兩角和與差的正弦、余弦和正切公式專題與解析

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式教學目標1.會用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式；2.能利用兩角差的余弦公式導出兩角差的正弦、正切公式；3.能利用兩角差的余弦公式導出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系。知識梳理1. 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(a±B)=sinacosB土cosasinB.cos(a?B)=cosacosB±sinasinB.1鬥門o+_tan3干tanatan2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sinacosa.2222cos2a=cosasina=2cosa1=12sina.門2t

2、anatrill£.Ct+1 tana有關公式的逆用、變形等(1)tana±tanB=tan(a±B)(1?tanatanB).(2)cosa=22(3)1+sin2a=(sina+cosa),1sin2a=(sinacosa),sina±cosa+na±4.4.函數(shù)f(a)=asina+bcosa(a,b為常數(shù)),可以化為f(a)=a2+b2sin(a+©)其中tan©b二a或f(a)=a2+b2cos(a©)其中tana©二b.診斷自測1.判斷正誤(在括號內打“V”或“x精彩PPT展示(1)兩角和與差

3、的正弦、余弦公式中的角a,B是任意的.()存在實數(shù)a，B,使等式Sin(a+B)=Sina+sinB成立.()八、tana+tanB卄(3)公式tan(a+B)=i_tanOtanB可以變形為tana+tanB=tan(a+B)(1_tanatanB)，且對任意角a,B都成立.()存在實數(shù)a,使tan2a=2tana.()n解析(3)變形可以，但不是對任意的a,B都成立，a,B,a+B工勺+kn,k乙答案(1)VV(3)xV2.(2016全國川卷)若tan9=3,則cos29=()d.4C.5解析cos20=cos20sin2cos20sin2B2cos2=0+sin01tan20421+ta

4、n05'答案D3.(2015重慶卷)若tana13,tan(a+B)=1,則tanB等于（A.1B.1C.5I解析tanB=tan(a+B)atan(a+B)tana11231-=7，故選A.1+-x-2 3答案A4.（2017廣州調研）已知sin1a+cosa=3,則2nsin71758C.8D.解析由sin1+cosa=3兩邊平方得1+sin2sin289,所以sin21-c°s2-2asin22=21t8172a故選B.答案B5.(必修4P137A13(5)改編)sin347°cos148°+sin77°cos58解析sin347°

5、;cos148°+sin77°cos58=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos58=(cos77°)(sin58°)+sin77°cos58=sin58°cos77°+cos58°sin77=sin(58°+77°)=sin135考點一三角函數(shù)式的化簡【例1】(1)(2016合肥模擬)cos()A.sin(a+2B)C.cos(a+2B)a+B)cosB+sin(a+B)sinB=B.sinaD.cosa化簡：a

6、a(1+sina+cosa)cos-sin_(0<a<n)',2+2cosa解析(1)cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos(a+B)B=cosa.2aaaaa2cos+2sincoscossina2a.2aacos2cos2sin2cos2cosaaecuacos"2cos2因為0<a<n,所以0<2<今，所以cos-2>0，所以原式=答案(1)D(2)C0Sa【訓練1】(1)2+2cos8+21-sin8的化簡結果是_cosa.化簡:4212cosa2cosa+n2n2tanT-asin7+a解析(1)原式=_

7、4cos24+2(sin4cos4)=2|cos4|+2|sin4cos4|,5因為5n3<4<2n所以cos4<0，且sin4<cos4所以原式=2cos42(sin4cos4)=2sin4.1422(4cosa4cosa+1)n2Xsin7ancos7a2ncos-(2cos2a1)2cos22a4sin扌nacos7a2sinnn2a2.cos2a1=7cos2a2cos2a21答案(1)2sin4(2)cos2a考點二三角函數(shù)式的求值【例2】2sin50+sin10(1+3tan10°)2sin280=（2）已知cos7t+a435,27nM.sin2

8、a+2sina<a<貝q124，則1tana17n的值為已知0C,冗）且tan(a17,則2aB的值解析（1）原式二（2sin50+sin10cos10°+/3sin10)cos102sin80=(2sin50+2sin101cos10°+毘in10cos2cos10=22sin50-cos10+sin10-cos(60°10°)=22sin(50°+10°)=22X2sin2a+2sina1tana22sinacosa+2sinasina1cosa2sinaCOSa(cosa+sina)cosasina=sin21+ta

9、na1tana=sin2an-tan7+由a+7<2n，又COSSTn金III34=IIAO2卜AAn£aIAOII+STn2aSTn0IIIISTn2STn413+o£a2爲OAaA2|=STnIIST呂IIkSTnSTnSTn+STn2<f)5'III7I25I004 =aIIII4STn4|=+aIII3I4【亙盜2】S4COS50。丄an40i(C幺(2)masina+"+sinD.2$丄(3)maCOSaH十cos(a0)HOA0Aa八皿)淫Qrn2aH3SMN4s5'404cos40sin40。sin40cos40。2SI5

10、'80Sin4ocos40sin40cos402sin(20。40。)s5'40H>cos40felcos40。+sin40Isin40cos40V5cos40cos40瑋®0.(2)ffisina+l+sina于是n3cosa+6=5.所以a+nn334cosacos6-6101n-cosa7,0<a<2，sina7,tana43,tan22tana2X4,38,321tana14847'n/0<B<a<2,0<asin(cosBcosa(aB)cosacos(aB)+sinasin(aB)1X生虱3X31714十7

11、142,答案(1)C亠10-47考點三三角變換的簡單應用【例3】已知ABC為銳角三角形，若向量p(22sinA,cosA+sinA)與向量q(sinAcosA,1+sinA是共線向量.(1)求角A；求函數(shù)y=2sin求函數(shù)y=2sin=cos2xsin2x+§cos4xB+cos的最大值A，貝Usin2A=3.A，貝Usin2A=3.解因為P,q共線，所以(22sinA)(1+sinA)=(cosA+sinA)(sinAcos又A為銳角，所以sinA=f，ny=2sin2B+cos鏟n3B3B=2sin2B+cos2n1=2sinB+cos2B=1cos2B+乙cos2B+3 2-2

12、3sin2B=¥s鬥2B*cos2B+1=sin2B-6+1.2226nn因為B0,，所以2Bnn因為B0,，所以2Bnn6，所以當2B6=空時，函數(shù)y取得最大值，此時B=,ymax=2.1 1【訓練3】(2017合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=(2cos2x1)sin2x+qcos4x.(1)求f(x)的最小正周期及單調減區(qū)間;若a(0,n)，且fT若a(0,n)，且fTan2n4，求tana+-3的值.21解(1)f(x)=(2cosx1)sin2x+?cos4x12n=2(sin4x+cos4x)=-sin4x+才,nf（x）的最小正周期Tp令2knnn,3,+2W4x+<2

13、kn+冗，kZ,16，kZ.f（X）的單調減區(qū)間為knn+一2+16,fan2T，即sina因為a(03n所以a7t因此tanna+§、選擇題nn<a<，444'3nntan+tan“4LT+V3=用3nn_1+/3273.1tantan石43基礎鞏固題組（建議用時：40分鐘）1.(2015全國I卷)sin20°cos10°cos160°sin10°=()解析sin20解析sin20sin101C.-21D.2cos10°cos160°sin10°=sin20°cos10°+

14、cos20sin3012.答案D2.(1+tan17°)(1+tan28°)的值是()A.1B.OC.1D.2解析原式=1+tan17+tan28+tan17-tan28=1+tan45(1tan17-tan28°)+tan17-tan28=1+1=2.答案D3.（2017西安二檢）已知3.（2017西安二檢）已知a是第二象限角，且tan=g,則sin2a=()A更10A更103C.-5解析因為解析因為a是第二象限角，且tana=13,所以sin=,cosa10'31010，所以sin2a=2sinacos310103?故選C.5答案C答案C4.（2017

15、河南六市聯(lián)考）設1a=?cos靜2°,b=12ta；1414°,c=2'1tan14',則有（,則有（A.avcvbB.avbvcC.bvcvaD.cvavb解析由題意可知，a=sin28,b_tan28°,c_sin25°,cvavb.答案D5.（2016肇慶三模）已知sin5.（2016肇慶三模）已知sin為第二象限角，則tan2a19A-丁19A-丁B.C.311717d.31解析由題意得cos_4=5,sin2a24=25,.tan2a=,24.tanntan2a+tan4n1-tan2atan7241241XI1731.答案D、

16、填空題6.（2016石家莊模擬）若cosn石的值是7t“,n解析sin2a=sin2n17cos2a3=2cosam1=2X91=9.7t答案-77.（2017南昌一中月考）已知an，且cos-ya445sin4n+B1213,貝Ucos(a+解析7t3n7tsin7t/sin54n又B0,cos(答案7t5'1213'a+B)=cos33658.已知00,7tCOSsinncos7+且sin解析sin00,cos1213'=13,7t1233£得sincos平方得2sin0cos240=二，可求得sin0+cos0=25,2tan0340=二，tan0二，t

17、an20=1tan2024sin答案-三、解答題9.(2017淮海中學模擬)已知向量a=(cos9,sin9),b=(2,-1).itn”.右|a-b|=2,90,q，求sin9+匸的值解由a丄b可知，ab=2cos9-sin9=0,所以sin9=2cos9,十、sin9cos92cos9cos91所以=-sin9+cos92cos9+cos93(2)由ab=(cos92,sin9+1)可得，|ab|=(cos92)2+(sin9+1)2=64cos9+2sin9=2,即12cos9+sin9=0.n又cos29+sin29=1,且90,4所以sin9=,cos9=.55所以sin0+cos1

18、0.設cosa5,tan3nn<a<牙,0<B<2，求aB的值.解法一由cosa=3nn<a<2，得sin誓，tana=2,又于是tan(aB)123=1+tanatanB=1B1+2X3tanatanB1.丄3n又由n<a,n_小0<B<2可得一n3nB<o,q<aB<2,因此,5n=T.法二cos53n,n<a<52得sina2；55.由tan1=3,nZl_.0<B<2得sin=丄=10，cos所以sin（acosBcosasin310,103nn又由n<a,0<B<2可得n

19、<2-3nB<0，2<aB<牙,能力提升題組（建議用時：20分鐘）n2n23n11.(2016云南統(tǒng)一檢測)cos9cosgcos=()A.-8D.1n_解析cos百cos-cos-9n=cos20°cos40°cos1002n23=cos20°cos40°cos80°=sin20sin20cos20cos40cos801qsin40°cos40°cos80sin2014sin80-cos80sin201sin1608sin201sin208sin2018.答案A12.（2017武漢調研）設a12.（2017武漢調研）設a,B0,n,且滿足sincosBcosasinBaB)+Sin(a2B)的取值范圍為(A.21D.1,.2D.1,.2C.1,1解析/sinacosBcosasinB=1,sin(a，冗,-0<由0Wa<n,Wn,sin(2aB)