復變函數積分變換

1、 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換第六章第六章 積分變換積分變換 一一. Fourier變換變換 二二. Laplace變換變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 一 Fourier變換 1 從Fourier級數到Fourier積分 2 Fourier變換 3 單位脈沖函數及其傅氏變換 4 性質 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換在在一一定定條條件件下下，當當l

2、越越大大，式式（6-1）和和式式（6-2）兩兩式式右右邊邊近近似似程程度度越越高高，進進一一步步把把式式（6-1）改改寫寫成成一一個個0,上上的的積積分分和和： 112xnf xf t dtFnl（6-3） 其其中中l(wèi), 而而 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換在式（在式（6-3）兩邊令）兩邊令l ，注意到當，注意到當l 時，時，0，由式（，由式（6-5） ，得到：） ，得到： 0101()0limlimlimlimxnNxAnNAAxAfxFnFnFd （6-6） 式（式（6-6）的右邊相當于

3、一個無窮限積分的定義，從而有：）的右邊相當于一個無窮限積分的定義，從而有： 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換

4、復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換故定義故定義 Fourier 逆變換為逆變換為 -11( )2i xGGedf xF F。 例例 6-3 求函數求函數0,0;( ),0ttf tet 的傅氏變換及積分表達的傅氏變換及積分表達式，其中式，其中0. 這個這個( )f t叫做指數衰減函數，叫做指數衰減函數， 是無線電技是無線電技術中常見的一個函數。術中常見的一個函數。 解：根據解：根據( )( ),j tGf t

5、 edt 有有 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與

6、積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換4 性質性質 (1) 線性性質線性性質 設設1122( )( ),( )( ),GF f tGF f t 是常數。則是常數。則 1212( )( )( )( ).Ff tf tGG 這個性質的作用是很顯然的， 表明了函數線性組合的傅氏

7、變換等于各函這個性質的作用是很顯然的， 表明了函數線性組合的傅氏變換等于各函數傅氏變換的線性組合。它的證明只需根據定義就可推出。數傅氏變換的線性組合。它的證明只需根據定義就可推出。 同樣，傅氏逆變換的線性組合亦具有類似的線性性質，即同樣，傅氏逆變換的線性組合亦具有類似的線性性質，即 11212( )( )( ).FGGf tft (2) 位移性質位移性質 00 () ( ).j tF f tteF f t 它表明時間函數它表明時間函數( )f t沿沿0,tt軸位移相當于它的傅氏變換相當于它的傅氏變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換乘以因子乘以因子0j te。

8、 證證 由傅氏變換的定義，可知由傅氏變換的定義，可知 000000() ()()(,) ( ) ( ) ( ).j tju tj tj uj tF f ttf tt edtttu dtduf u eduef u edueF f t令 同樣，傅氏逆變換亦具有類似的位移性質，即同樣，傅氏逆變換亦具有類似的位移性質，即 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大

9、學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換1( ) ( )tFf t dtF f tj 它它表表明明一一個個函函數數積積分分后后的的傅傅氏氏變變換換等等于于這這個個函函數數的的傅傅氏氏變變換換除除以以因因子子j。 例例 6-6 求求微微分分積積分分方方程程 ( )( )( )( )tax tbx tcx t dth t 的的解解，其其中中, ,a b c均均為為常常數數。 解解：根根據據傅傅氏氏變變換換的的微微分分性性質質和和積積分分性性質質，且且記記 ( )( ), ( )( ).F x tXF h tH 哈爾濱

10、工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換在方就可以得到此微分方程的解。在方就可以得到此微分方程的解。 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換二 Laplace 變換 1 從Fourier變換到Laplace 變換 2 拉氏變換的性質 3 拉氏逆變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學

11、復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾

12、濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱

13、工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分

14、變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復

15、變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈爾濱工程大學 復變函數與積分變換復變函數與積分變換 哈爾濱工程大學哈