專(zhuān)題四恒成立問(wèn)題

1、專(zhuān)題四恒成立問(wèn)題在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，常常出現(xiàn)含參數(shù)的不等式成立的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題與函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，方程等知識(shí)綜合在一起，演繹出一道道設(shè)問(wèn)新穎，五光十色的題目，這些試題的思辨性很強(qiáng)，往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措，這些題目從解題目標(biāo)上看，基本上有三種，即求參數(shù)的取值范圍，使含參數(shù)的不等式恒成立，能成立或恰成立.用函數(shù)思想作指導(dǎo)，解不等式的恒成立、能成立、恰成立問(wèn)題的操作程序是這樣的：1恒成立問(wèn)題若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于函數(shù)fx在區(qū)間D上的最小值大于A,若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于函數(shù)fx在區(qū)間D上的最大值小于B2. 能成立問(wèn)題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成

2、立，即fxA在區(qū)間D上能成立,，則等價(jià)于函數(shù)fx在區(qū)間D上的最大值大于A,若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fx:B成立，即fx:B在區(qū)間D上能成立,，則等價(jià)于函數(shù)fx在區(qū)間D上的最小值小于B.3. 恰成立問(wèn)題若不等式fxA在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式fxA的解集若不等式fx:B在區(qū)間D上恰成立，貝S等價(jià)于不等式fx:B的解集為D,如果從解題模式看，好象問(wèn)題很簡(jiǎn)單，但是，由于試題的結(jié)構(gòu)千變?nèi)f化,試題的設(shè)問(wèn)方式各不相同，就使得題目變得十分靈活，如何對(duì)這類(lèi)題目進(jìn)行思辨和模式識(shí)別，把問(wèn)題化歸到常見(jiàn)的基本的題型，是高考復(fù)習(xí)的一個(gè)課題.【例1】若關(guān)于x的不等式x?axa-0的解集為（_：,：），則實(shí)數(shù)a

3、的取值范圍是；若關(guān)于x的不等式x?-ax-a乞-3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【分析及解】第一個(gè)填空是不等式恒成立的問(wèn)題，設(shè)fx=x?-ax-a則關(guān)于x的不等式X?-ax-a0的解集為（：）=fx0在-：上恒成立=fminx0,即fminx=-4aa0,解得-4-a:04第二個(gè)填空是不等式能成立的問(wèn)題設(shè)fx=x?-ax-a則關(guān)于x的不等式x?-ax-a蟲(chóng)-3的解集不是空集二fx乞-3在.匚上能成立：=fminX_-3,即fminX二一復(fù)旦空一3,解得a乞一6或a2.4【例2】三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題關(guān)于x的不等式x?+25+|x3-5x?"X在【1,12】上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

4、”提出各自的解題思路.甲說(shuō)：只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”.乙說(shuō)：把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”.丙說(shuō)：把不等式兩邊看成關(guān)于X的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”.參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是.【分析及解】關(guān)鍵在于對(duì)甲，乙，丙的解題思路進(jìn)行思辨，這一思辨實(shí)際上是函數(shù)思想的反映.設(shè)f(x)=x2+25+x5x2,g(x)=ax.甲的解題思路，實(shí)際上是針對(duì)兩個(gè)函數(shù)的，即把已知不等式的兩邊看作兩個(gè)函數(shù)，設(shè)f(x)=x2+25+x-5x2,g(x)=ax其解法相當(dāng)于解下面的問(wèn)題：對(duì)于xr1,12l,x21,121,若f為gX2恒成立

5、，求a的取值范圍.所以，甲的解題思路與題目1,121,fx-gx恒成立，求a的取值范圍的要求不一致因而，甲的解題思路不能解決本題.按照丙的解題思路需作出函數(shù)f(x)=X2+25+x-5X2的圖象和gx二ax的圖象，然而，函數(shù)fx的圖象并不容易作出.由乙的解題思路，本題化為丄_a在x1,12上恒成立，等價(jià)于1,121時(shí),-a成立.Ix抑由-x=x25XX-5在x=51,121時(shí)，有最小值10,于是,a<10.XX【例3】已知向量a=(x2,x1),b=(仁x,t),若函數(shù)fX二ab在區(qū)間-1,1上是增函數(shù)，求t的取值范圍【分析及解】依定義f(x)二X2(1-X)t(x1)=-x3x2txt

6、,則f(x)二-3x22xt.fx在區(qū)間-1,1上是增函數(shù)等價(jià)于x0在區(qū)間-1,1上恒成立；而X0在區(qū)間-1,1上恒成立又等價(jià)于t.3x22x在區(qū)間一1,1上恒成立；設(shè)gx=3x2-2x,x1,1進(jìn)而tgX在區(qū)間-1,1上恒成立等價(jià)于t-gmaxXX-1,1考慮到g(x)=3x2-2x,(-1,1在-1,1上是減函數(shù)，在1,1j上是增函數(shù),I3丿i3丿則gmaxx=g-1=5.于是,t的取值范圍是t_5.【例4】已知函數(shù)fxi；=x33ax-1,gxfx-ax-5，其中f'x是fx的導(dǎo)函數(shù).(1) 對(duì)滿足-仁a叮的一切a的值，都有g(shù)x0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2) 設(shè)a=-m2，當(dāng)實(shí)數(shù)

7、m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y=fx的圖象與直線y=3只有一個(gè)公共點(diǎn).【分析及解】只考慮（I）.解法1由題意gx=3x2_ax3a5，這一問(wèn)表面上是一個(gè)給出參數(shù)a的范圍，解不等式gx：0的問(wèn)題，實(shí)際上，把以x為變量的函數(shù)gx，改為以a為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問(wèn)題，即令ay-xa3x5，-1_a_1，則對(duì)-1乞a乞1，恒有g(shù)x:0，即a：0，從而轉(zhuǎn)化為對(duì)-仁a叮，a：0恒成立，又由a是a的一次函數(shù)，因而是一個(gè)單調(diào)函數(shù)，它的最值在定義域的端點(diǎn)得到為此只需：1：0即3xxV0，申（1）0Ox?十x險(xiǎn)o.解得-：x:1.3故x-,1時(shí)，對(duì)滿足-仁a叮的一切a的值，都有g(shù)x：0.3解法2考慮

8、不等式gx=3x-ax3a-5：0.由一1曲叨知，厶二a-36a600，于是，不等式的解為a-a-36a'60a:a-36a60x.66但是,這個(gè)結(jié)果是不正確的，因?yàn)闆](méi)有考慮a的條件，還應(yīng)進(jìn)一步完善.為此,設(shè)ga-36a60,ha，36a60.66不等式化為ga：x：ha，-仁a1恒成立，即gamax：x：hamin'T一1由于ga60在_1二叮上是增函數(shù)，則gamg12,63haa-36a60在"注叮上是減函數(shù),則hamih1=1.所以,6-2：x：:1故x-2,1時(shí)，對(duì)滿足I3丿故x-2,1時(shí)，對(duì)滿足I3丿一仁a叮的一切a的值，都有d=-rgx：o【例5】求與拋物

9、線E:y=ax2相切于坐標(biāo)原點(diǎn)的最大圓的方程【分析及解】因?yàn)閳AC與拋物線E:y=ax2相切于坐標(biāo)原點(diǎn),所以,可設(shè)C:x2y-r2寸2由題意,拋物線E上的點(diǎn)Px,y除坐標(biāo)原點(diǎn)0,0之外,都在圓C的外邊設(shè)P和圓心C0,r的距離為d，則本題等價(jià)于在y-o的條件下,恒成立整理式得y2r-丄a于是,本題又等價(jià)于式在y-0的條件下,恒成立即ymin-2r-丄,a由ymin=0得0一2r-1，即r_丄.a2a所以,符合條件的最大圓的半徑是1，最大圓C的方程為2a【例6】設(shè)aR，二次函數(shù)f(x)=ax?_2x2a.若f(x)0的解集為A,BJx1：x：3l,AB，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【分析及解】這是一個(gè)題目在

10、不等式成立的前提下，求參數(shù)的范圍的問(wèn)題，這個(gè)題目的常規(guī)解法是：由題設(shè)，a=0.fx=0的兩個(gè)根為&=丄-、212，X?=1二212，顯然，Xi：Ox-0aVaaa(1)當(dāng)a：0時(shí),A=xXi：x：x：,11AB一：=x212：21=a：-2.aVa當(dāng)a>0時(shí),A=xxcx(Jxx>x2,AB-一=x2:3=12：3二a6aa27于是，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-=-2我們注意到,題目的要求與大部分見(jiàn)到的題并不相同這類(lèi)題目在試題中出現(xiàn)最多的是不等式恒成立的問(wèn)題，而本題卻是一個(gè)不等式能成立的問(wèn)題，因?yàn)?，題目的條件是只要集合A,B的交集不是空集就可以，即只要不等式f(x)0在區(qū)間1,3有

11、解就可以，這等價(jià)于fmaxx0,x1,3成立解法就簡(jiǎn)單些解法如下：(1)當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閒x的圖象的對(duì)稱(chēng)軸丄：0,則對(duì)x1,3，f1最大,afmaxX=f1二a-2-2a0.=a：-2.當(dāng)a0時(shí)，fmaxx,XW1,3在f1或f3實(shí)現(xiàn),由f1=2-a:0,f3=7a-6，則f3=7a-60=a-于是，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：，一2.遼丿這個(gè)解法的關(guān)鍵是用函數(shù)思想指導(dǎo)，學(xué)會(huì)用函數(shù)和變量來(lái)思考【例7】已知函數(shù)fx=Inx，gx=-ax2bx，a=0.2若b=2，且hx=fx-gx存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍;【分析及解】只研究第(1)問(wèn).心時(shí)皿)皿-如2亠，貝h(x)二-ax2二x貝h(x)

12、二-ax2二x2ax2x-1x因?yàn)楹瘮?shù)hx存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以h(xb：0有解.由題設(shè)可知,hx的定義域是0,=,而hx:0在0,上有解，就等價(jià)于hx:0在區(qū)間0：能成立,minmin即a2-2,0：成立,進(jìn)而等價(jià)于a-Uminx成立,其中xx“12ux-7-一.xx1-1-1得,UmmX=-1.x于是,a-1,由題設(shè)a=0，所以a的取值范圍是-1,00,-【例8】設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=(x2axb)e3"(xR)的一個(gè)極值點(diǎn).(I)求a與b的關(guān)系式(用a表示b),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；25(H)設(shè)a0,g(x)=(a24)ex，若存在i,20,4使得f(J-g(2):1成立，

13、求a的取值范圍【分析及解】本題的第(H)“若存在1,20,4使得f(i)-g(2廠：1成立，求a的取值范圍”如何理解這一設(shè)問(wèn)呢？如果函數(shù)fx在x10,4啲值域與gx在X-0,4的值域的交集非空，則一定存在1,0,4使得f(i)-g(2)|；：1成立，如果函數(shù)fx在x1.0,4啲值域與gx在x：=10,4啲值域的交集是空集，只要這兩個(gè)值域的距離的最小值小于1即可.由(I)可得，函數(shù)fx在x：IO,4的值域?yàn)椴?a3e3,a-6,又gx在x0,4的值域?yàn)樽謅2gmaxgmax存在1,20,4使得f(1)-g(2)<1成立，等價(jià)于至a6.4x-fminx：1，容易證明fmaxx-gminx&l

14、t;1或(225)0®3.2于是,疋+2T,W+6)"a>0.f(x)g(x)Jx-(2a+3)e3a+6a2+25(a2+25)e4【例9】已知函數(shù)f(x)=二2X0,1.2x(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間和值域；設(shè)a-1，函數(shù)gx=x3-3a2x-2a,x，0,1，若對(duì)于任意x<0,1，總存在X。0,1使得g(xo)=f(xj成立，求a的取值范圍.2【分析及解】(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(X)二彎-7-1)-7)(2-x)(2-x)令f(x)=0解得X=1或X=7.22可以求得，當(dāng)x(o£)時(shí)，f(x)是減函數(shù)；當(dāng)(2,1)時(shí)，f(x)是增函數(shù).

15、當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)的值域?yàn)?4,-31.(2)對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g(x)=3(x2-a2).因?yàn)閍_1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)：3(1-a2)乞0.因此當(dāng)X，(0,1)時(shí)，g(x)為減函數(shù)，從而當(dāng)x0,1時(shí)有g(shù)(x)g(1),g(0).又g(1)“-2a-3a2,g(0)=-2a,即x0,1時(shí)有g(shù)(x)的值域?yàn)槭?-2a-3a2,-2a.如何理解“任給捲0,1，f(xj-4,-3，存在X。0,1使得g(X0)=f(X1)”，實(shí)際上，這等價(jià)于f(x)值域是g(x)值域的子集，即1-2a-3a2,-2a二Y,-3.這就變成一個(gè)恒成立問(wèn)題，f(x)的最小值不小于g(x)的最小值，f(x)

16、的最大值不大于g(x)的最大值12a-3a2aK-3.12a-3a2aK-3.-4,解式得a一1或a-；3解式得a乞32又a-1,故a的取值范圍為仁a.2以上幾個(gè)例題主要探討的是不等式的“恒成立”與“能成立”的問(wèn)題,在歷年高考中還出現(xiàn)過(guò)“恰成立”和“部分成立”的題目，例如：【例10】已知fX=x2仝巴對(duì)任意X.1,.二，fX_0恒成立，試求X實(shí)數(shù)a的取值范圍；已知fx2Xa,當(dāng)1：，fx的值域是0：，試求實(shí)數(shù)ax的值.【分析及解】這兩問(wèn)給出的函數(shù)的表達(dá)式相同，X的范圍相同，fX的取值區(qū)間也相同，但是，由于設(shè)問(wèn)的含義不相同，所以解題的目標(biāo)也不相同.本題的第(1)問(wèn)是一個(gè)恒成立問(wèn)題，2fx2-a-

17、0對(duì)任意1,恒成立X等價(jià)于x=x22xa_0對(duì)任意x1,恒成立，又等價(jià)于x一1時(shí)x的最小值-0成立.由于®(x)=(x+1f+a-1在1,咼)上為增函數(shù),則-minX1=a3,所以a3一0,a一-3第(2)問(wèn)是一個(gè)恰成立問(wèn)題，2+.這相當(dāng)于fx淪Xa_0的解集是X，1,=X當(dāng)a一0時(shí)，由于X-1時(shí),2fx=X2X一=x-2_3，與其值域是0,心I矛盾,xx2當(dāng)a：0時(shí),fx/=x-2是1,；上的增函數(shù),xx所以，fx的最小值為f1,令f1=0，即1a2=0,a3.【例11】已知c0，設(shè)P:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減；Q:x+|x-2c>1的解集為R如果P和Q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍.【分析及解】函數(shù)Z在R上單調(diào)遞減二0：c:1，(x+x-2C山=2c.J+|x-2c2x2c，x=2c，Zc,x<2g二x十x-2c>1在R上恒成立x2c1的解集為R1(X+X-2C人山>22c>1二C?.如果P正確，且Q不正確，則0：cJ,2如果Q正確，且P不正確，則c_1.由以上,c的取值范圍是0,|1+-3C這是一個(gè)部分成立問(wèn)題.【例12】已知：fxAx3px2qxr,且p2：3q，若對(duì)xR都有fm2-sinx一f