p-q變換及d-q變換的理解及推導(dǎo)

1、11本質(zhì)上的區(qū)別。另外，從上式可知，用矩陣表示時(shí)，可寫成ia!|ib Jcjja2ai2等于h的共軛值，所以i2不是獨(dú)立變量。C120a2l(1-1(1-1)p-q 變換與 d-q 變換的理解與推導(dǎo)1.120 變換和空間向量120120 坐標(biāo)系是一個(gè)靜止的復(fù)數(shù)坐標(biāo)系。120120 分量首先由萊昂（LyonLyon ）提出，所以亦成為萊昂分量。下面以電流為例說(shuō)明120120 變換。ia、ib、ic為三相電流瞬時(shí)值，120120 坐標(biāo)系與 abcabc 坐標(biāo)系之間的關(guān)系為：iai2i。“ ib= a2h +ai2+i02ic=ah +a i2+iJ式中a和a2分別為定子繞組平面內(nèi)的120120 和

2、 240240?？臻g算子，a二ej120，a2二ej240，上式的逆變換為：12h =?（ia+aib+a ic）12* i2 =3仏+a * +aij1i=a+ib+ic）i 3可以看出，120120 變換在形式上與矢量對(duì)稱分量變換很相似，不過(guò)這里的ia、ib、ic是瞬時(shí)值而不是矢量，h h、i i2是瞬時(shí)復(fù)數(shù)值，所以 120120 變換亦稱為瞬時(shí)值對(duì)稱分量變換。 由于是瞬時(shí)值之間的變換，所以120120 變換對(duì)瞬態(tài)（動(dòng)態(tài)）和任何電流波形都適用，而矢量對(duì)稱分量法僅適用于交流穩(wěn)態(tài)和正弦波的情況。另外，由于a和a2是空間算子，所以i1和i2是空間向量而不是時(shí)域里的矢量；所以瞬時(shí)值對(duì)稱分量和矢量對(duì)

3、稱分量具有92此變換矩陣為等幅變換如何理解式（1-1）中的變換矩陣是等幅值變換？3所謂等幅值變換，是指原三相電流形成的總的磁動(dòng)勢(shì)(MMFMMF: MagneticMagnetic MotiveMotiveForceForce )和變換后的電流形成的磁動(dòng)勢(shì)MMF幅度一樣。由于本文中 120120 變換的目的是生成電壓電流的空間矢量。而電流矢量的定義為其單 獨(dú)產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)與原三相電流產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)相等，所以此處從abcabc 到 120120 的變換應(yīng)以磁動(dòng)勢(shì)不變?yōu)闇?zhǔn)則，應(yīng)選取等幅值變換。雖然等幅值變換雖然有明確的物理意義，但是如果對(duì)三相電壓、電流均進(jìn)行等幅值 變換，在計(jì)算功率的時(shí)候就會(huì)出現(xiàn)功率不守

4、恒的情況。因此，相對(duì)于等幅值變換，還 有等功率變換。所謂等功率變換，是指原三相系統(tǒng)中的功率和變換后的功率相等。對(duì)實(shí)線性空間，由于正交變換保持內(nèi)積不變，而功率恰好是電流、電壓矢量的內(nèi) 積，只要將組成變換矩陣的特征向量規(guī)范化(單位化)，即可保證變換前后的功率形 式不變。程SI令i =ib，u =ub，變換矩陣為 C Co-ic一juc一原三相系統(tǒng)中功率為：p二(u,i)二uTi變換后的功率為：p =(Cu,Ci) =(Cu)TCi =uTCTCi二uT(CTC)i當(dāng)CTC =E，即CT=C，可使變換前后功率不變，滿足此條件的C即為正交矩陣。在 120120 分量中，由于負(fù)序分量i2不是一個(gè)獨(dú)立變量

5、，所以可以把它省略；另外，零序分量是一個(gè)孤立系統(tǒng)，可以單獨(dú)處理；所以實(shí)用上通常僅需用到正序分量h。為此定義定子電流的空間矢量iri，它等于i1的 2 2 倍，即式中的 1 1、a和a2分別表示 a a 相、b b 相和 c c 相軸線位置處的單位空間矢量。若零序電流為 0 0,iri在 a a、b b、c c 相軸線上的投影即為ia、ib、ic,如圖 1-11-1 所示。從式(1-21-2 )可以看出，定子電流的空間矢量iori既表達(dá)了三相電流在時(shí)域內(nèi)的變化情況，又表達(dá)了三相繞組在空間的不同位置；就物理意義而言，它實(shí)質(zhì)上是代表定子 三相繞組所組成的基波合成磁動(dòng)勢(shì)。正交變換：變換矩陣C為正交矩陣

6、，滿足CT= 考慮這里為什么空間矢量是正序分量的2 倍？是不是考慮到空間矢量是正序和負(fù)序分量之和iori=| (1iaaiba2ic)3(1-2(1-2)4圖 1-11-1 電流的空間向量 電壓矢量同理可得。2.Park 變換與 Clarke 變換(1) Clarke 變換角，0 0 序則是一個(gè)孤立的系統(tǒng)以電流為例，說(shuō)明 abcabc 與a坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)變換。把圖中a和儕由線上的電流i:.和i分別投影到 a a、b b、c c 三相軸線上，再加上孤立的零序電流io，可得ia、ib和a(D坐標(biāo)系是一個(gè)兩相坐標(biāo)系，其中璉由與 a a 相繞組軸線重合， 佛由超前a軸 9090 電5ia=k io1

7、. *73.2匕2 100i.V3.丄.ial Aib=Cp0Jo.LIip =CPoJo.ialib-1d其中Cpo= -1/21/2-1 23 2.1 2-1/2 1-V 3/ 2601 1-12 -12v3/2 1,3=2o 4312-4312-屈2 1一|_1/2 1/21/2一不難看出，此變換是等幅值變換，如果得到等功率變換，需要把C.0進(jìn)行單位正1T交化，變?yōu)檎痪仃?，使得C.0二C.0，得到等功率變換矩陣為(2) Park 變換dqOdqO 坐標(biāo)系是一種與轉(zhuǎn)子一起旋轉(zhuǎn)的兩相坐標(biāo)系和零序系統(tǒng)的組合。若轉(zhuǎn)子為凸極，則 d d 軸與凸極的中心軸線重合，q q 軸超前 d d 軸 909

8、0。電角，如圖 1-31-3 所示。dq0dq0 變換 是從靜止的 abcabc 坐標(biāo)系變換到旋轉(zhuǎn)的 dq0dq0 坐標(biāo)系的一種變換。圖 1-31-3 dq0dq0 變換7以定子電流為例。設(shè)定子三相繞組中電流為ia、ib、ic，轉(zhuǎn)子 d d 軸與定子 a a 相繞組軸線之間夾角為二（電角），dq0dq0 變換后定子電流的 dq0dq0 分量分別為id、iq、i。把 旋轉(zhuǎn)的 d d、q q 軸上的id、iq分別投影到定子 a a、b b、c c 三相軸線上，再加上零序電流i0, 可得到ia、ib和ic:ia= idco 史-iqsinT +i0*ib=idcos 2 兀/3)iqsin(T 2

9、兀/3) + i0ic =idcos 但 +2 兀/3) iqSi 呦 + 2 算/3)+%其中- cos日-si n日1Cdqo=cos但一2兀/3） sin（日2兀/3） 1gos（B+2兀/3） -sin（0+2x/3）1一cos：cos（v -2二/3） cos（）2- /3）2Cdq0=-sin日 一sin（日一2兀/3） -sin（日+2兀/3）3- 1/2 1/2 1/2一式中“ =：t，為轉(zhuǎn)子的角速度，入為 0 0 時(shí)刻時(shí)，d d 軸與 a a 軸夾角，轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn) 時(shí)，Cdq0是一個(gè)時(shí)變陣。若 v v - - 0 0 ,即轉(zhuǎn)子不轉(zhuǎn)，且 d d 軸與 a a 軸重合時(shí)，dq0dq0

10、 坐標(biāo)系退 化為a（0 0 坐標(biāo)系。實(shí)際上，由圖 1-31-3 可知，若二-0-0，就意味著。與圖 1-21-2 致。顯然上式不是正交矩陣，上述變換為等幅值變換，把變換矩陣單位正交化變?yōu)檎?矩陣Lcos日cos 2兀/3) cose十2兀/3)Cdq0=J2 -sin日-sin(日一2兀/3) -sinp+2/3)則Cdq0- Cdq0，此時(shí)變換將成為等功率變換。ClarkeClarke 變換也是a變換，它變換后的量仍然是交流量，也就是說(shuō)，它的值是隨著 abcabc 三相值的變化而變化的。它的主要用途是瞬時(shí)無(wú)功功率控制。ParkPark 變換是交流坐標(biāo)系變換為直流坐標(biāo)系，一般在VSCVSC

11、（voltagevoltage sourcesourceconverterconverter ）的控制中常用，它將交流變化的量變換到直流坐標(biāo)系下，穩(wěn)態(tài)時(shí)dqdq 量可以abcd q oJoQd q o-Jiabc-I o8保持恒定。VSCVSC 控制就是控制變換過(guò)的 dqdq 量從而對(duì)系統(tǒng)的電壓電流等參數(shù)進(jìn)行控制的303.瞬時(shí)無(wú)功理論b、ic。為分析問290圖 1-41-4 :-:-:系中電壓、電流矢量l la ai iib-1 232此變換為等功率變換，標(biāo)準(zhǔn)正交化成可逆的轉(zhuǎn)移矩陣（正交陣）為由下面的變換可以得到、i：。:兩相瞬時(shí)電1 1 兩相瞬時(shí)電流 i i：. .、l.eaeal(1-3(

12、1-3)(1-4(1-4)設(shè)三相電路各相電壓和電流的瞬時(shí)值分別為ea、eb、Q和ia、i10不難推導(dǎo)出，120120 分量與a分量之間具有下列關(guān)系1壽（S邛）1以電流為例推導(dǎo)過(guò)程如下：e eori=23（e：je：）匕矢量e、eiei 和i-、i -。分別可以合成為（旋轉(zhuǎn)）電壓矢量 e e 和電流矢量i用于瞬時(shí)功率計(jì)算中的ClarkeClarke 變換需要保證變換前后功率保持不變，因此應(yīng)采用為等功率變換。電壓電流矢量的原始定義中采用的120120 變換為等幅值變換，ClarkeClarke 等幅值變換矩陣。電壓電流矢量應(yīng)用到等功率變換體系中應(yīng)相Jo二230蓄2 f 32 1/2 3 2 J1/

13、2奶臚臚_， . 1/2 占/2沖(1-5(1-5)Ji2J0一laiC120J0.1aa112a a#3111-1/203 2-32屁 lip 屁 io一j1o空間矢量與-100 l_ij ip0Lia分量的關(guān)系為iori= 2i1=身（A）在圖 1-41-4 所示的二平面(1-6(1-6)2系數(shù)為一，等功率變換矩陣系數(shù)為3應(yīng)改變系數(shù)，因此此處的等功率變換中應(yīng)用的電壓電流矢量應(yīng)為原始定義的電壓電流c211. 3矢量的，3倍:e = - jeori=e：. e，：e 12(1-7(1-7)式中 e e、i為矢量 e e、i的模（黑體 e e、i為矢量，非黑體 e e、i為矢量的幅值），;e、分

14、別為矢量 e e、i的相角【定義 1 1】三相電路瞬時(shí)有功電流ip和瞬時(shí)無(wú)功電流iq分別為矢量i在矢量 e e 及其法線 上的投影。即(1-8(1-8)式中，。：一 平面中的ip和iq如圖 1-41-4 所示?！径x 2 2】三相電路瞬時(shí)有功功率p p 為電壓矢量 e e 的模 e e 和三相電路瞬時(shí)有功電流ip的乘積，三相電路瞬時(shí)無(wú)功功率q q 為電壓矢量 e e 的模 e e 和三相電路瞬時(shí)無(wú)功電流iq的乘積，即卩”P=eip（1-91-9）q =eiq把式(1-81-8 )及二 -匚代入式(1-91-9 )中，并寫成矩陣形式得出p = eicos(e- ) = ei(cosecos si

15、n;:esin ) = e.L亠e：i:q =eisin( 訂)=ei(sinecos - cosesin ) =e L - e i -丹羋ep1(1-101-10)2ea話 -1/2ec03 2eb-1】-1/2L-1/2-1 23 2-12-.3 2町“I eb231_120. 3 2T_1-1/2 -1/2- 3 2| 03 2 - 3 2-1 2r1a Lib-ic一-1/2 -12 幾 11-12-1 2 1ib=3 a-1 2eb-1 2ec3T/2ea+eb-1/2ec-12e -V2e+ec |ibJcj由于eaebec- 0，所以上式可以寫為iaP13q郅-電一把式（1-31

16、-3 ）、式（1-41-4 ）代入上式，可得出p p、q q 對(duì)于三相電壓、電流的表達(dá)式14-0-v32您 2 嘰屁20一罔2ib屁2V3.20一 JcJ骨3232ec-32e-32ec1Jyjeceaea _eb ic 1由上述推導(dǎo)得到:P=eaiaebibOJcq =吉2 -ec ）a +（ec -ea ）b +（ea -Q ）c就三相電路而言，其功率的瞬時(shí)值實(shí)際上應(yīng)該理解為：把瞬時(shí)值分別置于各軸成120的 abc 坐標(biāo)系中，按有功無(wú)功理論進(jìn)行數(shù)乘，有功是電流在電壓方向上的 分量與電壓數(shù)乘，無(wú)功是電流在電壓法向上的分量與電壓數(shù)乘。顯然，從式（1-1-1111 ）可以看出，三相電路瞬時(shí)有功功

17、率就是三相電路的瞬時(shí)功率。4.派克變換與瞬時(shí)功率之間的關(guān)系當(dāng)電網(wǎng)電壓三相對(duì)稱且波形無(wú)畸變時(shí)，設(shè)電網(wǎng)電壓角頻率為 ，且 A A 相電壓初相角為;0 （0,2二），E E 為電網(wǎng)電壓基波即電網(wǎng)電壓的有效值，則電壓瞬時(shí)值為q 士ej：-23；a2 p = 3/ 2ea3/ 2eb3/ 2e?！縤3上一eaiaebibecicL 仁0門忌QL 區(qū)；01 一10%丿訃bdl1 0i-1 232-1/2 卄-冋 2-12 -12 11、淚/2 寸2 1 0 j0 +3 -島匕-12-32eb0.231_120.32J1/2 1/2 T -0lib（1-111-11）15（1）第一種推導(dǎo)方式則將式（1-12

18、1-12 ）代入式（1-31-3 ）將得到:sin (to)sin(cot + 申0_ 2 兀/3)sin(mt +% + 2 代/3)sin( t G -1 2sin(，t - 2 二 3) -1 2sin(，t 02：卜;3 2sin( t 一 2 二 3)-3 2sin( t 2 二 3)ealeb= 2 E旦一| sin(，t亠)si n(cot2叫sin (oot + +2兀/3)(1-12(1-12)二3Esin (to)|t-cos()滬Ef；O：；tQ(1-13(1-13)將式（1-131-13）代入式（1-101-10）計(jì)算出瞬時(shí)有功和無(wú)功為P3Esin(t：。)3Eq_co

19、s(to)-cos(to)i- -sin( to)卩 i(1-14(1-14)對(duì)于式（1-141-14）中系數(shù)的理解為：原系統(tǒng)電壓幅值為2E，由于是等功率變換,由等幅值與等功率變換矩陣系數(shù)可知，a系統(tǒng)中的電壓向量 e e 的幅值，即e，為. 3 2* 2E= =3E。因此由式（1-91-9 ）可知與式（1-141-14 ）對(duì)比可得6 就L嚴(yán):；10-COSt cos( to)i:. -sin(to).(1-15(1-15)其中Cpq_Q為從坐標(biāo)系到 pqpq 坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)移矩陣F面推導(dǎo)卩坐標(biāo)到 dqdq 坐標(biāo)的變換矩陣Cdq_op=23EJ1617dqdq 坐標(biāo)逆時(shí)針以角頻率-同步旋轉(zhuǎn)，d d

20、軸與 a a 軸的夾角為 v - -t為 t=0t=0 時(shí)刻 d d 軸與 a a 軸的夾角，二廠（0,2 二），q q 軸位于在旋轉(zhuǎn)方向上比 d d 軸超前 9090。的位置上 從 abcabc 坐標(biāo)到 dqdq 坐標(biāo)的轉(zhuǎn)移公式為 ：:id1a 1=Cdqibq1ic其中 abcabc 坐標(biāo)到 dqdq 坐標(biāo)的轉(zhuǎn)移矩陣:拓展為可逆轉(zhuǎn)移矩陣為由 ClarkeClarke 等功率逆變換得出下式:代入式（1-161-16）:得出:（1-161-162 cos（ t）、3 |-sin（-t0）cos （，t v0一 2 二 3）-sin（，t r0-2 二 3）cos（ t v02 二 3）-sin

21、t +日0+&/3）cost +日0）|-sin （臥 +日0）cos （，t 厲 一2二.3）cost+日0+2 兀/3）I-si n（mt + 80+ 2 兀Cd-si n（灼 t +如-sin（at +80-藥/3）剖2-si n（oot +日0+2 兀/3）4V2iaTib = Cp0ip =Jc-1 0f |1/2X- 3/23_1/2_問 2廠 1尿占|1/2 辰o 一1/232J32_Kid_ 2 cos（ t厲）iq3 -sin（，t 0）cos（ t厲一2二3）-sin（；：t cos（ t 0 2-3）sin（ - t 2二3）13；203 2-32Cdq0廠 I

22、COSt +日0）=J cost+80-2 貳/3 13cost +日0+2 兀/3_氏181 口 一 cost+日 ） si n（cot + 日亠叫十sint+8）顯然，由式（1-151-15）和式（1-171-17）對(duì)比可知：p p、q q 變量，并不能直接等價(jià)。由式（1-151-15）可得0）餐COS（，t 卞）卩:Cpq_與Cdq_并不相同,(1-17(1-17)= Cpq$ip丨sin(cot+0)cost+%)JPIcos(t0)-sinC，t0)|iq代入（1-171-17 ）得 一Cdq_CipCpq_oBq- liq-cos（ t0）sin（t0）sin（ t:0）_cos（

23、t0） ip-sin（t0）cos（ t0）-cos（ t:0）-sin（，t0）卩qI sin（-山）-cos（-0）ip_ -cos（0 0）-sin（0 0）|q注意：式（1-181-18 ）中等式兩端的變量意義，等式左邊的id、iq為派克變換后得到的d-qd-q 軸瞬時(shí)電流；而等式右邊的ip、iq為瞬時(shí)有功電流、瞬時(shí)無(wú)功電流。另外，這里 再次重申式（1-181-18）中變量的意義如下： 時(shí)刻 d d 軸與 a a 軸的夾角。因此列出以下幾種特殊情況：(1-18(1-18)o為 t=0t=0 時(shí)刻 A A 相電壓的初相角，為 t=0t=0-0-入 *2；0 -二0-3；2-二0-二.2，

24、0 -03；2S 0- -1山0id、iq與瞬時(shí)有功電流、瞬時(shí)無(wú)功電流d d 軸與 a a 軸之間相位的關(guān)系。IL_1_0_0-1 ip0Jq01iP|jq;ipV|IJq(1-19(1-19)由此可見，派克變換后得到的d-qd-qip、iq的相對(duì)關(guān)系，取決于當(dāng)前時(shí)刻電網(wǎng)電壓相角以及顯然，若在逆變器控制中利用d-qd-q 變換后得到的瞬時(shí)電流id、iq來(lái)分別控制有功和無(wú)功，則意味著；0與二0之間相差 900900。因此，在逆變器控制中，通過(guò)鎖相環(huán)PLLPLL 獲得 0 0時(shí)刻 a a 相電壓相角，從而決定 ParkPark 變換矩陣中的日0值，以確保 d d 軸與 a a 電網(wǎng)電壓 矢量方向相

25、同，從而達(dá)到有功無(wú)功獨(dú)立控制的目的。在瞬時(shí)電流SimulinkSimulink 仿真平臺(tái)自帶的 ParkPark19變換模塊中，默認(rèn) 0 0 時(shí)刻 a a 相電壓相角;：0為 0 0,由 PLLPLL 模塊獲得sint、cos t，形 成Cdq0，進(jìn)行 ParkPark 變換，如圖 1-51-5 所示：20圖中 Vabc_filterVabc_filter 為逆變器經(jīng)濾波器并網(wǎng)處的三相電壓，Vabc_filter_puVabc_filter_pu 為其標(biāo)幺值。(2)第二種推導(dǎo)方式對(duì)式(1-121-12 )所表示的三相電壓進(jìn)行派克變換，可得_ -sisi n n（cotcot + + 0 0）e

26、 eb=72ECdqsinsin（ cocot t + + 0 0 2 2兀/3/3）I1sinsin（ cocot t + + 0 0+2+2兀/3/3）_ _將 v - -r， 二-; ;0 0，代入上式計(jì)算得coscos（，（，t t % % -2-2； 3 3）-sin-sin（ ，t t入 一2 2coscos（ t t入2 2二3 3）-sin-sin（ t t入2 2二3 3）- -sinsin （cocot tN N。）1 1sinsin（cocot t + + 0 0一2 2兀/3 3）圖 1-51-5 逆變器控制中ParkPark 變換部分的simulinksimulink

27、 模型21e 2cossi ncos（v-2二3）si n（/2;3）cos 2; 3）si n（2二.3）eq一一（3E_Sin日sin sin 2叫3）sin（ 2兀/3）sin但+2兀/3）sin+2兀/3一化簡(jiǎn)可得:同 ClarkClark 變換同理，等功率變換到兩相dqdq 坐標(biāo)中，電壓幅值變?yōu)?3E為方便計(jì)算，選 d d 軸方向?yàn)殡娋W(wǎng)電壓合成矢量的方向，則上式計(jì)算結(jié)果應(yīng)為（cosTsin 申-sin&cos）32（sin 二 sin:coscos ）=、3Ecos= sin - sin cos|- （sinsin:cos1cos ）（1-201-2022圖 1-61-6 d

28、qdq 系中電壓電流矢量為以示區(qū)別，此圖中有功、無(wú)功分量的下標(biāo)用P P、Q Q 表示，dqdq 分量用 d d、q q 表示。則電壓矢量與 d d 軸的夾角為 ，電流矢量與 d d 軸的夾角為 。其中 cpcp =cp=cp _Cp_Cpe I對(duì)于式（1-231-23 ）的推導(dǎo)，與式（1-101-10 ）的推導(dǎo)過(guò)程一樣，即由式（1-81-8 八式（1-1-9 9），可得：要得出(1-21(1-21)sin 0) =1cos 什-日)=0(1-22(1-22)滿足上述條件可將瞬時(shí)功率計(jì)算公式化簡(jiǎn)為:P=edid +eqiq nQjid iq= ediq+eqid=ediq(1-(1-2323)因

29、此，在這種情況下，可以認(rèn)為id相當(dāng)于有功電流,iq相當(dāng)于無(wú)功電流。為了清晰起見，在 dqdq 軸坐標(biāo)平面上，繪制電壓電流相對(duì)關(guān)系如圖1-61-6 所示。33E E23p =eip=eicos 忡e 8） _（9 8）】=eiCos 伴e_8）cos 件-8）+sin（毋e8）sin 件 一 8）】=軌 +eqiqjq =eiq=eisin （半e日）一（鳴 一）】=eibin（半ecosf -日）-cose-&）sin 件亠 0）】= -ediq+eqid傳統(tǒng)理論中的有功功率、無(wú)功功率等都是在平均值基礎(chǔ)或向量的意義上定義的，它 們只適用于電壓、電流均為正弦波時(shí)的情況。而瞬時(shí)無(wú)功功率理論中的概念，都是在 瞬時(shí)值的基礎(chǔ)上定義的，它不僅適用于正弦波，也適用于非正弦波和任何過(guò)渡過(guò)程的 情況。從以上各定義可以看出，瞬時(shí)無(wú)功功率理論中的概念，