三 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

1、1.3.1圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程1.3.2直線的極坐標(biāo)方程直線的極坐標(biāo)方程 在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中,平面曲線平面曲線C可可以用方程以用方程 表示。表示。那么那么,在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,平面曲線是否可以用平面曲線是否可以用方程方程 表示呢表示呢?( ,)=0fx y(,)=0f 探究探究半徑為半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為的圓的圓心坐標(biāo)為C（a,0）(a0),你能你能用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)用一個(gè)等式表示圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo) 滿足的條件嗎滿足的條件嗎？),(ox（a,0）),(MA圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)O,設(shè)圓和極軸的設(shè)圓和極軸的另一個(gè)交點(diǎn)是另一個(gè)交點(diǎn)是A，那么，那么|

2、OA|=2a,設(shè)設(shè) 為圓上除點(diǎn)為圓上除點(diǎn)O，A以外的以外的 任意一點(diǎn)，則任意一點(diǎn)，則OM AM,在在 Rt 中中, |OM|=|OA| ),(MAMOMOAcos1. 圓的極坐標(biāo)方程圓的極坐標(biāo)方程即即2 cosa(1)于是，等式于是，等式(1)就就是圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)是圓上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo) ( , )滿足滿足的等式，另一方面，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合等式的等式，另一方面，可以驗(yàn)證，坐標(biāo)適合等式(1)點(diǎn)點(diǎn)都在這個(gè)圓上。都在這個(gè)圓上。x（a,0）),(MA可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn) 的坐標(biāo)也滿足等式的坐標(biāo)也滿足等式O(0,)A(2a,0)2，( , )0( , )0( , )0CffCfC 一般地，在極

3、坐標(biāo)系中，如果平面曲線 上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程并且坐標(biāo)適合方程的點(diǎn)都在曲線 上，那么方程叫做曲線 的極坐標(biāo)方程。曲線的極坐標(biāo)方程：曲線的極坐標(biāo)方程：因此，因此， 就是圓心在就是圓心在(a,0),半徑為半徑為a的圓的圓的極坐標(biāo)方程。的極坐標(biāo)方程。2 cosa2 cosa(1)例例1.已知圓已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐標(biāo)系，建立怎樣的極坐標(biāo)系，可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡(jiǎn)單？可以使圓的極坐標(biāo)方程更簡(jiǎn)單？解：如果解：如果以圓心以圓心O為極點(diǎn)為極點(diǎn), 從從O出發(fā)的一條射線為極軸建立坐標(biāo)系出發(fā)的一條射線為極軸建立坐標(biāo)系, 那么圓上各點(diǎn)的幾何特征就是那么圓上各點(diǎn)的幾何特征就是:

4、: 它們的極徑都等于半徑它們的極徑都等于半徑r r，設(shè)設(shè) 為圓上任意一點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則，則|MO|=r, 即即( , )M r1.極坐標(biāo)方程分別是極坐標(biāo)方程分別是cos和和sin的兩個(gè)圓的圓心距是的兩個(gè)圓的圓心距是（ ）225.下列極坐標(biāo)方程各表示什么圖形下列極坐標(biāo)方程各表示什么圖形？(1)4 (2)2sin表示圓心在極點(diǎn)，半徑為表示圓心在極點(diǎn)，半徑為4的圓；的圓；表示過(guò)極點(diǎn)，圓心在表示過(guò)極點(diǎn)，圓心在 半徑為半徑為1的圓的圓)2,1(直線直線 經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，從極軸到直線經(jīng)過(guò)極點(diǎn)，從極軸到直線 的角是的角是 ，求直線，求直線 的極坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程.l4lll4xO) )2. 直線的極坐標(biāo)方程

5、直線的極坐標(biāo)方程以極點(diǎn)以極點(diǎn)O為分界點(diǎn)，直線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)分為分界點(diǎn)，直線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)分成射線成射線OM,射線射線 兩部分，兩部分，射線射線OM上任意一點(diǎn)的極角都是上任意一點(diǎn)的極角都是 ，因此射，因此射線線OM的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為4OM，)4MxOM，(0)45(0 )4射線射線 上上 任意一點(diǎn)的極角為任意一點(diǎn)的極角為 即射線即射線 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為OM，OM，45)4MxOM，5(0 )4(0)4和和即直線即直線 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為l如果允許如果允許取全體實(shí)數(shù)，那么極坐標(biāo)方程取全體實(shí)數(shù)，那么極坐標(biāo)方程 都是直線都是直線 的方程。的方程。5()4R()4R或或l

6、若若 則則 我們規(guī)定我們規(guī)定點(diǎn)點(diǎn) 與點(diǎn)與點(diǎn) 關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)( , )M (, )P 00例例1. .求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A（a,0）(a0),且垂且垂直于極軸的直于極軸的 直線的極坐標(biāo)方程。直線的極坐標(biāo)方程。）0aAxM解：設(shè)解：設(shè)M( ， )為直線上為直線上除除A外的任意一點(diǎn)，連接外的任意一點(diǎn)，連接 OM，在三角形，在三角形MOA中中，|cos|OAMOAOM可以驗(yàn)證，點(diǎn)可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式，因的坐標(biāo)也滿足上式，因此上式就是所求直線的極坐標(biāo)方程此上式就是所求直線的極坐標(biāo)方程cos解解 題題 基基 本本 步步 驟驟第一步：第一步：根據(jù)題意畫(huà)出草圖根據(jù)題意畫(huà)出草圖；第二步第二步：設(shè)設(shè)

7、M（ ，）是直線上任意一點(diǎn)；，）是直線上任意一點(diǎn)；第三步第三步：連接連接MO；第四步：第四步：根據(jù)幾何條件建立關(guān)于根據(jù)幾何條件建立關(guān)于 ， 的方程，并化簡(jiǎn)；的方程，并化簡(jiǎn)；第五步第五步：檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。例例2.設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P P的極坐標(biāo)的極坐標(biāo) 直線直線 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ，求直線求直線 的極坐標(biāo)方程的極坐標(biāo)方程。),(11llxMO)11)PAl例例3. .把下列的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程把下列的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程 (1)2x+6y-1=0 (2)x2 -y2=25解：將公式解：將公式 代入代入所給的直角坐標(biāo)方

8、程中，得所給的直角坐標(biāo)方程中，得cosxsiny 2 cos6 sin( )1102222(2)cossin25化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 2cos2251.將下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程將下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程(1)y5( 2 )x1022(4)xy16(3)3x2y10 2.將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程將下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程(1)10cos (2)2cos4sin(3) (2cos5sin )40 2225(5)xy225(1)(2)xy2540 xysin5cos1 0 3 cos2 sin1 0 2cos2160,(0)54 5A .2 25B.2 25C.6 25D.8 1

9、.（2007年高考）年高考）線線 ,所圍成的圖形面積是（所圍成的圖形面積是（ ）和D2.(2005年高考年高考)在極坐標(biāo)系中在極坐標(biāo)系中,以以 為圓心為圓心, 以以 半徑的圓的方程為半徑的圓的方程為_(kāi) )2,2(a2aasin 2.解解:1(R)3 （ ）2cos =1（ ）3 =2cos(-)4（ ）4 = 2asin（ ）1.解解:(1)表示圓心在極點(diǎn)，半徑為表示圓心在極點(diǎn)，半徑為5的圓；的圓；(2)表示過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為表示過(guò)極點(diǎn)，傾斜角為 的直線的直線；(3)表示過(guò)極點(diǎn)，圓心在表示過(guò)極點(diǎn)，圓心在 半徑為半徑為1 1的圓的圓65)2, 1 (3.解解:（1） （2） （3） （4）4cos

10、2sin01sin3cos2162cos24.解：解：（1）（2）（3）（4）y2;2x+5y-4 = 022+=5(x-1)(y+2)22+=255(x+ ) y5.解解：以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為極軸為X軸軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，把直線的極正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，把直線的極坐標(biāo)方程。坐標(biāo)方程。22)4sin(化為直角坐標(biāo)方程，得化為直角坐標(biāo)方程，得1 yx 把點(diǎn)把點(diǎn)A 的極坐標(biāo)化為的極坐標(biāo)化為 直角坐標(biāo)，得直角坐標(biāo)，得)2,2( 在平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)到直線在平面直角坐標(biāo)系中，由點(diǎn)到直線 的距離公式，得點(diǎn)的距離公式，得點(diǎn)A 到直線到直線 的距離的距離)2,2(

11、1 yx22d所以點(diǎn)所以點(diǎn)A到這條直線的距離為到這條直線的距離為22d 6.解解 :(1)以橢圓中心以橢圓中心O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸所在的直線為所在的直線為X軸建立直角坐標(biāo)系軸建立直角坐標(biāo)系,則橢圓的直則橢圓的直角坐標(biāo)方程為角坐標(biāo)方程為 將橢圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程將橢圓的直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程, 得得 12222byax1)sin()cos(2222ba2222222sincosabba由于由于 可設(shè)可設(shè) OBOA),(11A)2,(12B1221222221sincosabba1221222222cossinabba則則于是于是22212211)|1()|1(OBOA22122122122122cossinsincosbaabab2222baba22)|1()|1(OBOA(2)依題意，得到依題意，得到2121|21OB