2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版選修2-1學(xué)案：3章末復(fù)習(xí)提升

1、章末復(fù)習(xí)提升I知識(shí)網(wǎng)絡(luò)整體構(gòu)建產(chǎn)要點(diǎn)歸納主干械理1 空間向量的運(yùn)算及運(yùn)算律空間向量加法、減法、數(shù)乘、向量的意義及運(yùn)算律與平面向量類似，空間任意兩個(gè)向量都可 以通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為平面向量，兩個(gè)向量相加的三角形法則與平行四邊形法則仍然成立.2兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算向量的數(shù)量積運(yùn)算要遵循數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，常用于有關(guān)向量相等、兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中.3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后再利用有關(guān)公式計(jì)算求 解.常用向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題，利用向量的夾角公式和距離公式求解空間角與空間距離的問(wèn)題.4空間向量的基本定理說(shuō)明：用三個(gè)不共面的已知向量a, b, c

2、可以線性表示出空間任意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是惟一的.5利用向量解決幾何問(wèn)題具有快捷、有效的特征一般方法如下：先將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的向量問(wèn)題，即將已知條件中的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角，線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的運(yùn)算解決該向量問(wèn)題，從而原問(wèn)題得解.6.禾 U 用向量坐標(biāo)解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)位置，建立適當(dāng)、正確的空間直角坐標(biāo)系，難點(diǎn)是在已建好的坐標(biāo)系中表示出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，只有正確表示出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，才能通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)幾何問(wèn)題的代數(shù)化解法.思損構(gòu)建1.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合來(lái)思索，抽象思維和形象思維結(jié)合， 通

3、過(guò)“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，從而起到優(yōu)化解題過(guò)程的目的.空間向量是既有大小又有方向的量，空間向量本身就具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，因此將立體幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合在一起，使解答過(guò)程順暢、簡(jiǎn)捷、有效，提高解題速度.例 1 某幾何體 ABC AIBICI的三視圖和直觀圖如圖所示.(1)求證：AiC 丄平面 ABiCi；求二面角 Ci ABi C 的余弦值.(1)證明由三視圖可知，在三棱柱 ABC AiBiCi中,AAi丄底面 AiBiCi, BiCi丄 AiCi，且 AAi= AC = 4, BC= 3.以點(diǎn) C 為原點(diǎn)，分別以 CA, CB, CCi所

4、在直線為 x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.由已知可得 A(4,0,0), B(0,3,0), C(0,0,0), AI(4,0,4) , Bi(0,3,4) , Ci(0,0,4), CAi=(4,0,4), CiA = (4,0, 4), CiBi=(0,3,0), CAiCiA=0,CAiCiBi=0, CAi丄 CiA, CAi丄 CiBi,又 CiAACiBi= Ci, CiA?平面 ABiCi,CiBi?平面 ABiCi, -AiC 丄平面 ABiCi.解 由得，CA= (4,0,0), CBi= (0,3,4),設(shè)平面 ABiC 的法向量為 n= (x, y,

5、 z),TTCA n = 0,x= 0,/ CA 丄 n, CBi丄 n, 即,CBin=0,3y+4z=0,33令 y= i，則 z= 4, n = (0,i, - 4),又由知，平面 ABiCi的一個(gè)法向量為 CAi= (4,0,4),跟蹤訓(xùn)練 i 已知正方體 ABCDAiBiCiDi的棱長(zhǎng)為 2, E、F 分別是 BBDDi的中點(diǎn)，求證:(i)FCi 平面 ADE;(2)平面 ADE /平面 BiCiF.證明建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系D xyz,則有 D(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), Ci(0,2,2), E(2,2,i) , F(0,0,i), Bi(2,2,

6、2),所以 FCi= (0,2,i),DA = (2,0,0) , AE = (0,2,i).設(shè) ni= (xi, yi, zi)是平面 ADE 的法向量, cos n CAi|n| |CAi|3*2i0 ,.面Ci ABi C 的余弦值為3,2i0 .則 n1XDA,n1XAE,niDA = 2xi= 0,即 f -IniAE = 2yi+ zi= 0,令 zi= 2,則 yi= 1,所以 ni= (0， 1,2). 因?yàn)?FCini= 2 + 2= 0,所以 FCi丄 ni.又因?yàn)?FCi?平面 ADE，所以 FC,平面 ADE.因?yàn)?CiBi= (2,0,0)，設(shè) n2=(X2,y2,Z

7、2)是平面 BiCiF 的一個(gè)法向量.由 n2丄 FCi,n2丄 CiBi, n2FCi=2y2+ Z2= 0,x2= 0,得 得In2CiBi= 2x2= 0,Z2=2y2.令 Z2= 2,得 y2= i,所以 n2= (0， i,2),因?yàn)?ni= n2,所以 n, n2,所以平面 ADE /平面 BiCiF.2.轉(zhuǎn)化和化歸思想轉(zhuǎn)化和化歸思想是指在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略.其本質(zhì)含義是：在解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)人們的眼光并不落在結(jié)論上， 而是去尋覓、追溯一些熟知的結(jié)論，由此將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化大為小，各個(gè)擊破，達(dá)到最終 解決問(wèn)題的目的.例 2

8、 如圖所示，已知多面體 EABCDF 的底面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 2 的正方形,宀iEA 丄底面 ABCD , FD / EA，且 FD = ?EA = i.(1) 求多面體 EABCDF 的體積；(2) 求直線 EB 與平面 ECF 所成角的正弦值；(3)記線段 BC 的中點(diǎn)為 K，在平面 ABCD 內(nèi)過(guò)點(diǎn) K 作一條直線與平面 ECF 平行，要求保留 作圖痕跡，但不要求證明.解如圖所示，連結(jié) ED ,/EA 丄底面 ABCD 且 FD / EA, FD 丄底面 ABCD , FD 丄 AD,/DC 丄 AD , FDACD = D,xi= 0,得|zi= 2yi,ECEK CFD?平面 F

9、DC , CD?平面 FDC , AD 丄平面 FDC ,1 11 2VE FCD=3ADSFDC=3%2X1X2X2=3.1 1 8VEABCD=3EA S?ABCD=3X2X2X2=3,如圖所示，取線段 CD 的中點(diǎn) Q,連結(jié) KQ,直線 KQ 即為所求. 跟蹤訓(xùn)練 2如圖，四棱錐 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其對(duì)角線 AC = 2,fl KBD = 2.CF 與平面 ABCD 垂直，CF = 2求二面角 BAFD 的大小. 解 過(guò)點(diǎn) A 作 AE 丄平面 ABCD.以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，BD、AC、AE 方向分別為 x 軸、y 軸、z 軸的正方向 建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).多面

10、體 EABCDF10的體積 V多面體=VE-FCD+VE以點(diǎn) A 為原點(diǎn)，AB 所在的直線為 x 軸，AD 所在的直線為 y 軸，AE 所在的直線為 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.由已知可得 A(0,0,0), E(0,0,2) , B(2,0,0), C(2,2,0), F(0,2,1), EC= (2,2 ,2), EB= (2,0 , 2), EF = (0,2 , 1),設(shè)平面ECF 的n= (x, y, z),n EC = 0,則$Tn EF = 0,2x+ 2y 2z= 0,得2y z= 0,取 y= 1，得平面 ECF 的一個(gè)法向量為 n= (1,1,2),設(shè)直線 EB 與

11、平面 ECF 所成角為 0,sin0=|cos n,TB|=|哼|n| |EB|于是 B # 1, 0 ,D -2, 1 , 0 , F(0,2,2).設(shè)平面 ABF 的法向量ni= (x, y, z),niAB = 0,寫x+ y= 0,則由T得2niAF = 0,2y+ 2z= 0.x=邁，令 z= 1，得所以 ni= ( 2, 1,1).y= 1.同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2= ( 2, 1,1).由 n1n2= 0 知，平面 ABF 與平面 ADF 垂直，n所以二面角 BAFD 的大小等于 p3.方程思想方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模

12、型(方程、不等式)，然后通過(guò)解方程(組)或不等式(組)來(lái)使問(wèn)題獲解用空間向量解決立體幾何問(wèn)題屬 于用代數(shù)方法求解，很多時(shí)候需引入未知量.例 3 如圖所示，在四棱錐 P ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，側(cè)棱 PA 丄底面 ABCD , AB= 3, BC= 1, FA = 2, E 為 PD 的中點(diǎn).(1)求直線 AC 與 PB 所成角的余弦值；在側(cè)面 PAB 內(nèi)找一點(diǎn) N,使 NE 丄平面 PAC,并求出點(diǎn) N 到 AB 的距離和點(diǎn) N 至 U AP的距離.解(1)以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，1則 A(0,0,0), B(V3, 0,0), C(邁,1,0), P(0,0

13、,2), D(0,1,0), E(0 ,1, 1),從而 AC= ( .3 , 1,0) , PB= ( .3 , 0, 2).設(shè) AC 與 FB 的夾角為0,IAC PB|=_3_=沁沁T T2y - 714|AC|PB|27則 cos0=(2)由于點(diǎn) N 在側(cè)面 FAB 內(nèi)，故可設(shè)點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(x,0, z),T1則 NE = ( x, 2, 1 - z) T-Ta由題意知 AF= (0,0,2) , AC= ( 3, 1,0),NEAP= 0, 由 NE 丄平面 FAC,得 fjNlAC=0,廠1i x,2，1z0,0,2=0,即1x,2，1Z .3,1,0=0,化簡(jiǎn)得廣1=:羊-羽

14、 x+ 1=0,z= 1,即點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（W3, 0,1）,1 對(duì)本章的考查的重點(diǎn)是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解；空間中簡(jiǎn)單的點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)面距的求解.給出位置關(guān)系、角度或距離探求點(diǎn)的存在性問(wèn)題在近幾年考查中已有體現(xiàn).題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，滲透空間向量的基本概念和運(yùn)算.所以 AC 與 PB 所成角的余弦值為3114.所以點(diǎn) N 到 AB 的距離為 1 ,點(diǎn) N 到 AP 的距離為跟蹤訓(xùn)練 3 如圖，在直二棱柱 ABC-A1B1C1中，AB= 4, AC = BC =3, D

15、 為 AB 的中點(diǎn).（1）求點(diǎn) C 到平面 A1ABB1的距離；若 AB1丄 A1C，求二面角 A1-CD-C1的平面角的余弦值.解（1）由 AC = BC, D 為 AB 的中點(diǎn)，得 CD 丄 AB,又 CD 丄 AA.AA1 AB = A, AA1?平面 A1ABB1, AB?平面 A1ABB1,故 CD 丄平面 A1ABB1,所以點(diǎn) C 至 U 平 面A1ABB1的距離為 CD= -BC2 BD2=5.如圖，過(guò)點(diǎn) D 作 DD1 AA1交 A1B1于 D1,在直二棱柱中，易4知 DB, DC , DD1兩兩垂直，以 D 為原點(diǎn)，射線 DB , DC, DD1分別為 x 軸，y 軸，z 軸

16、的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D xyz.Vsi1A- A5-設(shè)直三棱柱的高為h,則 A( - 2,0,0), Ai( 2,0, h), Bi(2,0, h), C(0, .5, 0), Ci(0, 5,h)，從而 ABi= (4,0,h), AiC=(2,5, h),由 ABiAC，有 8 h2 1 3 4= 0, h= 2 2.故 DAi=(2,0,2 .2),CCi=(0,0,2 .2),DC=(0,5,0).設(shè)平面 AiCD 的法向量為 m = (xi, yi, zi),TTV5yi=0,則 m 丄 DC, m DAi,即卩 | 2xi+ 2? 2zi= 0,取 zi= i,得 m= (*2, 0,i).設(shè)平面 CiCD 的法向量為 n = (x2, y2, Z2),T TW5y2=0,則 n 丄 DC, n 丄 CCi,即卩2 返 Z2= 0,取 X2= i,得 n= (i,0,0),-課堂小結(jié)-空間向量的引入為立體幾何問(wèn)題的解決提供了新的思路, 對(duì)空間向量的考查往往滲透于立體幾何問(wèn)題解決的過(guò)程之中，成為高考必考的熱點(diǎn)之一.3 空間向量的引入使空間幾何體也具備了“數(shù)字化”的特征，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、 距離的求解變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問(wèn)題，降低了思維的難度， 成為高考所以 cos m , n|m| |n|所以二面角 AiCD