的內(nèi)積3.1 內(nèi)積與餘弦的關(guān)聯(lián)、正射影與高、柯西不等式、兩向量垂直的判定4. 外積、體積與行列式4.1外積與正弦的關(guān)聯(lián)、兩向量所張出之平行四邊形面積4.2三向量所張出之平行六面體體積、三階行列式的定義5. 平面方程式5.1平面的法線(xiàn)式、兩平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離6. 空間直線(xiàn)方程式

8、6.1 含直線(xiàn)的參數(shù)式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、兩平行線(xiàn)的距離、兩歪斜線(xiàn)的距離7. 三元一次聯(lián)立方程組7.1加減消去法、代入消去法7.2 三平面幾何關(guān)係的代數(shù)判定二、矩陣1.線(xiàn)性方程組與矩陣1.1高斯消去法2.矩陣的運(yùn)算2.1 矩陣的加法、純量乘法、乘法3.平面上的線(xiàn)性映射與二階方陣3.1 線(xiàn)性映射的面積比3.2 二階反方陣4.矩陣的應(yīng)用4.1 轉(zhuǎn)移矩陣三、二次曲線(xiàn)1. 圓與直線(xiàn)的關(guān)係1.1 圓的方程式1.2 圓與直線(xiàn)的相切、相割、不相交的關(guān)係及其代數(shù)判定2. 橢圓、雙曲、拋物線(xiàn)2.1 橢圓、雙曲、拋物線(xiàn)之標(biāo)準(zhǔn)式3. 坐標(biāo)變換3.1 平移：平面上的點(diǎn)、二次曲線(xiàn)在不同的平行坐標(biāo)系之表現(xiàn)3.2 配方、平移

9、及其幾何應(yīng)用3.3 伸縮：中心在原點(diǎn)的二次曲線(xiàn)之伸縮及所導(dǎo)出的二次曲線(xiàn)系數(shù)學(xué)V：解析幾何初步（3-4學(xué)分）主題子題內(nèi)容一、三角函數(shù)1.一般三角函數(shù)的性質(zhì)與圖形1.1 弧度1.2 三角函數(shù)的定義域、值域、週期性質(zhì)與圖形1.3倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係、平方關(guān)係2.三角函數(shù)的應(yīng)用2.1波動(dòng): 正餘弦的疊合，三角函數(shù)之合成，如，A為振幅、為相角2.2 橢圓的參數(shù)式*3. 反三角函數(shù)及其圖形3.1 反三角函數(shù)的定義域與值域（只談?wù)?、餘弦、正切）4. 複數(shù)的極式4.1介紹複數(shù)平面、向徑、輻角與複數(shù)的極式、複數(shù)乘法的幾何意義4.2 棣美弗定理，複數(shù)的n次方根二、極限與函數(shù)1.數(shù)列及其極限1.1 數(shù)列的極限及極限

10、的性質(zhì)1.2 無(wú)窮等比級(jí)數(shù)、循環(huán)小數(shù)2.函數(shù)的概念2.1 函數(shù)的定義域與值域、四則運(yùn)算、合成函數(shù)2.2 函數(shù)的例子及其圖形*3.函數(shù)的極限3.1 函數(shù)的極限3.2 連續(xù)函數(shù)、中間值定理註：有*符號(hào)者: 指定考科之?dāng)?shù)乙不考數(shù)學(xué)VI：微積分初步（4學(xué)分）主題子題內(nèi)容一、微分1.導(dǎo)數(shù)與切線(xiàn)1.1 舉應(yīng)用實(shí)例2.微分的操作2.1 微分的四則運(yùn)算2.2 多項(xiàng)函數(shù)之微分3.函數(shù)性質(zhì)之判定3.1 平均值定理、上升、下降、函數(shù)極值之一階檢定法3.2 低次多項(xiàng)式之繪圖4.微分學(xué)的應(yīng)用4.1 極值問(wèn)題4.2 一階逼近法4.3 牛頓求根法二、積分1.積分的定義1.1 黎曼和2.微積分基本定理2.1 微積分基本定理在

11、面積與高、距離與速度的意涵3.定積分與不定積分的計(jì)算3.1 只含多項(xiàng)式之積分 (不涉及分部積分與變數(shù)變換法)4.積分的應(yīng)用4.1以求圓面積、球體體積、角錐體體積、自由落體運(yùn)動(dòng)方程式、作功為主註1：指定考科數(shù)乙不考數(shù)學(xué)VI註2：對(duì)程度好的學(xué)生各校課程委員會(huì)可規(guī)劃一年期完整的單變量微積分(3,3)取代數(shù)學(xué)VI. 但指定考科之?dāng)?shù)甲微積分部分只考數(shù)學(xué)VI之範(fàn)圍.實(shí)施辦法一 教材編寫(xiě)二 教學(xué)進(jìn)度1. 各?？膳浜蠈W(xué)生學(xué)習(xí)情況，彈性調(diào)整學(xué)習(xí)進(jìn)度三 評(píng)量1. 學(xué)力測(cè)驗(yàn)範(fàn)圍：數(shù)學(xué)至2. 數(shù)學(xué)乙範(fàn)圍：數(shù)學(xué)至（不含*部分）3. 數(shù)學(xué)甲範(fàn)圍：數(shù)學(xué)至附錄一：綱要內(nèi)容說(shuō)明數(shù)學(xué)：函數(shù)函數(shù)是表現(xiàn)兩量關(guān)係的數(shù)學(xué)符號(hào)，是作為數(shù)學(xué)

12、與具體世界連結(jié)的媒介。近年來(lái)，由於許多學(xué)科的數(shù)量化與數(shù)學(xué)化的需求，使得各國(guó)的高中數(shù)學(xué)教育特別重視函數(shù)這個(gè)主題及其應(yīng)用，在先進(jìn)國(guó)家，函數(shù)的學(xué)習(xí)還輔以電腦繪圖，以建立學(xué)生函數(shù)與圖形的直觀(guān)連結(jié)。本次課綱修訂，也因應(yīng)世界潮流，加強(qiáng)函數(shù)這個(gè)主題。在高中階段，學(xué)生要學(xué)習(xí)基本函數(shù)（多項(xiàng)函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的基本操作、性質(zhì)、圖形及應(yīng)用。一、數(shù)與式在第一章的數(shù)與式中，先複習(xí)整數(shù)系與有理數(shù)系，並作適度的延伸，整數(shù)的延伸為介紹輾轉(zhuǎn)相除法，但不探討整數(shù)論的題材，有理數(shù)的延伸為介紹循環(huán)小數(shù)，但循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)的題材，則留待極限的章節(jié)再討論。藉由有理數(shù)的十進(jìn)位表示法，導(dǎo)入介紹實(shí)數(shù)的十進(jìn)位直觀(guān)表示法（此處不涉及實(shí)數(shù)

13、的連續(xù)性觀(guān)念），並將實(shí)數(shù)與數(shù)線(xiàn)作連結(jié)。由數(shù)線(xiàn)上的方程式複習(xí)變數(shù)的觀(guān)念，並進(jìn)行文字符號(hào)的形式運(yùn)算，包括展開(kāi)、分解與化簡(jiǎn)，以與國(guó)中課程連結(jié)，並作為學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)。實(shí)數(shù)系的形式運(yùn)算是數(shù)的至精至簡(jiǎn)的表現(xiàn)。二、多項(xiàng)函數(shù)最基本的函數(shù)是多項(xiàng)函數(shù)，它是由變數(shù)與係數(shù)經(jīng)加法與乘法所組合而成。在第二章多項(xiàng)函數(shù)裡，首先複習(xí)函數(shù)的定義以及一次與二次函數(shù)，作為與國(guó)中課程的銜接。在二次函數(shù)裡，學(xué)生要複習(xí)配方法、平移、極值、判別式、正定性，能繪圖並能應(yīng)用。在單項(xiàng)函數(shù)中，學(xué)生要能繪圖、瞭解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，直觀(guān)認(rèn)識(shí)凹凸性，並作函數(shù)圖形的平移。在一般多項(xiàng)式的應(yīng)用，我們提出兩個(gè)課題，一是多項(xiàng)式的求值，一是插值多項(xiàng)式。原則上多項(xiàng)

14、式可以透過(guò)四則運(yùn)算求值，也因?yàn)槿绱?，多?xiàng)式被用來(lái)逼近一般函數(shù)，並用來(lái)求一般函數(shù)的近似值。另外，多項(xiàng)式也被用來(lái)作為插值的工具。插值方法很重要，它可以以少量的數(shù)據(jù)表現(xiàn)大量資訊，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的效率性。除法是處理多項(xiàng)式的核心方法。一般多項(xiàng)式透過(guò)與低次多項(xiàng)式的相比（即相除），可得多項(xiàng)式的不同表現(xiàn)，並可用來(lái)求值。比如將多項(xiàng)式除以，可得；連續(xù)除以可得的冪方展開(kāi)式，它可用來(lái)求在附近的近似值。又如將分別除以，得餘式，可用來(lái)表現(xiàn)通過(guò)，的插值多項(xiàng)式。這種將一般多項(xiàng)式與低次多項(xiàng)式相比的方法是數(shù)學(xué)思維中以簡(jiǎn)御繁的一個(gè)典型例子。在多項(xiàng)方程式的除法課題裡，具體多項(xiàng)式仍不宜超過(guò)五次，重要是學(xué)會(huì)除法的精神。餘式定理與因式定理是除法

15、原理的推論。因式定理可用來(lái)証明插值多項(xiàng)式的唯一性。拉格朗日插值公式是多項(xiàng)式的另一表現(xiàn)法，可方便求插值。學(xué)生學(xué)到一階、二階的拉格朗日插值即可，以避免繁瑣的計(jì)算。多項(xiàng)方程式的課題是要求多項(xiàng)式的實(shí)根。首先處理二次方程式的求根問(wèn)題，包括判別式、根的公式解、根與係數(shù)關(guān)係，以及它們的應(yīng)用。在二次方程式的複數(shù)根裡，介紹複數(shù)的四則運(yùn)算、共軛複數(shù)以及二次方程式的共軛複數(shù)根（虛根成對(duì)），但不涉及複數(shù)平面以及複數(shù)的幾何意涵，此段內(nèi)容留待三角函數(shù)時(shí)再處理。二次以上的整係數(shù)多項(xiàng)式可用簡(jiǎn)單的因式分解（如平方差、立方和、立方差）或牛頓定理求有理根。但此部份的多項(xiàng)式不宜太高次，內(nèi)容也不宜太強(qiáng)調(diào)，以免學(xué)生誤會(huì)實(shí)係數(shù)的多項(xiàng)方程的

16、根都是有理數(shù)。一般多項(xiàng)式的主要求實(shí)根的辦法是勘根定理，此處重點(diǎn)以低次多項(xiàng)式與次方根為主。最後談一般實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式的虛根成對(duì)定理，並介紹一般實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式可分解為一次式與二次式乘積的代數(shù)基本定理。多項(xiàng)函數(shù)的圖形與多項(xiàng)不等式的重點(diǎn)主要是讓學(xué)生辨識(shí)到已分解的多項(xiàng)函數(shù)的圖形特徵（包括零根位置、重根的意涵、函數(shù)值的正負(fù)）。圖形可在書(shū)上呈現(xiàn)，或以電腦繪圖展示。三、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)生活周遭與自然界中有許多呈指數(shù)成長(zhǎng)或衰退的現(xiàn)象，如人口成長(zhǎng)、細(xì)胞分裂、放射性元素衰變、藥物代謝、複利等。透過(guò)這些實(shí)例引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)以指數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，認(rèn)識(shí)等比數(shù)列、等比級(jí)數(shù)以及指數(shù)方程式的問(wèn)題，以引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的動(dòng)機(jī)。在指數(shù)建

17、模之前需先介紹指數(shù)定律、根式運(yùn)算。為解決上述指數(shù)方程式的問(wèn)題，介紹以十為底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)，包括定義域與值域、單調(diào)性、凹凸性(此處僅作割弦在函數(shù)圖形下方的直觀(guān)介紹，不涉及凹凸性的嚴(yán)格定義)。對(duì)數(shù)定律是處理指數(shù)方程式的核心方法。對(duì)數(shù)定律包括，。它將乘除問(wèn)題化為加減問(wèn)題，次方問(wèn)題化為乘除問(wèn)題。在介紹對(duì)數(shù)定律時(shí)，不要列出太多衍生的公式，以免打亂了上述化簡(jiǎn)的核心思想。對(duì)數(shù)定律的應(yīng)用包括處理大、小數(shù)的乘除與次方問(wèn)題、指數(shù)方程式的應(yīng)用問(wèn)題、指數(shù)不等式的應(yīng)用問(wèn)題，以及認(rèn)識(shí)一般算幾不等式。無(wú)應(yīng)用意義的指數(shù)、對(duì)數(shù)方程式與不等式應(yīng)予刪除。關(guān)於一般底的對(duì)數(shù)函數(shù)，僅需介紹等價(jià)於，以及的換底公式，也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的換

18、底只是在軸上的伸縮。傳統(tǒng)上換底公式常製造出許多難題，並無(wú)實(shí)用的意義，這類(lèi)題材應(yīng)予刪除。數(shù)學(xué)II：有限數(shù)學(xué)二十世紀(jì)以計(jì)算機(jī)的發(fā)明，提供人類(lèi)有力工具處理大量數(shù)據(jù)，促使許多學(xué)門(mén)進(jìn)行數(shù)量化與數(shù)學(xué)化的革命，計(jì)算機(jī)科學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)也因運(yùn)而生。有限數(shù)學(xué)是相關(guān)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的統(tǒng)稱(chēng)，包括離散數(shù)學(xué)（數(shù)列與級(jí)數(shù)、排列組合）、離散的古典機(jī)率論，以及簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)。雖然有限數(shù)學(xué)的課題上仍是古典的內(nèi)容，但因應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，應(yīng)有新的視角，特別應(yīng)強(qiáng)調(diào)它的實(shí)用內(nèi)涵，而不要鑽研到人工化的難題。一、數(shù)列與級(jí)數(shù)數(shù)列與級(jí)數(shù)的章節(jié)是作為有限數(shù)學(xué)的先備知識(shí)。此處主要是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律性，歸納成公式，並用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。核心的公式包括一階遞迴關(guān)係

19、與二項(xiàng)式展開(kāi)的二變?cè)f迴關(guān)係。級(jí)數(shù)部分包括基本的求和公式（如等比級(jí)數(shù)與多項(xiàng)式求和公式）與符號(hào)的操作。二、排列、組合排列組合以及計(jì)數(shù)的問(wèn)題，最基本的公式通常並不複雜，學(xué)生學(xué)習(xí)的困難常在於無(wú)法把文字?jǐn)⑹龅念}目，適當(dāng)?shù)胤g與對(duì)應(yīng)到該用的公式，同時(shí)應(yīng)該強(qiáng)調(diào)分辨計(jì)數(shù)對(duì)象是什麼的重要性，也就是要分清楚什麼跟什麼是不同的物件。排列組合的題材應(yīng)盡量與機(jī)率統(tǒng)計(jì)的題材相互呼應(yīng)，不相應(yīng)的內(nèi)容宜避免，以往教材中的難題應(yīng)刪除。三、機(jī)率對(duì)於機(jī)率與統(tǒng)計(jì)，主要讓學(xué)生了解隨機(jī)的本質(zhì)，並能學(xué)到估計(jì)的概念，而不只是學(xué)到數(shù)學(xué)的計(jì)算。各種概念產(chǎn)生的背後原因，如機(jī)率的性質(zhì)，期望值及變異數(shù)、信賴(lài)區(qū)間等，更應(yīng)闡釋清楚。四、統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)III：坐

20、標(biāo)與向量幾何坐標(biāo)幾何是透過(guò)直角坐標(biāo)系的架設(shè)，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，透過(guò)代數(shù)的形式運(yùn)算解決幾何問(wèn)題。本冊(cè)的架構(gòu)是先談在垂直與平行概念下的直線(xiàn)及其應(yīng)用，再來(lái)談三角與三角測(cè)量。有了三角的基礎(chǔ)後，可以進(jìn)入具角度概念下的向量幾何，透過(guò)向量的運(yùn)算，處理幾何中長(zhǎng)度角度面積等問(wèn)題。一、直線(xiàn)本章探討在垂直與平行的概念下的直線(xiàn)方程式及其應(yīng)用。直線(xiàn)的型式主要談點(diǎn)斜式，其他型式如斜截式、兩點(diǎn)式等不需另立名稱(chēng)，可再應(yīng)用時(shí)才推導(dǎo)，不要讓學(xué)生背太多公式，而是要讓他們多練習(xí)推演。在兩線(xiàn)關(guān)係中，先談平行與垂直關(guān)係，如過(guò)一點(diǎn)垂直或平行於另一給定直線(xiàn)的直線(xiàn)方程式。其次談兩聯(lián)立方程式的幾何意涵（相交、平行），以及一些幾何與物理的應(yīng)用，如

21、外心、反射、鏡射等問(wèn)題。在線(xiàn)性規(guī)劃這一節(jié)裡，將直線(xiàn)與具體世界做連結(jié)，可使學(xué)生體認(rèn)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性與普遍性。二、三角本章探討三角形的邊角關(guān)係及其應(yīng)用。角度的概念由直角三角形與極坐標(biāo)切入，並連結(jié)到直角坐標(biāo)系。在極坐標(biāo)下，廣義角度只需談360的範(fàn)圍，向徑在r的範(fàn)圍即可。三角形的邊角關(guān)係先介紹銳角的正弦、餘弦與正切。對(duì)廣義角三角函數(shù)的求值是透過(guò)參考角與補(bǔ)角關(guān)係來(lái)處理。學(xué)生透過(guò)特殊角的三角函數(shù)的求值，熟悉直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換。三角的核心內(nèi)容為正弦與餘弦定理。正弦定理由面積公式推得，在向量幾何時(shí)，它發(fā)展成外積公式。餘弦定理由距離公式推得，差角公式與其為等價(jià)公式，在向量幾何時(shí)它發(fā)展成內(nèi)積的公式。餘弦定理、差

22、角公式、內(nèi)積可用直角坐標(biāo)方法統(tǒng)一處理。海龍公式則為正弦與餘弦定理結(jié)合的應(yīng)用。差角公式是計(jì)算兩線(xiàn)或兩向量交角的核心公式，其衍生公式如和角、倍角、半角公式，可用於三角函數(shù)的求值與三角測(cè)量。和差化積與積化和差的題材因涉及不同週期的三角函數(shù)的疊合，不需在高中時(shí)處理，此題材應(yīng)予刪除。最後透過(guò)平面與立體的三角測(cè)量，讓學(xué)生學(xué)會(huì)三角的應(yīng)用。三角測(cè)量應(yīng)注意測(cè)量的策略與實(shí)用性，不宜出不可行或太困難的問(wèn)題。三、平面向量向量在物理上是用來(lái)表現(xiàn)力與速度，它是只有長(zhǎng)度、方向意涵而不管起始點(diǎn)的抽象符號(hào)。由幾何角度而言，用坐標(biāo)幾何探討幾何性質(zhì)時(shí)，應(yīng)與所架設(shè)的坐標(biāo)系的原點(diǎn)所在無(wú)關(guān)，這正符合向量是不管起始點(diǎn)的概念，因此向量成為探

23、討平面幾何自然且精簡(jiǎn)的語(yǔ)言。向量概念與運(yùn)算要將其有向線(xiàn)段的意涵與位置向量的坐標(biāo)意涵做緊密的結(jié)合。位置向量所形成的向量空間（空間）具代數(shù)運(yùn)算的結(jié)構(gòu)，即線(xiàn)性組合、內(nèi)積、外積，它就如同實(shí)數(shù)系般，是向量至精至簡(jiǎn)的表現(xiàn)，可將幾何問(wèn)題代數(shù)化，也可將線(xiàn)性方程組問(wèn)題賦予幾何意涵，是學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)、多變量微積分、向量分析、多變量統(tǒng)計(jì)分析的基礎(chǔ)。因此，位置向量的線(xiàn)性組合、內(nèi)積與外積是本章的重點(diǎn)。而純粹以有向線(xiàn)段（沒(méi)有坐標(biāo)表現(xiàn)的向量）所推導(dǎo)平面幾何性質(zhì)的題材應(yīng)予減少。向量的線(xiàn)性組合題材包括向量的合成與分解，向量的分解應(yīng)與二元一次聯(lián)立方程組相結(jié)合。平面上的點(diǎn)可由兩不平行向量的線(xiàn)性組合來(lái)表現(xiàn)，可用來(lái)作特殊點(diǎn)的定位

24、，如重心、外心，但傳統(tǒng)的分點(diǎn)公式不宜過(guò)度延伸。平面上的直線(xiàn)可由兩向量以帶參數(shù)的線(xiàn)性組合方式表現(xiàn)，可用來(lái)刻劃直線(xiàn)上的運(yùn)動(dòng)。內(nèi)積與外積是在直角坐標(biāo)系下，兩單位向量所夾角的餘弦與正弦的表現(xiàn)。事實(shí)上，經(jīng)由餘弦定理可得，經(jīng)由正弦定理可得。這兩個(gè)公式是向量幾何的核心公式。左端是具幾何表現(xiàn)的投影與高，右端展現(xiàn)代數(shù)的雙線(xiàn)性、對(duì)稱(chēng)性與反對(duì)稱(chēng)性。內(nèi)積的應(yīng)用包括兩向量的直交化（將向量分解成對(duì)另一向量平行與垂直的兩個(gè)分量）、直線(xiàn)的法線(xiàn)式、點(diǎn)與直線(xiàn)的距離、直線(xiàn)與圓的關(guān)係(柯西不等式的應(yīng)用)、兩直線(xiàn)的夾角、兩直線(xiàn)垂直的判定等。傳統(tǒng)柯西不等式的應(yīng)用不宜過(guò)度延伸。外積的應(yīng)用包括面積的計(jì)算與兩直線(xiàn)平行的判定。二階行列式（即外積

25、）應(yīng)與二元一次聯(lián)立方程組連結(jié)。二元一次聯(lián)立方程組有兩個(gè)意涵，即兩直線(xiàn)關(guān)係與線(xiàn)性組合。其有解的判定為行列式不等於0，分別代表兩直線(xiàn)不平行，或兩行向量、不平行，其公式解為克拉瑪公式。數(shù)學(xué)IV：線(xiàn)性代數(shù)一、空間向量首先介紹空間中的線(xiàn)、面及其相互關(guān)係，如垂直、平行、相交。其次介紹直角坐標(biāo)系以及距離公式。距離公式是三維空間的畢氏定理，是空間幾何的基石?？臻g向量的舖陳與平面向量大致相同，包括線(xiàn)性組合、內(nèi)積與外積，以及三元一次聯(lián)立方程組的應(yīng)用?？臻g向量的線(xiàn)性組合包括特殊點(diǎn)的定位、直線(xiàn)與平面的參數(shù)式?？臻g中兩向量的內(nèi)積是其夾角的餘弦在直角坐標(biāo)系下的表現(xiàn)，具雙線(xiàn)性與交換性。內(nèi)積的應(yīng)用包括兩向量的直交化（正射影、

26、高、柯西不等式）、平面的法線(xiàn)式、兩平面的夾角、點(diǎn)與面的距離、以及兩向量垂直的判定?？臻g中兩向量的外積是其夾角的正弦以及公垂向量在直角坐標(biāo)系下的表現(xiàn)。外積性質(zhì)有雙線(xiàn)性與反對(duì)稱(chēng)性，外積的主要應(yīng)用包括，計(jì)算兩向量所張出之平行四邊形的面積、求兩向量所張出的平面方程式、求兩歪斜線(xiàn)的距離。體積是空間幾何的另一主題。在介紹體積時(shí)，要先說(shuō)明平行六面體的體積公式為底面積乘以高。再來(lái)介紹三階行列式的體積公式。行列式要三元一次聯(lián)立方程組的幾何意涵相結(jié)合，即行列式不等於0對(duì)應(yīng)於三平面交於一點(diǎn)，或三行向量所形成的平行六面體體積不為0。二、矩陣矩陣是線(xiàn)性代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、多變量微積分、多變量統(tǒng)計(jì)分析的基本工具，對(duì)自然科學(xué)與

27、社會(huì)科學(xué)的學(xué)生都需要。矩陣的介紹可由線(xiàn)性方程組切入，介紹高斯消去法，並配合實(shí)用的例子。其次介紹一般矩陣的加法、純量乘法、乘法。矩陣的應(yīng)用介紹轉(zhuǎn)移矩陣。最後介紹二階方陣的線(xiàn)性映射意涵與二階反方陣，此部分的學(xué)習(xí)應(yīng)與線(xiàn)性組合相連結(jié)。三、二次曲線(xiàn)平面解析幾何處理平面上的一般曲線(xiàn)，最簡(jiǎn)單的曲線(xiàn)是二次曲線(xiàn)。在此章介紹圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)式，以及相對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)、長(zhǎng)短軸、準(zhǔn)線(xiàn)、漸近線(xiàn)。雙曲線(xiàn)部份包括與的兩種形式。在二次曲線(xiàn)與直線(xiàn)的關(guān)係中，僅討論圓的情況，也不探討圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，此部份留待大學(xué)時(shí)再處理。數(shù)學(xué)V：解析幾何初步一、三角函數(shù)在三角函數(shù)裡首先介紹弧度的觀(guān)念，並介紹定義在單位圓上的三角函數(shù)及其

28、周期性質(zhì)。討論它們的倒數(shù)關(guān)係、商數(shù)關(guān)係、平方關(guān)係，但三角恆等式不宜過(guò)度操作。三角函數(shù)的應(yīng)用包括橢圓的參數(shù)式及其應(yīng)用，波動(dòng)現(xiàn)象的刻劃，如正餘弦函數(shù)的疊合。二、極限與函數(shù)數(shù)學(xué)VI：微積分初步一、微分二、積分的計(jì)算與應(yīng)用附錄二：綱要說(shuō)明範(fàn)例數(shù)學(xué)I：函數(shù)一、數(shù)與數(shù)線(xiàn)1.數(shù)與數(shù)線(xiàn)1.1數(shù)線(xiàn)上的有理點(diǎn)及其十進(jìn)位的表示法透過(guò)有理數(shù)的相除意涵，認(rèn)識(shí)有理數(shù)可以用有限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)來(lái)表示，此處讓學(xué)生操作分母為一位數(shù)的有理數(shù)即可。1.2實(shí)數(shù)系：實(shí)數(shù)的十進(jìn)位表示法、四則運(yùn)算、絕對(duì)值、大小關(guān)係實(shí)數(shù)與數(shù)線(xiàn)上的點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)，透過(guò)不斷地十等分的細(xì)分，直觀(guān)介紹實(shí)數(shù)可用有限或無(wú)限小數(shù)表示。l 可表為無(wú)限小數(shù)l 定義絕對(duì)值l 根數(shù)

29、的運(yùn)算與化簡(jiǎn)：如ll 算幾不等式2. 數(shù)線(xiàn)上的幾何：2.1 數(shù)線(xiàn)上兩點(diǎn)距離與分點(diǎn)公式如能算出介於之間且與距離之比為2:3之點(diǎn)。2.2 含絕對(duì)值的一次方程式與不等式l 且之解的範(fàn)圍為012345x3. 文字、符號(hào)的運(yùn)算對(duì)文字符號(hào)所組成的代數(shù)式能進(jìn)行展開(kāi)、分解及化簡(jiǎn)等形式運(yùn)算。3.1 乘法公式與因式分解（立方和、立方差）l 、的展開(kāi)式與逆運(yùn)算3.2 分式與根式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)l 能化簡(jiǎn)繁分式與根式，如：、二、多項(xiàng)函數(shù)1.簡(jiǎn)單多項(xiàng)函數(shù)及其圖形1.1複習(xí)一次、二次函數(shù)、配方法、圖形、極值、判別式、正定性、應(yīng)用實(shí)例l 之之幾何意涵l 正定性：判斷恆為正l 極值問(wèn)題的應(yīng)用1.2單項(xiàng)函數(shù)之奇偶性、單調(diào)性、凹凸性

30、、圖形平移l 瞭解函數(shù)，在的行為 l 型如, 為正整數(shù)的函數(shù)之奇偶性、單調(diào)性、凹凸性，其中凹凸性?xún)H作直觀(guān)的介紹，如：在為凸，在時(shí)為凹，不涉及凹凸性的嚴(yán)格定義。l 瞭解c的正負(fù)、大小與函數(shù)圖形的關(guān)係 l 能畫(huà)出之圖形2.多項(xiàng)式的運(yùn)算與應(yīng)用2.1乘法、除法（含綜合除法）、除法原理(含餘式定理、因式定理)及其應(yīng)用(含多項(xiàng)函數(shù)的求值) l ，n = 2,3,4l 除法中除式為一次或二次式l 透過(guò)連續(xù)的多項(xiàng)式綜合除法，求中的與求之二位小數(shù)近似值。2.2插值多項(xiàng)函數(shù)：透過(guò)因式定理證明插值多項(xiàng)式的唯一性l 設(shè)通過(guò)之多項(xiàng)式為，求及l(fā) 插值多項(xiàng)式：通過(guò)之多項(xiàng)式可表示為，求之值。3.多項(xiàng)方程式3.1二次方程式的根

31、(含複數(shù)根)：判別式、公式解、複數(shù)的引進(jìn)（不引進(jìn)複數(shù)平面與複數(shù)的幾何意涵）、複數(shù)的四則運(yùn)算、共軛複數(shù)、根與係數(shù)關(guān)係ll 根與係數(shù)關(guān)係：設(shè)之二根為與，求、3.2有理根判定法、勘根定理、二分逼近法、n次方根本節(jié)談?wù)摰氖且话銓?shí)係數(shù)之多項(xiàng)式，整係數(shù)多項(xiàng)式之因式分解不必太過(guò)強(qiáng)調(diào)，以免學(xué)生誤會(huì)實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式的根都是有理根。l 四次以下多項(xiàng)式的因式分解(應(yīng)以能用到第一章的乘法公式為限)l 勘根定理：的實(shí)根、的求解3.3實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式的代數(shù)基本定理、虛根成對(duì)定理l 證明虛根成對(duì)定理，並告知實(shí)係數(shù)多項(xiàng)式可分解為一次式與二次式的乘積： 其中二次式為質(zhì)式。l 利用除法求在之值4. 多項(xiàng)函數(shù)的圖形與多項(xiàng)不等式4.1 辨識(shí)

32、已分解的多項(xiàng)函數(shù)圖形及處理其不等式問(wèn)題只談低次或已分解的多項(xiàng)不等式問(wèn)題，並能辨識(shí)函數(shù)圖形特徵（根的位置、重根、函數(shù)值正負(fù)的區(qū)間，重根不超過(guò)三次），儘量透過(guò)電腦繪圖協(xié)助學(xué)生建立圖形與函數(shù)的連結(jié)。l 、l 、三、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)1.指數(shù)定律與指數(shù)建模1.1 指數(shù)為整數(shù)、分?jǐn)?shù)與實(shí)數(shù)的指數(shù)定律l n次根數(shù)的操作l 指數(shù)為分?jǐn)?shù)的指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1.2指數(shù)建模問(wèn)題l 複利、人口成長(zhǎng)、細(xì)胞分裂、放射元素衰變、藥物代謝、貸款等問(wèn)題l 等比數(shù)列、等比級(jí)數(shù)2.指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及其圖形2.1介紹的函數(shù)圖形、性質(zhì)及其特徵(單調(diào)性)2.2介紹函數(shù)圖形、性質(zhì)及特徵(含定義域、對(duì)數(shù)定律、單調(diào)性、凹凸性、算幾不等式)l 算幾不等

33、式等價(jià)於，等式成立於l 一般算幾不等式等價(jià)於，此處凹凸性?xún)H作割弦在函數(shù)圖形下方的直觀(guān)介紹，不涉及凹凸性的嚴(yán)格定義。2.3一般底的指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與換底公式l 等價(jià)於l ，也就是指數(shù)函數(shù)的換底不過(guò)是定義域上的伸縮；對(duì)數(shù)函數(shù)的換底則是在值域上的伸縮。3.對(duì)數(shù)定律的應(yīng)用3.1 對(duì)數(shù)表、內(nèi)插法與使用計(jì)算器3.2科學(xué)記號(hào)、首尾數(shù)，處理乘除與次方問(wèn)題3.3指數(shù)方程式與指數(shù)不等式的應(yīng)用問(wèn)題，如複利、人口成長(zhǎng)、細(xì)胞分裂、放射元素衰變、藥物代謝、貸款等問(wèn)題。數(shù)學(xué)II：有限數(shù)學(xué)一、數(shù)列與級(jí)數(shù)1.數(shù)列1.1發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律性l 一階遞迴關(guān)係由具體實(shí)例讓學(xué)生由前數(shù)項(xiàng)推測(cè)下一項(xiàng)，並歸納出遞迴關(guān)係，如、1.2數(shù)學(xué)歸納法2.

34、級(jí)數(shù)2.1 介紹符號(hào)及其基本操作l 展開(kāi)式與形式的互換l 的性質(zhì)，l 換指標(biāo)l 歸納出、之公式，並用數(shù)學(xué)歸納法證明。二、排列、組合IV.2.1 集合IV.2.1.1 集合的定義、集合的表示法、集合元素的計(jì)數(shù)（應(yīng)介紹符號(hào) |S|，用以表示一個(gè)集合S的元素個(gè)數(shù)）。IV.2.1.2 窮舉法，樹(shù)狀圖：原始的計(jì)數(shù)仍然出自窮舉法，但可使用樹(shù)狀圖幫助組織資料，以達(dá)成計(jì)數(shù)目的。例：電腦裡的檔案通常依照樹(shù)狀結(jié)構(gòu)組織起來(lái)，例如（括弧中數(shù)字表示檔案?jìng)€(gè)數(shù)）：我的電腦文件檔 課業(yè)檔 圖畫(huà)檔 遊戲檔函件 文章 數(shù)學(xué) 理化 英文 圖片 動(dòng)畫(huà) 電影 益智 動(dòng)作(10) (8) (3) (5) (7) (21) (4) (1)

35、 (3) (6)所以總共有 10+8+3+5+7+21+4+1+3+6 = 68 個(gè)檔案。IV.2.1.3 一一對(duì)應(yīng)原理：在兩集合之間如果能建立一一對(duì)應(yīng)，則兩集合的元素?cái)?shù)相等。例：有51個(gè)人參加網(wǎng)球單淘汰賽，就是說(shuō)任何一位選手只要輸一場(chǎng)，就被淘汰出局。並且每一場(chǎng)比賽都一定有一位得勝，不允許有和局。在每一輪比賽中，將選手盡可能地配對(duì)相比。如果有奇數(shù)位選手，則暫時(shí)剩下一位。只要比賽進(jìn)行足夠多次，最後就會(huì)有一位冠軍出現(xiàn)。請(qǐng)問(wèn)總共要比賽幾場(chǎng)，才能產(chǎn)生冠軍？因?yàn)?1不算是太大的數(shù)目，當(dāng)然可以使用直接安排比賽程序得出答案。但是更能看出問(wèn)題核心的辦法，是觀(guān)察出下面的一一對(duì)應(yīng)。因?yàn)槊恳粓?chǎng)比賽會(huì)產(chǎn)生唯一的失敗者

36、，而且每位選手如果會(huì)失敗，也只會(huì)失敗一次，所以比賽的場(chǎng)次與失敗者之間有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)比賽場(chǎng)數(shù)等於失敗者人數(shù)。因?yàn)樽钺嶂挥泄谲娨粋€(gè)人從來(lái)不曾失敗，所以一共剛好比賽50場(chǎng)。IV.2.2 計(jì)數(shù)原理：加法原理、乘法原理、取捨原理l 加法原理：假設(shè)A與B是不相交的有限集合，則 |A B| = |A| + |B|。l 介紹A, B為兩集合時(shí)，乘積集合A B的定義。乘法原理：|A B| = |A|B|l 取捨原理只考慮最多三個(gè)集合間的取捨，令A(yù), B, C為三個(gè)有限集合，則(1) |A B| = |A| + |B| - |A B|(2) |A B C| = |A| + |B| + |C| - |A

37、B| - |B C| - |C A| + |A B C|另外可用文氏圖說(shuō)明取捨原理。IV.2.3 排列IV.2.3.1 直線(xiàn)排列、重複排列l(wèi) 直線(xiàn)排列：1. n個(gè)相異物件的排列數(shù)為階乘數(shù)n!。（球與籃子模式：把編號(hào)是1到n的球，放入編號(hào)是1到n的籃子裡，每個(gè)籃子恰放一個(gè)球，放法總數(shù)為階乘數(shù)n!。）2. 從n個(gè)元素的集合中，每次取出k個(gè)相異元素做排列，則總數(shù)為排列數(shù)。（球與籃子模式：把編號(hào)是1到k的球，放入編號(hào)是1到n的籃子裡，每個(gè)籃子最多放一個(gè)球，放法總數(shù)為排列數(shù)。）l 重複排列：從n個(gè)元素的集合中，每次取出k個(gè)元素做排列，允許重複取出同樣的元素，則總數(shù)為nk。（球與籃子模式：把編號(hào)是1到k的

38、球，放入編號(hào)是1到n的籃子裡，每個(gè)籃子裡的球數(shù)沒(méi)有限制，放法總數(shù)為nk。）重複排列可看做是乘法原理的推廣，例如投銅板，出現(xiàn)正面記為1，出現(xiàn)反面記為0。若令集合A=0,1，則投n次所有可能結(jié)果的集合為An = A A . . . A（共乘n次），其元素個(gè)數(shù)為2n。IV.2.4 組合IV.2.4.1 組合、重複組合l 組合：從n個(gè)元素的集合中每次取出k個(gè)相異元素，不同取法的總數(shù)是組合數(shù)。（球與籃子模式：把k個(gè)沒(méi)有編號(hào)且不可分辨差異的球，放入編號(hào)是1到n的籃子裡，每個(gè)籃子最多放一個(gè)球，放法總數(shù)為組合數(shù)。）（當(dāng)代組合數(shù)學(xué)日漸以為組合數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)，建議高中課本中以此符號(hào)，取代C(n,k)或。）由組合數(shù)的

39、基本公式，經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算得出的式子，盡量賦予選取物件式的組合解釋。l 重複組合：從n個(gè)元素的集合中每次取出k個(gè)元素，允許重複取出同樣的元素，則不同取法的總數(shù)為重複組合數(shù)。（球與籃子模式：把k個(gè)沒(méi)有編號(hào)且不可分辨差異的球，放入編號(hào)是1到n的籃子裡，每個(gè)籃子裡的球數(shù)沒(méi)有限制，放法總數(shù)為重複組合數(shù)。）對(duì)於給定的n與k，方程x1 + x2 + + xn = k的非負(fù)整數(shù)解總數(shù)也是重複組合數(shù)。（建議重複組合數(shù)不需再引進(jìn)符號(hào)H(n,k)或來(lái)表示。）IV.2.5 二項(xiàng)式定理IV.2.5.1 以組合概念導(dǎo)出二項(xiàng)式定理利用組合的概念推導(dǎo)出 (x + y)n 展開(kāi)式中一般項(xiàng)的形式。IV.2.5.2 巴斯卡三角利用二項(xiàng)

40、式定理所推導(dǎo)的各種公式，盡量賦予選取物件式的，或者計(jì)數(shù)棋盤(pán)上路徑的解釋?zhuān)栽黾訉W(xué)生對(duì)於組合的直觀(guān)認(rèn)識(shí)。三、機(jī)率1.樣本空間與事件藉由集合來(lái)說(shuō)明事件之未發(fā)生，幾個(gè)事件的同時(shí)發(fā)生、至少有一件發(fā)生等。l 班上同學(xué)有人生日相同的機(jī)率l 樣本空間為投銅板五次的所有可能，事件為正面出現(xiàn)的次數(shù)為32.機(jī)率的定義與性質(zhì)藉由生活中的實(shí)例，以說(shuō)明機(jī)率函數(shù)要滿(mǎn)足的基本條件。並證明機(jī)率函數(shù)的一些性質(zhì)。3.條件機(jī)率與貝氏定理3.1 獨(dú)立事件、條件機(jī)率、貝氏定理4.隨機(jī)變數(shù)4.1機(jī)率質(zhì)量函數(shù)l 班上同學(xué)的學(xué)測(cè)級(jí)分相對(duì)次數(shù)圖(X軸為學(xué)測(cè)級(jí)分，Y軸為該成績(jī)之相對(duì)次數(shù))l 投銅板三次，正面出現(xiàn)的機(jī)率質(zhì)量函數(shù)圖(X軸為正面出現(xiàn)的

41、次數(shù)(X=0,1,2,3)，Y軸為該次數(shù)出現(xiàn)的機(jī)率)4.2期望值對(duì)一隨機(jī)變數(shù)，常想粗略地知道其值究竟多大，期望值就是常被拿來(lái)扮演這種以一單一的值，來(lái)代表一隨機(jī)現(xiàn)象中變數(shù)大小的角色。4.3變異數(shù)期望值像是隨機(jī)變數(shù)之一核心，隨機(jī)變數(shù)之可能值，則散佈在期望值的左右。變異數(shù)之正的平方根，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)離差，便是用來(lái)表示隨機(jī)變數(shù)之可能值，與其期望值偏離之大小。5.二項(xiàng)分布5.1重複試驗(yàn)、二項(xiàng)分布說(shuō)明此分布之由來(lái)，且強(qiáng)調(diào)處處可見(jiàn)。給出其機(jī)率密度函數(shù)，並以二項(xiàng)式定理，驗(yàn)證此確為一機(jī)率密度函數(shù)。l 假設(shè)每次買(mǎi)彩券中獎(jiǎng)的機(jī)率為p，買(mǎi)n次彩券中獎(jiǎng)k次的機(jī)率：5.2二項(xiàng)分布之性質(zhì)繪出二項(xiàng)分布機(jī)率密度函數(shù)之圖形，求出期望值

42、及變異數(shù)。四、統(tǒng)計(jì)1.數(shù)據(jù)分析1.1分析一維數(shù)據(jù)：平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化l 平均數(shù)：，標(biāo)準(zhǔn)差：。將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)為1.2分析二維數(shù)據(jù)：散佈圖、相關(guān)係數(shù)2 抽樣與統(tǒng)計(jì)推論2.1抽樣方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣說(shuō)明常要收集資料以對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象做推論或預(yù)測(cè)。並說(shuō)明何時(shí)要普查，何時(shí)要抽樣調(diào)查，並介紹隨機(jī)抽樣法。2.2 介紹及使用亂數(shù)表介紹亂數(shù)表之使用，並說(shuō)明何時(shí)可使用2.3二項(xiàng)分布與常態(tài)分布介紹常態(tài)分布及其圖形。對(duì)二項(xiàng)分布，說(shuō)明當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)較多，可以常態(tài)分布做為其近似。2.4信賴(lài)區(qū)間與信心水準(zhǔn)的解讀對(duì)一給定的p及n，以亂數(shù)表模擬投擲出現(xiàn)正面機(jī)率為p之銅板n次，介紹信心水準(zhǔn)的意義。對(duì)一給定的信心水準(zhǔn)，給出p之信賴(lài)區(qū)間公式

43、。並說(shuō)明在相同的n、p下，若全班每位同學(xué)皆給一信賴(lài)區(qū)間，是否大多數(shù)的同學(xué)，所得之信賴(lài)區(qū)間會(huì)涵蓋p。附錄：最小平方法（先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化）數(shù)學(xué)III：坐標(biāo)與向量幾何一、直線(xiàn)1.直線(xiàn)方程式及其圖形1.1 斜率、點(diǎn)斜式（其他型式如兩點(diǎn)式不特別提及公式，可在例中推導(dǎo)）1.2 兩線(xiàn)關(guān)係(垂直、平行、相交)、聯(lián)立方程式l 過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)與該直線(xiàn)平行、垂直的直線(xiàn)方程式。l 三角形的外心l 三線(xiàn)共點(diǎn)2.線(xiàn)性規(guī)劃 2.1 二元一次不等式，能夠在坐標(biāo)平面上標(biāo)示滿(mǎn)足二元一次不等式的區(qū)域2.2 線(xiàn)性規(guī)劃(目標(biāo)函數(shù)為一次式) ：學(xué)生應(yīng)了解平行直線(xiàn)系。線(xiàn)性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)限為一次式。二、三角1. 廣義角與極坐標(biāo)1.1 直角三角形

44、的邊角關(guān)係(正弦、餘弦，正切) 、平方關(guān)係l 只談?wù)?、餘弦，正切的定義及正餘弦的平方、餘角關(guān)係1.2 廣義角與極坐標(biāo)1.3 廣義角的正弦、餘弦、正切及補(bǔ)角關(guān)係l 引進(jìn)參考角的概念，利用補(bǔ)角關(guān)係，將廣義角的三角函數(shù)求值化為銳角三角函數(shù)之求值。參考角的定義為廣義角與X軸的銳夾角，如.1.4 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的變換2正弦、餘弦定理2.1 面積與正弦定理、長(zhǎng)度與餘弦定理、海龍公式l 面積與正弦定理：將ABC之點(diǎn)置於原點(diǎn)，B置於，則C點(diǎn)置於，由面積公式可得ABC面積同理可得ABC面積ABC面積l 長(zhǎng)度與餘弦定理：將ABC之A點(diǎn)置於原點(diǎn)，B置於，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為，由距離公式得l 海龍公式3. 差角公式l

45、設(shè)，應(yīng)用餘弦定理於OAB，由可得l 給兩直線(xiàn)方程式求其交角l 和角、倍角、半角公式l 計(jì)算4.三角測(cè)量三角測(cè)量應(yīng)注意測(cè)量的策略及其實(shí)用性。4.1 查表或使用計(jì)算器4.2 含平面與立體測(cè)量三、平面向量1.平面向量的表示法1.1幾何表示、坐標(biāo)表示，加減法、係數(shù)乘法l 向量為有向線(xiàn)段的幾何表示法l 證明簡(jiǎn)單平面幾何的性質(zhì)，如三角形兩邊中點(diǎn)連線(xiàn)定理。l 求三角形的外心、重心。l 向量為位置向量的坐標(biāo)表示法1.2線(xiàn)性組合、平面上的直線(xiàn)參數(shù)式l 向量的合成：線(xiàn)性組合、分點(diǎn)公式、三角形的重心l 向量的分解，如將分解為與的線(xiàn)性組合l 直線(xiàn)的參數(shù)式與直線(xiàn)上的運(yùn)動(dòng)l 能在平面上標(biāo)示出的區(qū)域2.平面向量的內(nèi)積2.1

46、內(nèi)積與餘弦定理、正射影、柯西不等式、法向量、兩直線(xiàn)的夾角、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離l 內(nèi)積與餘弦定理由餘弦定理得展開(kāi)可得，其中定義為l 平行四邊形定理的證明l 柯西不等式，可處理圓與直線(xiàn)關(guān)係。l 兩向量的直交化：將向量（4, 5）分解為與（1, 2）垂直與平行的兩個(gè)分量。3.面積與二階行列式3.1面積公式與二階行列式的定義與性質(zhì)l 三角形面積的行列式公式三角形OAB，O=(0,0)，A=(a,b)，B(c,d) DCOxyl 由向量所張開(kāi)的平行四邊形面積l 行列式的性質(zhì)3.2 兩直線(xiàn)幾何關(guān)係的代數(shù)判定l 考慮聯(lián)立方程組，其幾何關(guān)係是指兩線(xiàn)為相交、平行或重疊，其線(xiàn)性組合關(guān)係是指可否表現(xiàn)為、的線(xiàn)性組合，其代數(shù)判定是指、所形成之行列式是否為0。數(shù)學(xué)IV：線(xiàn)性代數(shù)一、空間向量1.空間概念1.1 空間中兩直線(xiàn)、兩平面、及直線(xiàn)與平面的位置關(guān)係2. 空間向量的坐標(biāo)表示法2.1空間坐標(biāo)系：點(diǎn)坐標(biāo)、距離公式2.2 空間向量的加減法、係數(shù)乘法，線(xiàn)性組合、直線(xiàn)與平面的參數(shù)式3.空間向量的內(nèi)積3.1 內(nèi)積與餘弦定理、兩向量的直交化、柯西不等式l 可由坐標(biāo)幾何定義向量?jī)?nèi)積，再由餘弦定理證明。3.2 平面的法線(xiàn)式、兩平面的夾角、點(diǎn)到平面的距離、兩向量垂直的判定4.三元一次聯(lián)立方程組4.1 加減消去法、代入消去法4.2