九年級數(shù)學上冊專題突破講練相似三角形的性質試題(新版)青島版

1、相似三角形的性質【重點難點易錯宜點點精謹】相似三角形的性質1.相似三角形的對應角相等；2.相似三角形的對應邊成比例；3.相似三角形對應高、對應中線、對應角平分線、對應周長的比等于相似比。方法歸納：（或技巧歸納）當你發(fā)現(xiàn)問題中出現(xiàn)以下情況時，很可能是借助相似來解決：1比或比例；示例：平行四邊形 ABCD 中，E 在 DC 上，若 DE EC=1: 2，貝 U BF: EF=_n解析：此題主要考查了平行四邊形、相似三角形的性質.由題可知ABFACEF 然后根據(jù)相似比求解.答案：3： 2 解：TDE EC=1： 2;二 EC CD=2 3 即 EC AB=2: 3,vAB/ CDABFACEF BF

2、：EF=AB EC=3 2.2線段的積；示例：四邊形中，AC 平分/ DAB / AD（=ZACB=90，求證：AC2= ABjAD解析：由 AC 平分/ DAB / ADC=/ ACB=90，可證得厶 ADCAACB 然后由相似三角形 的對應邊成比例，證得 AC=AB?AD證明：/ AC 平分/ DAB DACMCABv/ADCMACB=90 , ADCAACB - AD AC=AC AB,. ACf=AB?AD3邊或角所在三角形與已知的邊或角所在三角形不全等。示例：如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AB=5 AC=4 AB 的垂直平分線 DE 交 BC 的延 長線于點 E,

3、則 CE 的長為_ .AC2解析：本題主要考查直角三角形性質、線段垂直平分線的性質及相似三角形性質的應用 及方程的數(shù)學思想解決此題需要我們利用線段的垂直平分線的性質和三角形相似進行計 算.答案：7解：/ ACB=90 , AB=5, AC=4,根據(jù)勾股定理得：BC=365而 AB 的垂直平分線 DE 交 BC 的延長線于點 E,. BD=t，/ BDE=90，又 B=ZB,225ACBAEDB BC BD=AB BE,又 BC=3 AB=5,. BE=,6從而得到 CE=B BC=76總結：1.掌握相似三角形的性質；2.能利用相似三角形的性質求角的度數(shù)或線段的長度、線段之間的關系等。例題 1

4、如圖，在RtAABC中，/C= 90,翻折/C,使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF(點E、F分別在邊AC BC上)。若厶CEF-與ABC相似。(1)當AC= BC=2 時，求AD的長；當AC=3,BC=4 時，分兩種情況：(I)若CE CF=3: 4,如答圖 2 所示，此時EF/ AB CD為AB邊上的高；(II)若CF：CE=3：4,如答圖 3 所示。由相似三角形角之間的關系，可 以推出/A=ZECD與/B=ZFCD從而得到CD= AD= BD即D點為AB的中點。答案：若厶CEF-與ABC相似。(1)當AC= BC=2 時，ABC為等腰直角三角形，如答圖 1 所示。此時D為AB邊中點

5、,答圖12AD=AC,.ACt-22AC=2。(2)當AC=3,BC=4 時，有兩種情況：(I)若CE CF= 3： 4,如答圖 2 所示。(2)當AC=3,BC=4 時，求AD的長。3邊上的高。在RtABC中,AC=3,BC=4,.AB=5。：/ADG=ZACB=90。且/A=ZA,ACD ABC二AC= AC即AD|,二AD=5； (II)若CF CE=3: 4，如答圖 3 所示。CFEACAB/CEF=ZB由折疊性質可知，/CEFbZECD=90，又A+ZB15=90, /A=ZECD - AD= CD同理可得：ZB=ZFCD CD= BD,此時AD=B=95綜上所述,當AC= 3 ,B

6、C=4 時，AD的長為三或52點撥：本題是幾何綜合題，考查了幾何圖形折疊問題和相似三角形的判定與性質。第（2）問需要分兩種情況分別計算，此處容易漏解，需要引起注意。DE= DE=AE1=X,T DF!AB/ACB=90,ZA=ZA,.AABSAAFD - AD AC= DF BC即2X：8=DF：6，解得DF= 1.5X,在RtDEF中，EF=DF+DE2= 3.25X2，又T BE=AB AE= 1 03X,E FAE BF,-E1F:AE1=BE:EF,.EF=AE?BE,即卩3.25X2=X(103X),解得X=1.6 , AD的長為 2X1.6 = 3.2。答案：3.2點撥：本題是一道

7、綜合性難題，主要考查軸對稱變換、折疊、勾股定理、相似三角形的/ CECD為AB角形、四邊形等知識，特別是在中考試題中經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)，這類問題時通常利用相似三角形對應邊成比例或勾股定理等列方程， 度。有時難度較大。 解答 用代數(shù)方法求線段的長滿分訓練如圖，直角三角形 一點D作DF丄AB交AC于點F。為A；AD的中點ABC中,/ACB=90,AB=10,現(xiàn)將ADF沿DF折疊，使點A落在線段DB上，對應點記解析：/ACB=90,AB=10,BC=6,點E為AD的中點， 將ADF沿DF折疊，-AC=ABBC=10 6 = 8，設AD=2x,A對應點記為A,點E的對應點為, AE=c【拓展總結+

8、提升茹分強讀】利用相似三角常常綜合考查勾股定理、等腰三BC=6， 在線4對應邊成比例。利用勾股定理列式求出AC設AD=2X，得到AE= DE= DE=AE=X,然后求 出BE,再利用相似三角形對應邊成比例列式求出DF,然后利用勾股定理列式求出EF,然5后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求解得到x的值，從而得出AD的值。、選擇題1.如圖，ABC中,DE/ BCB. 3 21A.-2DE=1,AD=2,DB=3,C.5BC的長是(7D.-2*2.如圖所示，在平行四邊形延長交DC于點F,貝U DF FC=A. 1 : 4B. 1 : 3CABCDh AC與BD相交于點O E為OD的中點，連接AE并)D

9、. 1 : 2C. 2 : 3*3.如圖所示，AD/ BC與厶PBC相似，則這樣的點A. 1 個B. 2,DC=7,AD=2,BC=3。若在邊DC上有點P使厶PAD)C. 3 個D. 4 個C/D= 90P有(個*4. 如圖，在厶ABC中,AB= AC= a,BC= b( ab)。在厶ABC內依次作/CBD=ZA, /DCE=ZCBD/EDF=ZDCE貝U EF等于()b4C.3ab3A.2a3aB.a24aD.3b67、填空題5.在平行四邊形ABCDh E在DC上，若DE EC=1: 2，則BF: BE=_AD6.如圖，在平行四邊形ABCDK E在AB上,CEBD交于F,若AEBE=4：3，

10、且BF=三、解答題*9.如圖，在平行四邊形ABCDKZABC的平分線BF分別與AC AD交于點E、F。(1) 求證：AB= AF;AE(2) 當AB=3、BC=5 時，求AC勺值。2,則DF=*7.如圖,如圖,*8.長線于點 E,在RtABC中,ZACB=90,BC=3,AC=4,AB的垂直平分線DE交BC的延則CE的長為在邊長為OC8*10.如圖，在平行四邊形ABCDL過點A作AE! BC垂足為E,連接DE F為線段DE11.9上一點，且/AFE=ZBo(1) 求證：ADFADEC(2) 若AB=8,AD=6 3AF= 4 J3，求AE的長。*11.(1)B如圖，四邊形ABCDK AC平分/

11、DAB/ADC=ZACB=90,E為AB的中點,求證：AC=AB?AD求證：CE/ AD10(2)【提出問題】 如圖 1, 以AM為邊作等邊【類比探究】（2）如圖2,*12.(1)在等邊ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B C）,連結AMAMN連結CN求證：/ABC=ZACN在等邊ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點0，其它條件不變，（1）中結論/ABC=/ACF還成立嗎？請說明理由?！就卣寡由臁浚?）如圖 3，在等腰厶ABC中,BA= BC點M是BC上的任意一點（不含端點B C）, 連結AM以AM為邊作等腰AMN使頂角/AMI4ZABC連結CN試探究/ABC與/ACN的數(shù)

12、量關系，并說明理由。(3)11.11AD AB1.C解析：T DE/ BCADEAABC則龍=BC T DE=1,AD= 2,DB=3,.AB=A內DB=5,.BO號=5。故選C。ABCDK AB/ DC則厶DF0ABAE二DF=DEAB EB線的交點，DO= BQ又E為OD勺中點，DE=1DB則DE EB=1: 3,.DFAB=1： 3,/ DC= ABDF：DC=1： 3,.DF：FC=1: 2。故選D。PD PC x 7_ x143.C解析：設PD=乂，則(1)若厶APDTAPBC則AD=麗即 2 =丁，解之得x= -5；PD BC x3(2)若厶PADBPC則77=67，即云=，解之得

13、X1= 1,X2= 6。綜上所述，存在三個AD PC27x點巳使厶PAD與PBC相似。4.C解析：/AB= AC/ABC=ZACB又CBD=ZA, ABGABDC同理可得:AB BC CDDE EF DEABCABDQACDEDFE - BC=CD BD=而 苗CE且BD= BC, CE= CD解得：EF=號。故選 Co/ DE EC=1：2, ECCD=2：3 即ECAB=2：3,/AB/CDABFACEF - BF：EF=AB：EC=3： 2 BF BE=3： 5。146. 解析：四邊形ABCDi平行四邊形， AB/ CD AB= CD T AE BE= 4： 3, BE3AB=3：7,B

14、E CD=3：7T AB/ CDBEFADCF - BF：DF=BE CD=3：7,即 2：14DF= 3： 7,DF=。7. 7 解析：ABC是 等邊三角形，/B=/C= 60,AB= BC - CD= BC_BD=9 _ 3=6; /BADFZADB=120,T/ADE=60,ADBFZEDC=120,DAB=ZEDCAB DC96又T/B=/C= 60,.AABBADCE則BD=CE即 3=CE解得：CE=2,故AE= AC-CE=9-2 = 7。758. 解析：在RtAABC中,T BC=3,AC=4,.AB=5,BD=-。易知AB&AEBD62AB BE口 5BE252572

15、.D解析：在平行四邊形 O為對角23b bCD=aDE=孑，5. 3: 5 解析：12AD/ BC/ 2 = /3T BF是/ABC(2)T/AEF=/CEB/ 2 = / 3 ,9.解：的平分線，/1 =/ 2c/ 1 =/ 3cAB=AF。AE AF3 AEFACEB =；=;= ,EC BC510.解：(1)證明：在平行四邊形=/DECT/AF內/AFE=180,/AFD=/C(1)證明：如圖，在平行四邊形ABCD中,AE=3AC= 8。ABCD AB/ CD/AFE=/B,/AFD=/0在厶ADF與DEC中,AD/ BC/C+/B= 180, /ADFIADF=/ DEC二A ADFA

16、DEC( 2)解：T平行四邊形ABCD-CD= AB=8。由(1)知BC=BD即 3= 21, BE=_6, CE=BEBC=E_3=6。11.13ADFADEC：DD CD二DE= ADAECD宣3= 12。在RtADE中，由勾股定理得:DE CDAF4AE=JDEADi:l2 ( 6,3)2=6。11.解：(1 )證明：TAC平分/DABDAC=ZCABv/ADC=ZACB=90,ADQAACB AD AC=AC AB： AC=ABAD(2)證明：vE為AB的中點，二CE1 ”=2AB= AE/EAC=/ECAv/DAC=/CAB /DA=/ECA -CE/ AD (3)解：vCE/ AD114AF ACAFDACFEAD CE= AF CF,vCE AB - CE x6=3, vAD= 4, =, 223CF AF7=4。12.解： (1)證明： ABCAMN是等邊三角形， AB= AC AM= AN, /BAC=/MAN JrAB=AC=60,BAM=/CANv在厶BAMKACAN中, /BAM=/CAt, BAIWCAIN SAS,AM= AN /ABC=/ACN(