第13章動態(tài)優(yōu)化模型

1、第十三章第十三章 動態(tài)優(yōu)化模型動態(tài)優(yōu)化模型13.1 速降線與短程線速降線與短程線13.2 生產(chǎn)計(jì)劃的制訂生產(chǎn)計(jì)劃的制訂13.3 多階段最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃多階段最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃 連續(xù)動態(tài)過程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值連續(xù)動態(tài)過程的優(yōu)化歸結(jié)為求泛函的極值. 求泛函極值的常用方法求泛函極值的常用方法: 變分法、變分法、最優(yōu)控制論最優(yōu)控制論. 離散動態(tài)過程的優(yōu)化離散動態(tài)過程的優(yōu)化 動態(tài)規(guī)劃模型動態(tài)規(guī)劃模型.靜態(tài)優(yōu)化問題靜態(tài)優(yōu)化問題優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值最優(yōu)策略是數(shù)值最優(yōu)策略是數(shù)值 函數(shù)對應(yīng)的數(shù)值稱為泛函函數(shù)對應(yīng)的數(shù)值稱為泛函(函數(shù)的函數(shù)函數(shù)的函數(shù)).動態(tài)優(yōu)化問題動態(tài)優(yōu)化問題優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值優(yōu)化目標(biāo)是數(shù)值最優(yōu)策

2、略是最優(yōu)策略是函數(shù)函數(shù)13.1 速降線與短程線速降線與短程線 通過兩個古典問題介紹變分法的基本概念通過兩個古典問題介紹變分法的基本概念, 給出主要結(jié)果給出主要結(jié)果. 速速降降線線問問題題 給定豎給定豎直直平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個點(diǎn)平面內(nèi)不在一條垂直線上的兩個點(diǎn)A, B, 求連接求連接A, B的光滑曲線，使質(zhì)的光滑曲線，使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以點(diǎn)在重力作用下沿該曲線以最最短時間短時間從從A滑到滑到B (摩擦力不計(jì)摩擦力不計(jì)). A. B若沿陡峭曲線下滑若沿陡峭曲線下滑, 雖路徑加長，但速度增長很快雖路徑加長，但速度增長很快.若沿直線段若沿直線段AB下滑下滑, 路徑雖短路徑雖短, 但速度增

3、長慢但速度增長慢; 速速降降線線問問題題 . A. B建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系xOy, xyy=y(x)O曲線弧長曲線弧長 2d1dsyx能量守恒能量守恒21d()2dsmmgyt質(zhì)點(diǎn)在曲線質(zhì)點(diǎn)在曲線y(x)上的速度上的速度ds/dt 21dd2ytxgy質(zhì)點(diǎn)沿曲線質(zhì)點(diǎn)沿曲線y(x)從從A到到B的時間的時間 1201( ( )d2xyJ y xxgy11)(, 0)0(yxyy求求y(x) 使使 J(y(x) 達(dá)到最小達(dá)到最小. m質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，g重力加速度重力加速度 A(0,0), B(x1,y1), 曲線曲線AB y=y(x) 滿足條件滿足條件短短程程線線問問題題 . A. Bxyzo給

4、定曲面上的兩個點(diǎn)給定曲面上的兩個點(diǎn)A, B, 求曲面上連接求曲面上連接A, B的最短曲線的最短曲線. 建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 )曲線的弧長曲線的弧長 22d1dsyzx曲線的長度曲線的長度 1022( ( ), ( )1dxxJ y x z xyzx求求y =y(x), z =z(x) 使使J(y(x) , z(x)達(dá)到最小達(dá)到最小. 0)(),(,(xzxyxf滿足條件滿足條件曲面方程曲面方程f(x,y,z)=0 f(x,y,z)=0曲面上連接曲面上連接A, B的曲線的曲線 y =y(x), z =z(x) y =y(x) z =z(

5、x)泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值自變量自變量t，函數(shù)，函數(shù)x(t), y(t) 函數(shù)、函數(shù)的微分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值 1. 對于對于t在某域的任一個值在某域的任一個值, 有有y的一個值與之對應(yīng)的一個值與之對應(yīng), 稱稱y是是t的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作y=f(t) 1.對于某函數(shù)集合的每一個函對于某函數(shù)集合的每一個函數(shù)數(shù)x(t), 有有J的一個值與之對應(yīng)的一個值與之對應(yīng), 稱稱J是是x(t)的泛函的泛函, 記作記作J(x(t) 2. t在在t0的增量記作的增量記作 t= t- t0, 微分微分dt= t 2. x(t)在在x0(

6、t)的增量記作的增量記作 x(t)= x(t)-x0(t)， x(t)稱稱x(t)的變分的變分 3. y在在t0的增量記作的增量記作 f= f(t0+ t) - f(t0)， f的線性主部是函數(shù)的線性主部是函數(shù)的微分的微分, 記作記作dy，dy = f (t0)dt 3. 泛函泛函J(x(t)在在x0(t)的增量記的增量記作作 J = J(x0(t)+ x(t)- J(x0(t), J的線性主部稱的線性主部稱泛函的變分泛函的變分,記作記作 J(x0(t) 泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值函數(shù)、函數(shù)的微分和極值 泛函、泛函的變分和極值泛函、泛函的變分和極值 4.

7、 若函數(shù)若函數(shù)y在域內(nèi)在域內(nèi)t點(diǎn)達(dá)到極點(diǎn)達(dá)到極值，則在值，則在t點(diǎn)的微分點(diǎn)的微分dy(t)=0 4. 若泛函若泛函J(x(t)在函數(shù)集合內(nèi)的在函數(shù)集合內(nèi)的x(t)達(dá)到極值達(dá)到極值, 則在則在x(t)的的變分變分 J(x(t)=0 0d ( )()y tf tt 5. y在在t的微分的另一表達(dá)式的微分的另一表達(dá)式5. 泛函泛函J(x(t)在在x(t)的變分可以表為的變分可以表為0)()()(txtxJtxJ泛函泛函J(x(t)在在x(t)達(dá)到極值的必要條件達(dá)到極值的必要條件 0)()(0txtxJ歐拉方程歐拉方程( (最簡泛函極值的必要條件最簡泛函極值的必要條件) )21( ( )( , ( )

8、, ( )dttJ x tF t x tx tt最簡泛函最簡泛函F具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，x(t)為二階可微函數(shù)為二階可微函數(shù) 固定端點(diǎn)條件下的泛函固定端點(diǎn)條件下的泛函 J(x(t)在在x(t)達(dá)到極值的必要條件達(dá)到極值的必要條件: x(t)滿足二階微分方程滿足二階微分方程d0dxxFFt0 xFxFFFxxxxx tx 2211)(,)(xtxxtx兩個任意常數(shù)由兩個任意常數(shù)由 確定確定 歐拉方程歐拉方程用歐拉方程解速降線問題用歐拉方程解速降線問題0 xFxFFFxxxxx tx 11)(, 0) 0(yxyy1201( ( )d2xyJ y xxgy求求y(x) 使使 達(dá)到

9、最小達(dá)到最小 , 且且歐拉方程歐拉方程yyyyF21),(0 yFyFFFyyyyyxyd()0dyFy FxcFyFycyyyyy)1 (122222/1)1 (cyy)cos1 ()sin(121tcycttcx圓滾線方程圓滾線方程 c2=0, c1由由y(x1)=y1確定確定.橫截條件橫截條件( (變動端點(diǎn)問題變動端點(diǎn)問題) )容許函數(shù)容許函數(shù) x(t)的一個端點(diǎn)固定的一個端點(diǎn)固定: x(t1)=x1，另一個端點(diǎn)，另一個端點(diǎn)在給定曲線在給定曲線 x= (t) 上變動上變動: x(t2)= (t2) (t2可變可變).x(t). A. Bx= (t)txot2歐拉方程在歐拉方程在變動端點(diǎn)的

10、定解條件變動端點(diǎn)的定解條件0)(2 ttxFxF x= (t)垂直于橫軸垂直于橫軸 (t2固定固定)02 ttxF x= (t)平行于橫軸平行于橫軸02 ttxFxF包含多個未知函數(shù)泛函的歐拉方程包含多個未知函數(shù)泛函的歐拉方程21( ( ), ( )( , ( ), ( ), ( ), ( )dttJ x tu tF t x tx tu tu ttdd0,0ddxxuuFFFFtt歐拉方程歐拉方程泛函的條件極值泛函的條件極值21( ( )( , ( ), ( )dttJ u tF t x tu tt)(),(,()(tutxtftx求求u(t) U (容許集合容許集合) 使使J(u(t)在條件

11、在條件下達(dá)到極值下達(dá)到極值, 且且x(t) X (容許集合容許集合) 最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題: u(t)控制函數(shù)控制函數(shù), x(t)狀態(tài)函數(shù)狀態(tài)函數(shù)(軌線軌線).泛函的條件極值泛函的條件極值21( ( )( , ( ), ( )dttJ u tF t x tu tt)(),(,()(tutxtftx用拉格朗日乘子化為無條件極值用拉格朗日乘子化為無條件極值21( ( ), ( )( , , )( )( , , )dttI x tu tF t x utf t x uxt),()(),(),(uxtftuxtFuxtH21()dttHxt歐拉方程歐拉方程d()()0dd()()0dxxuuHxHx

12、tHxHxt00)(uHtxH),(0)(uxtfxuHxHt由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制由方程組和端點(diǎn)條件解出最優(yōu)控制u(t)和最優(yōu)軌線和最優(yōu)軌線x(t).Hamilton函數(shù)函數(shù)13.2 生產(chǎn)計(jì)劃的制訂生產(chǎn)計(jì)劃的制訂問題問題 生產(chǎn)任務(wù)是在一定時間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品生產(chǎn)任務(wù)是在一定時間內(nèi)提供一定數(shù)量的產(chǎn)品. 生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率生產(chǎn)費(fèi)用隨著生產(chǎn)率(單位時間的產(chǎn)量單位時間的產(chǎn)量)的增加而變的增加而變大大. 貯存費(fèi)用隨著已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)量的增加而變大貯存費(fèi)用隨著已經(jīng)生產(chǎn)出來的產(chǎn)量的增加而變大. 生產(chǎn)計(jì)劃用每一時刻的累積產(chǎn)量表示生產(chǎn)計(jì)劃用每一時刻的累積產(chǎn)量表示.建模目的建模目的尋求尋求最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)

13、劃最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃, 使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用使完成生產(chǎn)任務(wù)所需的總費(fèi)用(生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和生產(chǎn)費(fèi)用與貯存費(fèi)用之和)最小最小.分析與假設(shè)分析與假設(shè)生產(chǎn)任務(wù)生產(chǎn)任務(wù): t=0開始生產(chǎn)開始生產(chǎn), t=T提供數(shù)量為提供數(shù)量為Q的產(chǎn)品的產(chǎn)品.生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)計(jì)劃(累積產(chǎn)量累積產(chǎn)量): x(t)生產(chǎn)率生產(chǎn)率(單位時間產(chǎn)量單位時間產(chǎn)量):)(txf ddfxx 生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用貯存費(fèi)用貯存費(fèi)用)(txg0( ( ) ( ( )( ( )dTC x tf x tg x tt總費(fèi)用總費(fèi)用 生產(chǎn)率提高一個單位的生產(chǎn)費(fèi)用與生產(chǎn)率成正比生產(chǎn)率提高一個單位的生產(chǎn)費(fèi)用與生產(chǎn)率成正比 貯存費(fèi)用與貯存量成正比貯存費(fèi)用與貯存量

14、成正比)()(2txktxg)()(21txktxf)(tx 模型與求解模型與求解2120( ( )( )( )dTC x tk xtk x ttQTxx)(, 0)0(求求x(t) ( 0, 0 t T)使使C(x(t)最小最小.d0dxxFFt歐拉方程歐拉方程)()(221txktxkF0)(212txkk tTkTkQktkktx1221212444)(考察考察x(t) 0 (0 t T) 的條件的條件txQTO1224/ kTkQ 只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)只有當(dāng)生產(chǎn)任務(wù)Q 足夠大足夠大時才需要從時才需要從 t=0開始生產(chǎn)開始生產(chǎn).,4/122kTkQ 若若 怎么辦怎么辦? ?0) 0(x 模型模

15、型解釋解釋最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃tTkTkQktkktx1221212444)(0)(212txkk 滿足方程滿足方程221dd( )ddkk xttx)()(21txktxfdd()ddftx)()(2txktxgddfx 邊際成本邊際成本生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用貯存費(fèi)用貯存費(fèi)用2ddgkx邊際貯存邊際貯存最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃在邊際成本的變化率等于邊際貯存時達(dá)到最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃在邊際成本的變化率等于邊際貯存時達(dá)到.生產(chǎn)計(jì)劃的制訂生產(chǎn)計(jì)劃的制訂 最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃的目標(biāo)函數(shù)只考慮生產(chǎn)費(fèi)用與貯存的目標(biāo)函數(shù)只考慮生產(chǎn)費(fèi)用與貯存 費(fèi)用費(fèi)用, 并對這兩種費(fèi)用作了最簡單的假設(shè)并對這兩種費(fèi)用作了最簡單的假設(shè). 對于泛

16、函極值問題用古典變分法求解對于泛函極值問題用古典變分法求解, 得到得到最優(yōu)最優(yōu)生生 產(chǎn)計(jì)劃產(chǎn)計(jì)劃x(t)(累積產(chǎn)量累積產(chǎn)量)為二次函數(shù)為二次函數(shù). 實(shí)際條件實(shí)際條件x(t) 0 導(dǎo)致對已知參數(shù)的要求導(dǎo)致對已知參數(shù)的要求:1224/ kTkQ 對函數(shù)施加的閉約束對函數(shù)施加的閉約束, 如對生產(chǎn)率的限制如對生產(chǎn)率的限制 可能導(dǎo)致可能導(dǎo)致古典變分法的失敗古典變分法的失敗.BtxA)( 若參數(shù)不滿足該要求怎樣處理若參數(shù)不滿足該要求怎樣處理?13.3 國民收入的增長國民收入的增長背景和問題背景和問題 國民經(jīng)濟(jì)收入的來源國民經(jīng)濟(jì)收入的來源: 擴(kuò)大再生產(chǎn)的積累擴(kuò)大再生產(chǎn)的積累 資金資金, 滿足人民生活需要的消

17、費(fèi)資金滿足人民生活需要的消費(fèi)資金 . 如何安排積累資金和消費(fèi)資金的比例，如何安排積累資金和消費(fèi)資金的比例， 使國民經(jīng)濟(jì)收入得到最快的增長使國民經(jīng)濟(jì)收入得到最快的增長. 從最優(yōu)控制的角度討論十分簡化的模型從最優(yōu)控制的角度討論十分簡化的模型.一般模型一般模型),()(uxtftx國民經(jīng)濟(jì)收入國民經(jīng)濟(jì)收入 x(t)，其中用于積累資金的部分，其中用于積累資金的部分y(t),求最優(yōu)積累率使國民收入求最優(yōu)積累率使國民收入 x(t)在時間在時間T內(nèi)增長最快內(nèi)增長最快.積累率積累率 u(t)=y(t)/x(t)(max,)0(0Txxx),(1uxtfH1000 xTxxxuxtftxuxtfuxtftux)

18、()(),()(),(),()(,國民收入增長率國民收入增長率對偶等價對偶等價,)(,)0(),()(10 xTxxxuxtftx0min( ( )dTJ u tt泛函條件極值泛函條件極值哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)求解最優(yōu)控制函數(shù)求解最優(yōu)控制函數(shù)u(t)和最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)狀態(tài)x(t).簡化模型簡化模型)()(/ )(buautxtx假設(shè)假設(shè)討論函數(shù)討論函數(shù)f的具體、簡化形式的具體、簡化形式1, 0)()0()()(0)2()()(xTxxxxbuautxxbuxabuaut描述以上假設(shè)的最簡模型描述以上假設(shè)的最簡模型國民收入相對增長率國民收入相對增長率)(/ )(txtx 積累率積累率u較小時較小時

19、隨隨u的增加而增加的增加而增加 積累資金擴(kuò)大再生產(chǎn)的促進(jìn)作用積累資金擴(kuò)大再生產(chǎn)的促進(jìn)作用.)(/ )(txtx 隨著隨著u的變大的變大 的增加變慢的增加變慢.)(/ )(txtx u增加到一定程度后增加到一定程度后 反而減小反而減小 消費(fèi)資金太少對國民收入的制約作用消費(fèi)資金太少對國民收入的制約作用.)(/ )(txtx xbuauuxtf)(),(1, 0)()0()()(0)2()()(xTxxxxbuautxxbuabuaut模型模型求解求解1000 xTxxxuxtftxuxtfuxtftux)()(),()(),(),()(,xbuauuxtftx)(),()(對于最簡模型對于最簡模型

20、 不必解泛函不必解泛函極值問題極值問題, 可以直接得到可以直接得到 u=a/2b時時 最大最大.xbuautx)()()(tx 使國民收入使國民收入 x(t)增長最快的最優(yōu)積累率是常數(shù)增長最快的最優(yōu)積累率是常數(shù) u=a/2b2140204( ),( )e,ln2atbxabu tx txTbax結(jié)果結(jié)果解釋解釋13.3 多階段最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃多階段最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃離散動態(tài)優(yōu)化問題離散動態(tài)優(yōu)化問題動態(tài)規(guī)劃模型是有效方法動態(tài)規(guī)劃模型是有效方法 問題問題 考察考察T個個時段某產(chǎn)品的時段某產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)計(jì)劃生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)c0 單件生產(chǎn)成本單件生產(chǎn)成本k 單件每時段單件每時段存貯費(fèi)存貯費(fèi)h0 每時段最

21、大生產(chǎn)能力每時段最大生產(chǎn)能力Xm 每時段最大存貯量每時段最大存貯量Im 第第1時段初有庫存量時段初有庫存量i1 制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃制訂產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃(每時段產(chǎn)量每時段產(chǎn)量)使使T個時段的總費(fèi)用最小個時段的總費(fèi)用最小 已知需求量已知需求量dt (t=1,2,T) 例例 T =3, d1=2, d2=1, d3=2, Xm =4,c0=3, k=2, h0=1, Im =3, i1=1 確定需求問題確定需求問題優(yōu)化模型優(yōu)化模型(最短路最短路)隨機(jī)需求問題隨機(jī)需求問題分析分析與與求解求解 生產(chǎn)費(fèi)用生產(chǎn)費(fèi)用時段時段t初的初的存貯量存貯量it, 時段時段t+1初的存貯量初的存貯量 it+1= it+ xt-

22、dt時段時段t的的存貯費(fèi)存貯費(fèi) h(it)= h0(it+ xt-dt) = it+xt-dt 時段時段t的的產(chǎn)量產(chǎn)量 xt (t=1,2,3)0, 00,23)(0tttttxxxkxcxcxtXm=4 4，itIm=3需求量需求量dt準(zhǔn)備費(fèi)準(zhǔn)備費(fèi)c0=3成本成本k=2存貯費(fèi)存貯費(fèi)h0=1最大生產(chǎn)能力最大生產(chǎn)能力Xm=4最大存貯量最大存貯量Im=3將多時段生產(chǎn)計(jì)劃問題簡化為多個單時段問題將多時段生產(chǎn)計(jì)劃問題簡化為多個單時段問題 由后向前分解由后向前分解時段時段3初的存貯量初的存貯量i3, 產(chǎn)量產(chǎn)量x3(i3), 最小費(fèi)用最小費(fèi)用f3(i3)1. 最后時段最后時段(時段時段3)需求量需求量d3

23、=2 f3(0)=c(2)= 3+2 2=7為使為使3個時段的總費(fèi)用最小，時段個時段的總費(fèi)用最小，時段3末的存貯量應(yīng)為末的存貯量應(yīng)為0 i3= 0f3(1)=c(1)= 3+2 1=5f3(2)=c(0)=0 x3(0)=2i3= 1x3(1)=1i3= 2x3(2)=0分析分析與與求解求解 2. 時段時段2需求量需求量d2=1 時段時段2初存貯量初存貯量i2, 產(chǎn)量產(chǎn)量x2(i2), 時段時段2,3最小費(fèi)用之和最小費(fèi)用之和時段時段2的費(fèi)用的費(fèi)用: c(x2)+h(i2) i3=i2+x2-1 )1()()(min)(22322222xifihxcifx1i2+x23 i2x2c(x2)h(i

24、2)f3(i2+x2-1)c+ h+ f3f2(i2)，x2(i2)0150712f2(0)=11x2(0)=3027151303920 11*10007 7*f2(1)=7x2(1)=01151511127209200156f2(2)=6x2(2)=021520730020 2*f2(3)=2x2(3)=03. 時段時段1時段時段1初存貯量初存貯量i1=1, 產(chǎn)量產(chǎn)量x1(i1), 需求量需求量d1=2 時段時段13最小費(fèi)用之和最小費(fèi)用之和時段時段1的費(fèi)用的費(fèi)用: c(x1)+h(i1) i2=i2+x2-2 )2()()(min)(11211111xifihxcifx2i2+x25 i1x

25、1c(x1)h=i1+x1-2f2(i1+x1-2)c+ h+ f2f1(i1)，x1(i1)11501116f1(1)=15x1(1)=212717 15*139261714113216f1(1)=15, x1(1)=2i2=i1+x1-2=1+2-2=1i3=i2+x2-1=1+0-1=0最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃：最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃：3個時段的產(chǎn)量為個時段的產(chǎn)量為x1=2，x2=0，x3=2x2(i2)=x2(1)=0 x3(0)=2最短路問題最短路問題 002101231路段1路段2路段1路段3終點(diǎn)多階段生產(chǎn)計(jì)劃多階段生產(chǎn)計(jì)劃尋找最短路尋找最短路5811145811069172750各路段站點(diǎn)各路段站點(diǎn):

26、 i1=1, i2=0,1,2,3, i3=0,1,2, i4=0兩站點(diǎn)距離兩站點(diǎn)距離: 本時段生產(chǎn)費(fèi)本時段生產(chǎn)費(fèi)與存貯費(fèi)之和與存貯費(fèi)之和 路段路段3各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離: f3(i3)路段路段2各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離各站點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離: f2(i2)路段路段1站點(diǎn)站點(diǎn)1到終點(diǎn)到終點(diǎn)的最短距離的最短距離: f1(1)最短路最短路: i1=1, x1(1)=2i2=1, x2(1)=0i3=0, x3(0)=2i4=0 它的子路徑如它的子路徑如 i2=1i3=0i4=0 也是也是最短路最短路確定需求下多時段確定需求下多時段(T時段時段)生產(chǎn)計(jì)劃的一般模型生產(chǎn)計(jì)劃的一般

27、模型最大生產(chǎn)能力最大生產(chǎn)能力Xm 最大存貯量最大存貯量Im 第第1時段初庫存量時段初庫存量i1 需求量需求量dt, 產(chǎn)量產(chǎn)量xt , 存貯量存貯量it, 生產(chǎn)生產(chǎn)費(fèi)費(fèi)c (xt), 存貯費(fèi)存貯費(fèi)h(it) 1. 根據(jù)對時段根據(jù)對時段T末存貯量的要求，確定末存貯量的要求，確定fT+1(iT+1) 2. 時段時段從后向前從后向前地計(jì)算最小費(fèi)用，遞推公式：地計(jì)算最小費(fèi)用，遞推公式：1 , 1,),()()(min)(111TTtXxIidxiiifihxcifmtmtttttttttxtttf1(i1)為總費(fèi)用最小值為總費(fèi)用最小值 3.時段時段從前向后從前向后地確定最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃地確定最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃:

28、由由i1 , xt(it) 及及 it+1= it +xt(it)-dt 得到得到 xt動態(tài)規(guī)劃模型動態(tài)規(guī)劃模型隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計(jì)劃隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計(jì)劃 需求量隨機(jī)需求量隨機(jī)存貯量隨機(jī)存貯量隨機(jī)存貯費(fèi)及總費(fèi)用隨機(jī)存貯費(fèi)及總費(fèi)用隨機(jī)優(yōu)化目標(biāo)是總費(fèi)用的期望最小優(yōu)化目標(biāo)是總費(fèi)用的期望最小隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型隨機(jī)動態(tài)規(guī)劃模型隨機(jī)需求隨機(jī)需求: P(dt=1)=1/3, P(dt=2)=2/3 (t=1,2,3) 存貯費(fèi)的期望值存貯費(fèi)的期望值Eh(it)= h0E (it+ xt-dt) =(it+xt-1)P(dt=1) +(it+xt-2)P(dt=2)=(it+xt-1)/3+2(it+x

29、t-2)/3=it+xt-5/3 對于存貯量對于存貯量i3, 計(jì)劃結(jié)束時出售剩余量得到的回報(bào)為計(jì)劃結(jié)束時出售剩余量得到的回報(bào)為s(i3),期望值期望值Es(i3)=1.5(i3+x3-1)/3+2(i3+x3-2)/3=1.5(i3+x3)-2.5 計(jì)劃結(jié)束時存貯量隨機(jī)計(jì)劃結(jié)束時存貯量隨機(jī), 假定剩余存貯量以假定剩余存貯量以1.5的價格出售的價格出售 隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計(jì)劃隨機(jī)需求下的多階段生產(chǎn)計(jì)劃 1. 最后時段最后時段(時段時段3)時段時段3初的存貯量初的存貯量i3, 產(chǎn)量產(chǎn)量x3(i3), 期望期望費(fèi)用最小值費(fèi)用最小值f3(i3)Es(i3)=1.5(i3+x3)-2.5P(dt=1

30、)=1/3, P(dt=2)=2/3 f3(0)=c(2)-Es(0)=7-1/2=13/2, x3(0)=2f3(1)=c(1)- Es(1)=5-1/2=9/2, x3(1)=1 f3(2)=c(0)- Es(2)=0-1/2=-1/2, x3(2)=0 f3(3)=c(0)- Es(3)=0-2= -2, x3(3)=0 計(jì)算計(jì)算2. 時段時段2 時段時段2,3期望期望費(fèi)用最小值費(fèi)用最小值3/ ) 2(23/ ) 1()()(min)(22322322222xifxifiEhxcifx2i2+x24, x2Xm , i2Imi2x2c(x2)Eh(i2)f3 (i2+x2-1)/3+2

31、f3 (i2+x2-2)/3c+Eh+ f3f2(i2)，x2(i2)0271/335/679/6f2(0)= 37/3x2(0)=40394/317/679/604117/3-1 37/3*1151/335/667/6f2(1)= 31/3x2(1)=31274/317/667/61397/3-1 31/3*2001/335/6 37/6*f2(2)=37/6x2(2)=02154/317/655/62277/3-125/33004/317/6 25/6*f2(3)= 25/6x2(3)=03157/3-119/33. 時段時段1時段時段1初存貯量初存貯量i1=1 3/ )2(23/ ) 1

32、()()(min)(11211211111xifxifiEhxcifx2i1+x14 i1x1c(x1)Eh(i1)f2 (i1+x1-1)/3+2 f2 (i1+x1-2)/3c+Eh+ f2f1(i1)，x1(i1)1151/3105/9306/18f1(1)=303/18x1(1)=31274/3161/18311/181397/333/6 303/18*時段時段13期望期望費(fèi)用最小值費(fèi)用最小值x2(i2)=0 d1=1i2=1+3-1=3d1=2 i2=1+3-2=2 x2(i2)=0 x3(i3)=0 d2=1i3=3+0-1=2d2=2 i3=3+0-2=1 x3(i3) =1 x3(i3)=1 d2=1i3=2+0-1=1d2=2 i3=2+0-2=0 x3(i3) =2 d2=2d2=2d2=1d2=1d1=2d1=1i1=1x1=3i2=3x2=0i3=2x3=0i3=1x3=1i3=1x3=1i3=0 x3=2i2=2x2=0隨機(jī)需求下多隨機(jī)需求下多階段生產(chǎn)計(jì)劃階段生產(chǎn)計(jì)劃 確定性需求下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃在開始時已完全確定確定性需求下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃在開始時已完全確定: x1=2，x2=0，x3=2 隨機(jī)需求下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃只有當(dāng)每個時段初的隨機(jī)需求下的最優(yōu)生產(chǎn)計(jì)劃只有當(dāng)每個時段初的存貯量知道后才能確定存貯量知道后