第5章(靜電場)習(xí)題課

1、1第第5章章 真空中的靜電場課堂討論真空中的靜電場課堂討論一、簡單小結(jié)一、簡單小結(jié)二、例題分析二、例題分析三、課堂練習(xí)三、課堂練習(xí)2真空中靜電場小結(jié)（兩兩歌）真空中靜電場小結(jié)（兩兩歌）一一.兩個(gè)兩個(gè)基本基本物理量物理量)(VE二二.兩個(gè)基本場方程兩個(gè)基本場方程00LiiSlEqSEdd三三.兩個(gè)兩個(gè)基本基本計(jì)算思路計(jì)算思路 QQVVEEdd(疊加疊加)0()(0PiiSlEVqSEdd(高斯高斯)四四. 兩句兩句強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)話：話：注重典型場注重典型場 注重疊加原理注重疊加原理 3五五.靜電場基本問題靜電場基本問題 1.由庫侖定律求相互作用力由庫侖定律求相互作用力.2.由由疊加原理求電場：幾種典型

2、的結(jié)論（點(diǎn)電荷、長疊加原理求電場：幾種典型的結(jié)論（點(diǎn)電荷、長直線、圓環(huán)）及其組合直線、圓環(huán)）及其組合. .注意矢量性注意矢量性. .3.由由高斯定理求場強(qiáng)：三種對稱性（球、柱、面）高斯定理求場強(qiáng)：三種對稱性（球、柱、面）4.通過電勢梯度求電場通過電勢梯度求電場.5.通過電場強(qiáng)度積分求電勢通過電場強(qiáng)度積分求電勢. .6.由由疊加原理求電勢：幾種典型的結(jié)論（直線、弧線、疊加原理求電勢：幾種典型的結(jié)論（直線、弧線、圓環(huán)、半圓、球面）及其組合圓環(huán)、半圓、球面）及其組合.7.由電勢差求移動(dòng)電荷作的功：可先求出電勢差由電勢差求移動(dòng)電荷作的功：可先求出電勢差.4典型結(jié)果典型結(jié)果 1rerQE204點(diǎn)電荷點(diǎn)電

3、荷無限長無限長均勻帶均勻帶電線電線rerE02無限長無限長均勻帶均勻帶電柱面電柱面無限大無限大均勻帶均勻帶電平面電平面02E均勻帶均勻帶電球面電球面)(4)(020RrerQERrEr )(2)(00RrerERrEr均勻帶均勻帶電圓環(huán)電圓環(huán)iRxQxE2/3220)(4（軸線上軸線上）5典型結(jié)果典型結(jié)果 2以無限遠(yuǎn)作以無限遠(yuǎn)作為電勢零點(diǎn)為電勢零點(diǎn)點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷rQ04帶電球帶電球面中心面中心處電勢處電勢RoQRQo04RoQ均勻均勻帶電帶電球面球面)(4)(400RrrQRrRQ均勻帶均勻帶電圓環(huán)電圓環(huán)2204)(Rxqx6例例1.兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷兩個(gè)同號(hào)點(diǎn)電荷q1、q2,相距為相距為d，求場強(qiáng)

4、為零的位，求場強(qiáng)為零的位置置.解：由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式知，若電解：由點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式知，若電荷為正，則場強(qiáng)方向沿位矢向外荷為正，則場強(qiáng)方向沿位矢向外.因此，對兩個(gè)正點(diǎn)電荷來說，因此，對兩個(gè)正點(diǎn)電荷來說，場強(qiáng)為零的點(diǎn)必定是場強(qiáng)為零的點(diǎn)必定是在兩者的連線之間在兩者的連線之間.取如圖所示坐標(biāo)，設(shè)場強(qiáng)為零的取如圖所示坐標(biāo)，設(shè)場強(qiáng)為零的位置在位置在P點(diǎn)處，由疊加原理可得點(diǎn)處，由疊加原理可得021pppEEE0)(44202201xdqxqEp即即所以所以12qqxxd7因?yàn)橐驗(yàn)閐x 0上式左邊為正，故右邊取正號(hào)，上式左邊為正，故右邊取正號(hào)，dqqqx211即場強(qiáng)為零的點(diǎn)在兩者的連線上距即場強(qiáng)為零的點(diǎn)在兩者的連

5、線上距q1為為dqqqx211問：對兩個(gè)問：對兩個(gè)異號(hào)異號(hào)點(diǎn)電荷來說，場強(qiáng)為零的點(diǎn)電荷來說，場強(qiáng)為零的位置位置又如何？又如何？12qqxxd8例例2.半徑為半徑為R的四分之一圓弧上均勻分布著線密度為的四分之一圓弧上均勻分布著線密度為的電荷，求圓心處的電場強(qiáng)度的電荷，求圓心處的電場強(qiáng)度.解：建立直角坐標(biāo)系，任取電荷解：建立直角坐標(biāo)系，任取電荷微元微元Rddldq在在O點(diǎn)處產(chǎn)生點(diǎn)處產(chǎn)生202044RRdRdqdE方向如圖所示方向如圖所示.分量式：分量式：cos40RddExsin40RddEy對分量式積分，得對分量式積分，得9RdRdEExx02004cos4RdRdEEyy02004sin4所以

6、所以jRiRE0044大小大小REEEyx02242方向方向45arctanyxEE問：對半個(gè)帶電圓弧，該點(diǎn)場強(qiáng)又如何？問：對半個(gè)帶電圓弧，該點(diǎn)場強(qiáng)又如何？10ddOxyz例例3：如圖：如圖d=0.4m,d=0.6m的長方閉合面處在一不均勻的長方閉合面處在一不均勻電場電場 中中,E和和x的單位為的單位為V/m和和m,計(jì)算通過計(jì)算通過此閉合面的凈此閉合面的凈E通量及包圍在閉合面內(nèi)的凈電荷量通量及包圍在閉合面內(nèi)的凈電荷量.iE223x分析分析:由場強(qiáng)分布可知由場強(qiáng)分布可知,通通過長方閉合面的左右兩過長方閉合面的左右兩個(gè)側(cè)面的個(gè)側(cè)面的E通量不為零通量不為零.解解:由題意由題意,左右兩側(cè)左右兩側(cè)面所在

7、處的電場強(qiáng)度面所在處的電場強(qiáng)度E1、E2分別為常矢量分別為常矢量,即在側(cè)面上的電場強(qiáng)即在側(cè)面上的電場強(qiáng)度均勻分布度均勻分布. iE)23(21diE2223dd11iE)23(21diE2223dd21EEE由高斯定理由高斯定理 C1038. 2120EqddOxyz/CmN27. 023232222ddddSESE21SEE1212例例4：(1)地球表面附近的場強(qiáng)近似為地球表面附近的場強(qiáng)近似為200V/m,方向指向方向指向地球中心地球中心.試計(jì)算地球帶的總電荷量試計(jì)算地球帶的總電荷量,地球的半徑為地球的半徑為6.37106m; (2)在離地面在離地面1400m處處,場強(qiáng)降為場強(qiáng)降為20V/m

8、,方向方向仍指向地球中心仍指向地球中心.試計(jì)算這試計(jì)算這1400m厚的大氣層里的平均厚的大氣層里的平均電荷密度電荷密度分析分析:設(shè)地球帶電量為設(shè)地球帶電量為Q,并把地球看作是表面均勻帶電并把地球看作是表面均勻帶電的導(dǎo)體球的導(dǎo)體球.利用高斯定理求解利用高斯定理求解.解解:(1)貼近地球表面作與地球同心的高斯球面貼近地球表面作與地球同心的高斯球面,半徑為半徑為RRE,使地球表面的電荷全部為高斯面所包圍使地球表面的電荷全部為高斯面所包圍.由高斯定理由高斯定理 024dQREESSE等式中的等式中的“”號(hào)是由于場強(qiáng)方向與高斯面的面法號(hào)是由于場強(qiáng)方向與高斯面的面法線方向相反線方向相反.13得得 C100

9、3. 94520EERQQ0,即大氣層帶正電即大氣層帶正電.大氣層體積為大氣層體積為 3173333m1014. 73434EEERhRRrV大氣層平均電荷密度為大氣層平均電荷密度為 312C/m1014. 1VqC1012. 84452020EhRQErQqE15例例5. 電荷電荷Q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)的球體內(nèi). .試證球體試證球體內(nèi)離球心內(nèi)離球心r處的電勢為處的電勢為302283RrRQV分析分析: :由帶電的球?qū)ΨQ性，可先由高斯定理求得電場由帶電的球?qū)ΨQ性，可先由高斯定理求得電場分布分布, ,而后求得電勢分布而后求得電勢分布. .若將球體分割為無數(shù)同心若將球體分割為

10、無數(shù)同心帶電球殼帶電球殼, ,利用電勢的疊加原理同樣可求解利用電勢的疊加原理同樣可求解. .解解1:1:由于均勻帶電球的電場具有球?qū)ΨQ性由于均勻帶電球的電場具有球?qū)ΨQ性, ,可利用高可利用高斯定理求場強(qiáng)斯定理求場強(qiáng). .由高斯定理由高斯定理 VVVVdd1d00SSE球內(nèi)的場強(qiáng)球內(nèi)的場強(qiáng) 33021343414rRQrE1603014rERQr（0 r R）球外的場強(qiáng)球外的場強(qiáng) 0224QrE02024rErQ（ r R）球體內(nèi)球體內(nèi)r處的電勢處的電勢RRrRRrrrQrRQrVd4d4dd203021rErE3022030228348RrRQRQRrRQ利用電勢的疊加原理如何求利用電勢的疊加

11、原理如何求? ?得證得證.17解解2：半徑為處：半徑為處r的電勢應(yīng)該是以的電勢應(yīng)該是以r為半徑的球面以內(nèi)的為半徑的球面以內(nèi)的電荷在該處產(chǎn)生的電勢電荷在該處產(chǎn)生的電勢V1和球面外電荷產(chǎn)生的電勢和球面外電荷產(chǎn)生的電勢V2的疊加，即的疊加，即 21VVV球面內(nèi)電荷產(chǎn)生的電勢球面內(nèi)電荷產(chǎn)生的電勢：（：（相當(dāng)于電荷集中于球心的相當(dāng)于電荷集中于球心的點(diǎn)電荷）點(diǎn)電荷） rqV0114球面外電荷產(chǎn)生的電勢：球面外電荷產(chǎn)生的電勢： 在球面外取在球面外取 的薄球?qū)?，其上電量的薄球?qū)?，其上電量drrr343/42323drrRQdrrRQdVdq30203344/RQrrRQr18它在球內(nèi)任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為它在球內(nèi)

12、任一點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 402rdqdV302230228)(343RrRQdrrRQdVVRrRrr故半徑為故半徑為r處的電勢為處的電勢為 30223022303218)3(8)(34RrRQRrRQRQrVVV4330drrRQ323drrRQdq 19例例6.一無限長均勻帶電圓柱，體電荷密度為一無限長均勻帶電圓柱，體電荷密度為，截面，截面半徑為半徑為a，（1）用高斯定理求柱內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布；）用高斯定理求柱內(nèi)外的電場強(qiáng)度分布；（2）求柱內(nèi)外的電勢分布，以軸線為電勢零點(diǎn)）求柱內(nèi)外的電勢分布，以軸線為電勢零點(diǎn).解解（1）作與帶電圓柱同軸而截面半徑為作與帶電圓柱同軸而截面半徑為r、長度為、長度為

13、l的封閉圓柱面為高斯面，由高斯定理，有的封閉圓柱面為高斯面，由高斯定理，有02qrlE當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其中的時(shí)，其中的ar lrq2得得rE0int2當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其中的時(shí)，其中的ar laq2得得raEout02220ar （2）當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)20000int42rrdrdrErr當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)ar ) 12(4220200020intranardrdrradrEdrEaaraarout2121Oxyaaa2222Oxyaaa2ln4402011 aaydydVV000244 aadldVV2ln4013 VV0032142ln2 VVVV2323OxyaaaaRdEEx0002sin4 方向沿方向沿x軸正向

14、。軸正向。 24自我練習(xí)自我練習(xí)1.無限長帶電線彎成如圖所示形狀，試求圖中無限長帶電線彎成如圖所示形狀，試求圖中O點(diǎn)處的點(diǎn)處的電場強(qiáng)度。設(shè)單位長度上帶電量為電場強(qiáng)度。設(shè)單位長度上帶電量為。25解：在解：在O點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖所示，則半無限長直線點(diǎn)建立坐標(biāo)系如圖所示，則半無限長直線 上電荷在上電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng) AjiRE014半無限長直線半無限長直線B在在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng) jiE024四分之一圓弧段上電四分之一圓弧段上電荷在荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng) jiRE0343E2E1EoRRBAyx由場強(qiáng)疊加原理，由場強(qiáng)疊加原理，O點(diǎn)合場強(qiáng)為點(diǎn)合場強(qiáng)為)(40321jiREE

15、EEREEEyx02242即即 E的方向的方向 451tantan11xyEE（與（與x軸正向夾角）軸正向夾角）262.半徑為半徑為R的半圓弧上均勻分布著帶電量為的半圓弧上均勻分布著帶電量為Q Q的電荷，的電荷，求圓心處的電場強(qiáng)度求圓心處的電場強(qiáng)度.解：把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理，解：把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理，在圓弧上在圓弧上處取電荷元處取電荷元dq，QQREdodyxdqdQdldq2在在O點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng) dRQRdqdE2022024方向如圖方向如圖.27QQREdodyxdqdRQRdqdE2022024按按角變化，將角變化，將dE分解成二個(gè)分量分解成二個(gè)分量 dRQdEdE

16、xsin2sin202dRQdEdEycos2cos202對各分量積分，考慮到一半是負(fù)電荷，所以對各分量積分，考慮到一半是負(fù)電荷，所以EX 等于等于0，202220202coscos2RQddRQdEEyyjRQjEiEEyx202283.如圖所示，在沿如圖所示，在沿x軸放置一個(gè)端點(diǎn)在原點(diǎn)、長度為軸放置一個(gè)端點(diǎn)在原點(diǎn)、長度為l的帶的帶電細(xì)線上，電荷的線密度為電細(xì)線上，電荷的線密度為（1）選無窮遠(yuǎn)處的電勢為零，試求）選無窮遠(yuǎn)處的電勢為零，試求y軸上軸上A點(diǎn)的電勢；點(diǎn)的電勢；（2）由電勢梯度計(jì)算電場強(qiáng)度分量）由電勢梯度計(jì)算電場強(qiáng)度分量Ey；（3）能否由）能否由y 軸上的電勢分布求出電場強(qiáng)度分量軸上的電勢分布求出電場強(qiáng)度分量Ex？)( 為正常數(shù)aaxeA.(0,y)A.(0,y)Olxy解：解：（1）在細(xì)線上任取一電在細(xì)線上任取一電荷微元，其坐標(biāo)為（荷微元，其坐標(biāo)為（x,0）,帶帶電電axdxdxdqe在在A點(diǎn)產(chǎn)生電勢點(diǎn)產(chǎn)生電勢rdqdV04dq（x,0）2204yxaxdx29A.(0,y)A.(0,y)Olxydq由疊加原理，由疊加原理，A點(diǎn)電勢為點(diǎn)電勢為lyxaxdxdVV02204)(4220yyla（2）由電勢梯度求）由電勢梯度求