（浙江專用）高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.1 直線與平面垂直的判定課件 新人教A必修2

1、2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定目標(biāo)定位1.理解直線與平面垂直的定義.2.掌握直線與平面垂直的判定定理.3.理解直線與平面所成的角的概念，并能解決簡(jiǎn)單的線面角問(wèn)題.1.直線與平面垂直的有關(guān)概念自 主 預(yù) 習(xí)(1)定義：如果直線l與平面內(nèi)的_一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面互相垂直，記作_.(2)相關(guān)概念：若直線l與平面垂直，其中直線l叫做平面的_，平面叫做直線l的_.直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做_.任意l垂線垂足垂面(3)圖形語(yǔ)言：(畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與平面的平行四邊形的一邊垂直)如圖所示.(4)符號(hào)語(yǔ)言：任意a，都有l(wèi)al.其中

2、“任意直線”等同于“所有直線”.2.直線和平面垂直的判定定理(1)文字語(yǔ)言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線都垂直，則該直線與此平面垂直.(2)圖形語(yǔ)言：如圖所示.相交(3)符號(hào)語(yǔ)言：a，b，abA，la，lbl.3.直線和平面所成的角平面的一條_和它在平面上的射影所成的_，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是90；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是_.綜上，直線與平面所成的角的范圍_.斜線銳角00，90即 時(shí) 自 測(cè)1.判斷題(1)若直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l.( )(2)若直線l與平面內(nèi)任意一條直線垂直，則l.( )(3)若直

3、線l不垂直于平面，則內(nèi)沒有與l垂直的直線.( )(4)過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條.( )提示(1)當(dāng)直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直時(shí)，l與不一定垂直.(3)當(dāng)l與不垂直時(shí)，l可能與內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直.2.長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，下列不是平面ABCD的垂線的是()A.AA1 B.BB1 C.CC1 D.AD1解析由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知AD1不垂直于平面ABCD.答案D3.下列條件中，能判定直線l平面的是()A.l與平面內(nèi)的兩條直線垂直B.l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直C.l與平面內(nèi)的某一條直線垂直D.l與平面內(nèi)的任意一條直線垂直解析根據(jù)線面垂直的定義，可知l垂直于內(nèi)的所有直

4、線時(shí)，l.答案D4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于_.解析BB1平面ABCD，BAB1即為直線AB1與平面ABCD所成的角，且BAB145.答案45類型一直線和平面垂直的定義【例1】 下列命題中，正確的序號(hào)是_.若直線l與平面內(nèi)的一條直線垂直，則l；若直線l不垂直于平面，則內(nèi)沒有與l垂直的直線；若直線l不垂直于平面，則內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直；若平面內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面不垂直.解析當(dāng)l與內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面垂直，所以不正確；當(dāng)l與不垂直時(shí)，l可能與內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以不正確，正確；根據(jù)線面垂直的定

5、義，若l則l與的所有直線都垂直，所以正確.答案規(guī)律方法1.直線和平面垂直的定義是描述性定義，對(duì)直線的任意性要注意理解.實(shí)際上，“任何一條”與“所有”表達(dá)相同的含義.當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，該直線就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何直線.由此可知，如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直.2.由定義可得線面垂直線線垂直，即若a，b，則ab.【訓(xùn)練1】 設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A.若lm，m，lB.若l，lm，則mC.若l，m，則lmD.若l，m，則lm解析對(duì)于A，直線lm，m并不代表平面內(nèi)任意一條直線，所以不能判定線面垂直；對(duì)于B，因l，則

6、l垂直內(nèi)任意一條直線，又lm，由異面直線所成角的定義知，m與平面內(nèi)任意一條直線所成的角都是90，即m，故B正確；對(duì)于C，也有可能是l，m異面；對(duì)于D，l，m還可能相交或異面.答案B類型二線面垂直的判定【例2】 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC1，AA12，B1A1C190，D為BB1的中點(diǎn).求證：AD平面A1DC1.A1C1平面AA1B1B，AD平面AA1B1B，A1C1AD.由已知計(jì)算得AD，A1D，AA12.AD2A1D2AA，A1DAD.A1C1A1DA1，AD平面A1DC1.證明AA1底面ABC，平面A1B1C1平面ABC，AA1平面A1B1C1，

7、顯然A1C1平面A1B1C1，A1C1AA1.又B1A1C190，A1C1A1B1而A1B1AA1A1，規(guī)律方法證線面垂直的方法有三類(1)線線垂直證明線面垂直：定義法(不常用，但由線面垂直可得出線線垂直)；判定定理最常用：要著力尋找平面內(nèi)哪兩條相交直線(有時(shí)作輔助線)；結(jié)合平面圖形的性質(zhì)(如勾股定理逆定理、等腰三角形底邊中線等)及一條直線與平行線中一條垂直也與另一條垂直等結(jié)論來(lái)論證線線垂直.(2)平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)：ab，ab；，aa.【訓(xùn)練2】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：EF平面BB1O.證明ABCD為正方形

8、，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位線，EFAC，EF平面BB1O.類型三直線與平面所成的角(互動(dòng)探究)【例3】 如圖所示，三棱錐ASBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC.求直線AS與平面SBC所成的角.思路探究探究點(diǎn)一直線與平面所成角的范圍是什么？提示直線和平面垂直時(shí)，直線與平面所成的角是直角，為90；直線與平面平行或直線在平面內(nèi)時(shí)，直線與平面所成角為0；直線是平面的斜線時(shí)，直線與平面所成的角是銳角，范圍(0，90).所以直線與平面所成角的范圍是0，90.探究點(diǎn)二求斜線與平面所成角的步驟是什么？提

9、示求斜線與平面所成角的步驟：一作，找出射影，作出角；二證，證明作出的角即為所求；三算，在三角形中求角；四答，作答.解因?yàn)锳SBASC60，SASBSC，所以ASB與SAC都是等邊三角形.因此ABAC.如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，規(guī)律方法1.求直線和平面所成角的步驟：(1)尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；(2)連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角即為所求的角；(3)把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角.2.在上述步驟中，作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，圖形中的特殊點(diǎn)是突破口.【訓(xùn)練3】 如圖所示，RtBMC中，斜

10、邊BM5，它在平面ABC上的射影AB長(zhǎng)為4，MBC60，求MC與平面CAB所成角的正弦值.解由題意知，A是M在平面ABC內(nèi)的射影，MA平面ABC，MC在平面CAB內(nèi)的射影為AC.MCA即為直線MC與平面CAB所成的角.又在RtMBC中，BM5，MBC60，課堂小結(jié)1.直線和平面垂直的判定方法：(1)利用線面垂直的定義；(2)利用線面垂直的判定定理；(3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：若ab，a，則b；若，a，則a.2.線線垂直的判定方法：(1)異面直線所成的角是90；(2)線面垂直，則線線垂直.3.求線面角的常用方法：(1)直接法(一作(或找)二證(或說(shuō))三計(jì)算)；(2)轉(zhuǎn)移法(找過(guò)點(diǎn)與面平行的線或面)；(3)等積法(三棱錐變換頂點(diǎn)，屬間接求法).1.一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不確定解析由題意可知，該直線垂直于三角形所確定的平面，故這條直線和三角形的第三邊也垂直.答案B2.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是()三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正六邊形的兩條邊.A. B. C. D.解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于圖形所在的平面，對(duì)于圖形中的兩邊不一定是