第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)

1、 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣. .24 d求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.比如，已知圓軸截面直徑比如，已知圓軸截面直徑 d 的分布，的分布，再比如再比如 ，已知，已知 分子運(yùn)動(dòng)速度分子運(yùn)動(dòng)速度 X 的分布，的分布，求該分子動(dòng)能求該分子動(dòng)能 的分布的分布.212YmX ( )()()iiif xXxXxYyf xYXYf X 設(shè)設(shè)是是定定義義在在隨隨機(jī)機(jī)變變量量 一一切切可可能能取取值值 所所構(gòu)構(gòu)成成集集合合上上的的函函數(shù)數(shù)，若若隨隨 取取值值為為 時(shí)時(shí)，隨隨隨隨機(jī)機(jī)變變量量機(jī)機(jī)變變量量取取值值與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng) 則則稱稱 是是關(guān)

2、關(guān)于于 的的函函數(shù)數(shù)，記記作作 隨機(jī)變量函數(shù)雖然揭示的是兩個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)隨機(jī)變量函數(shù)雖然揭示的是兩個(gè)隨機(jī)變量的關(guān)系，但其本質(zhì)依然是建立在取值之間的對(duì)應(yīng)。系，但其本質(zhì)依然是建立在取值之間的對(duì)應(yīng)。 如何由如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？ 例如：設(shè)例如：設(shè)X為隨機(jī)變量，則為隨機(jī)變量，則 為隨機(jī)變量函數(shù)為隨機(jī)變量函數(shù).2YX ()P Yx 2()P Xx()PxXx()P Yx 2()P Xx()()P XxP Xx 研究隨機(jī)變量函數(shù)的分布，無非就是通過已知研究隨機(jī)變量函數(shù)的分布，無非就是通過已知的自變量分布情況，推知因變量的概率分布情況的自變量分布情況，推知因變量的概率分布情況

3、解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)，時(shí)，Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，1357130.20.50.3Y故故設(shè)設(shè) X1250.20.50.3求求 Y= 2X + 3 的概率分布的概率分布. 例例1P(Y=5) = P(2X+3=5) = P(X=1)=0.2P(Y=7) = P(2X+3=7) = P(X=2)=0.5P(Y=13) = P(2X+3=13) = P(X=5)=0.3解：解：Y 的所有取值為的所有取值為 3，2，3，即，即 2，3 設(shè)設(shè)求求 Y= X 2+2 的概率分布的概率分布. 例例2X1010.30.60.1 230.60.4Y P(Y=2) = P(X 2+2=

4、2) = P(X =0) =0.6P(Y=3) = P(X 2+2=3) = P(X = - -1) + P(X =1)= 0.4 如果如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它們作適中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可當(dāng)并項(xiàng)即可.一般地，若一般地，若X是離散型隨機(jī)變量，是離散型隨機(jī)變量，X 的分布律為的分布律為X1212nnxxxppp則則 Y=g(X)1212( )()()nng xg xg xppp 設(shè)設(shè)求求 Y= (X - -1)2 的概率分布的概率分布. 練習(xí)練習(xí)210130.30.20.10.30.1X0149 0.30.10.30.3Y答答案案：( )( )()( )( ).

5、XXYYXfxFxYf XFyfy 已已知知 的的或或，求求的的或或1. 定義法定義法對(duì)于對(duì)于X存在正概率密度區(qū)間上的一切存在正概率密度區(qū)間上的一切x，令，令min( ), max( )xxf xf x ( )YFy針針對(duì)對(duì)( )0yFy ( ()P f Xy()yP XD( )yXDfx dx (1),( )=( );YYy fyFy (2) , ) ( )0.Yy fy，(1)y ( )()yFyP Yy( )1yFy (2)y (3)y( )Yfy針針對(duì)對(duì)3(5,6),XU例例 ：圓圓的的直直徑徑為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量求求面面積積的的概概率率分分布布2(5,6),4XUYX 解解：由由已已

6、知知且且面面積積21 56( ),(5,6)40 Xxfxyx ，對(duì)對(duì)于于函函數(shù)數(shù)單單調(diào)調(diào)其其它它22565625=min(),=max()9444xxxx 25(1),( )0;4YyFy (2)9 ,( )1;YyFy 3(5,6),XU例例 ：圓圓的的直直徑徑為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量求求面面積積的的概概率率分分布布25(3)9 ,4y2()4PXy(5,6)X由由于于 只只在在存存在在概概率率密密度度( )()yFyP Yy44()PyXy4(5)PXy454=15ydxy 454=565yy （）250 4425( )5 941 9YyyFyyy 3(5,6),XU例例 ：圓圓的的直直徑徑

7、為為隨隨機(jī)機(jī)變變量量求求面面積積的的概概率率分分布布( )( )YYXfyFy對(duì)對(duì)于于 的的密密度度函函數(shù)數(shù)，可可由由求求導(dǎo)導(dǎo)計(jì)計(jì)算算251 94( )=0 Yyyfy 其其它它44( )(5)=()(5)yXXFyPXyFyF另另外外在在剛剛才才分分布布函函數(shù)數(shù)的的計(jì)計(jì)算算中中4441( )( ) ()(5)()()1YyXXXfyFyFyFfyyy 例例4 設(shè)設(shè) X 概率密度概率密度為為 , 求求 Y=X2 的概率密度的概率密度.)(xfX)(yXyP當(dāng)當(dāng) y0 時(shí)時(shí),)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0 ，故當(dāng)故當(dāng) y 0 時(shí)，時(shí)， .0)(yFY)(xFX)(y

8、FY解：解： 設(shè)設(shè)Y 和和 X 的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，)()(yFyFXX YFyP Yy則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為： 21,02( )0,0yYyeyfyy 1()() ,0( )2( )0,0XXYYfyfyydF yyfydyy 求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得若若221( )2xXfxe ,x ( )()()YXXFyFyFy 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過程中，的過程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從關(guān)鍵的一步是設(shè)法從 f(X) y 中解出中解出X, 從而得到與從而得到與 f(X) y 等價(jià)的等價(jià)的X 的不等式的不等式 . 這樣是為了利用

9、已知的這樣是為了利用已知的 X的分布，從而求出相的分布，從而求出相應(yīng)的概率應(yīng)的概率.例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y 82yX 用用 代替代替 X2 y yXy( )( )yYYXFyfy 連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的分分布布，從從分分布布函函數(shù)數(shù)定定義義出出發(fā)發(fā)，通通過過等等概概率率事事件件的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化，建建立立隨隨機(jī)機(jī)變變量量 與與 之之間間分分布布函函數(shù)數(shù)的的聯(lián)聯(lián)系系，得得到到，后后利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系求求得得。 這這就就是是求求解解隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)概概率率分分布布的的定定義義法法。( , ) 值值得得說說明明的的是是，定定義義法法可可以以針針對(duì)對(duì)幾幾乎乎

10、所所有有類類型型的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)，而而且且關(guān)關(guān)鍵鍵就就在在于于內(nèi)內(nèi)分分布布函函數(shù)數(shù)解解析析式式的的確確定定。 (0,1).2XXNYe 練練習(xí)習(xí)設(shè)設(shè)，求求的的概概率率密密度度0( )()()()0XyyFyP YyP eyP 解解：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0( )()()XyyFyP YyP ey當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，2ln 21(ln )2xyP Xyedx 2(ln ) 21, 0( )( )2 0, 0yYYeyfyFyyy 2. 公式法公式法（單調(diào)或在單調(diào)區(qū)間分析的隨機(jī)變量函數(shù)）（單調(diào)或在單調(diào)區(qū)間分析的隨機(jī)變量函數(shù)）= ()Y f Xy增增函函，對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)若若為為單單調(diào)調(diào)( )()( ()YFyP

11、 YyP f Xy 11( )( )XP XfyFfy1( )(YXYyfyFyFfy 11( )( )XFfyfy 11( )( )Xffyfy = ()Y f Xy減減函函，對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)若若為為單單調(diào)調(diào)( )()( ()YFyP YyP f Xy 111( )1( )=1( )XP XfyP XfyFfy1( )1()( )YXYyfyFyFfy 11( )( )XFfyfy 11( )( )Xffyfy = ()Y f X綜綜上上所所述述： 若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)11( ) ( ) ( )=0 XYffyfyyfy 其其它它1( )()fyYf X 為為隨隨機(jī)機(jī)

12、變變量量函函數(shù)數(shù)的的直直接接反反函函數(shù)數(shù)。隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的單單調(diào)調(diào)性性決決定定導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)符符號(hào)號(hào)。min(),xfx max(),xfx 22()21( ),2xXfxex 解：解：baxxgy )(ayh1)( yabyfayfXy),(1)( 例例5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布， 證明證明 2( ,)XN YaXb 也也服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布.abyyhx )(解得解得的概率密度為的概率密度為所以所以baXY 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為22()211( )2y bayfyea 此例說明：正態(tài)變量的線性函數(shù)仍是正態(tài)變量此例說明：正態(tài)變量的線性函數(shù)仍是正態(tài)變量.即即 2, ()YaXbN aba所以所以 22()21 2yb aaeya 1, ,ab 特別，特別，即即,XY 則則(0,1).YN練習(xí)練習(xí)38, 04( )0, xxXf x 設(shè)設(shè)其其它它求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：由由 y=2x+8 ，解得，解得( ),82yxh y ( ),12h y Y=2X+8 的概率密度為的概率密度為8,81618( )()32220,Yxyyyfyf 其其它它由由 0 x 4，得，得 8 y 16，( ) ( )( )YXfyfh yh y 2221,01( )