函數(shù)相關知識回顧

1、11.1 函數(shù)相關知識回顧函數(shù)相關知識回顧第一章第一章 函數(shù)函數(shù)1.2 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1.3 經(jīng)濟學中常用的函數(shù)經(jīng)濟學中常用的函數(shù)21.1 函數(shù)相關知識回顧函數(shù)相關知識回顧一一. 集合集合二二. 絕對值的性質(zhì)絕對值的性質(zhì)三三. 鄰域鄰域四四. 函數(shù)函數(shù)五五. 分段函數(shù)分段函數(shù)六六. 復合函數(shù)復合函數(shù)3一、集合一、集合 區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集區(qū)間是用得較多的一類數(shù)集.M= x | x所具有的特征所具有的特征 這里這里x所具有的特征所具有的特征, 實際就是實際就是x作為作為M的元素適合的的元素適合的充要條件充要條件. 所謂集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體所謂集合

2、是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 組成組成這個集合的事物稱為該集合的元素這個集合的事物稱為該集合的元素. 設設M是具有某種特征是具有某種特征的元素的元素 x 的全體所組成的集合的全體所組成的集合, 記作記作1.1 函數(shù)相關知識回顧函數(shù)相關知識回顧4,0,0aaaaa 二、絕對值的性質(zhì)二、絕對值的性質(zhì)定義定義1(1),; aaaaa 性質(zhì)性質(zhì)(2); aba b(3)(0);aa bbb5 bab bab(4),(0) ababab(6); ababab(5); abab(7). ab ab bab(0);或或6三、鄰域三、鄰域 設設a, b都是實數(shù)都是實數(shù), 且且a b, 數(shù)集數(shù)集 x |

3、a x b 稱為稱為開區(qū)開區(qū)間間. 記作記作(a, b), 即即 ( , )a bx axb( , ),( , ).aa b ba bba 類似還有閉區(qū)間類似還有閉區(qū)間, 半開半閉區(qū)間以及無限區(qū)間半開半閉區(qū)間以及無限區(qū)間. 其中數(shù)其中數(shù)ba 稱為有限區(qū)間的長度稱為有限區(qū)間的長度.其中其中 a 和和 b 稱為開區(qū)間的端點稱為開區(qū)間的端點, (如圖如圖)7a bx axb , ,a bx axb( , , , ),a bx axbababab(, ),axxa a8(, ,axxa a ,),ax ax a( ,),ax ax a(,).xx 9在微積分中常用到特殊的開區(qū)間在微積分中常用到特殊的開

4、區(qū)間鄰域鄰域.定義定義1 以以 x0為中心為中心, 以以 為半徑為半徑, 長為長為2 的開區(qū)間的開區(qū)間.即即 xxx xx000(,),0 2 0 xx00 x稱為稱為點點 x0 的的 鄰域鄰域 , 記為記為U(x0 , ).10例例1 點點2的的1鄰域鄰域 x | | x - 2| 1 = (1, 3).定義定義2 點點 x0 的的去心鄰域去心鄰域. 即即 0000000U0( x , ) xxx ( x,x )( x ,x ). 2 0 x0 x0 x定義定義3 點點 x0 的的左鄰域左鄰域, 即即0000(,)xxxxx0000(,)xxxxx 點點 x0 的的右鄰域右鄰域, 即即可類似

5、定義多元微積分中用到的平面上點的鄰域可類似定義多元微積分中用到的平面上點的鄰域.點點( )的的 鄰域記為鄰域記為 x | | x + | 0 為半徑的圓為半徑的圓222000(, ) ( , )()(),0U Mx yx xyy 例例2 點點(1,1)的的 鄰域是平面上以點鄰域是平面上以點(1, 1)為心為心, 為為221( ,) (1)(1)4x yxy o11xy半徑的一個開圓半徑的一個開圓圓鄰域圓鄰域. 即即內(nèi)的點的全體內(nèi)的點的全體. 即集合即集合12或以或以M0 為心為心, 2為邊長的正方形區(qū)域為邊長的正方形區(qū)域. 即集合即集合000(,)( ,),U Mx yxxyy 為為M0 的子

6、鄰域的子鄰域方鄰域方鄰域. oy0 x0 xy13四四.函數(shù)函數(shù)定義定義5 設設 x, y 是兩個變量是兩個變量, 若對若對D中每一個值中每一個值 x, 按照按照1. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義2.函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法一定的對應法則一定的對應法則 , 總有確定的數(shù)值和它對應總有確定的數(shù)值和它對應, 則稱則稱 y是是x的的函數(shù)函數(shù); 記作記作 y=(x). 稱稱 x 為自變量為自變量, y 為因變量為因變量; D為為定義域定義域; 集合集合列舉法、描述法、列表法、圖象法列舉法、描述法、列表法、圖象法.( ) ( ),D fy yf x x D 為為值域值域.14xx(x,(x)(x,(x)xx(x

7、,(x)(x,(x)xyxyoo圖圖1偶偶奇奇函函數(shù)數(shù)的圖形具有對稱性的圖形具有對稱性 (圖圖1) .(1) 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性: 設函數(shù)的定義域設函數(shù)的定義域D關于原點對稱關于原點對稱(為為偶偶奇奇函函數(shù)數(shù). .對稱區(qū)域對稱區(qū)域),而且而且xD,若若(x)=(x),則稱則稱(x)為為3. 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)15(2) 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性:若若(x)對其定義區(qū)間對其定義區(qū)間 I 上上,則稱則稱(x)在區(qū)間在區(qū)間 I 上嚴格單增或單調(diào)增加上嚴格單增或單調(diào)增加;對應曲線是上升的對應曲線是上升的. 如圖如圖2所示所示.2x1()f x2()f xy= (x)oxxyyo1x圖圖22x1

8、x1()f x2()f xy= (x)1212()()()()f xf xf xf x 或或則稱則稱(x)在區(qū)間在區(qū)間 I 上嚴格單減或單調(diào)減少上嚴格單減或單調(diào)減少;對應曲線是下降的對應曲線是下降的.1212( )( )( )( )f xf xf xf x 或或12,x xD 當當 時時, 恒有恒有 12xx 當當 時時, 恒有恒有 12xx 16 (3) 函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性: M 0 , xD, | (x) |M, 則則稱稱 (x) 在在 D 內(nèi)有界內(nèi)有界. (圖圖3)oy=My=Mxyy= (x)y=Mxoyy=M圖圖3xoyy= (x)y= (x)17(4) 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期

9、性: T0, 使使 (x+T)=(x). 則稱則稱(x)為為yox2TTT2Ty= (x)其圖象每隔其圖象每隔 T個單位就重復個單位就重復. (圖圖4)周期函數(shù)周期函數(shù). 滿足函數(shù)的最小正數(shù)滿足函數(shù)的最小正數(shù) T 稱為稱為 (x) 的的 (最小正最小正)周期周期. 圖圖4184. 顯函數(shù)及隱函數(shù)顯函數(shù)及隱函數(shù)5. 反函數(shù)反函數(shù) 由方程由方程 F(x , y) = 0 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 設函數(shù)的定義域為設函數(shù)的定義域為D, 值域為值域為W. 若對若對yW, D上至少上至少可以確定一個數(shù)值可以確定一個數(shù)值 x 與與 y 對應對應, 且且間有一定的關系間有一定的關系.函數(shù)函數(shù)y =(x) 的

10、的反函數(shù)反函數(shù). 而原函數(shù)而原函數(shù) y =(x)為直接函數(shù)為直接函數(shù); x , y稱為稱為隱函數(shù)隱函數(shù). 而將而將 y = (x) 稱為函數(shù)的顯式稱為函數(shù)的顯式.1( ) ( )yf xxfy 或或( ) ( ).f xyxy 若把若把 y 看作自變量看作自變量, x 看作因變量看作因變量, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 為為( )xy 互換便有互換便有 , ( )xy 從而函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域及圖象從而函數(shù)與反函數(shù)定義域、值域及圖象19五五.分段函數(shù)分段函數(shù)問題：是否所有的函數(shù)都可用一個數(shù)學表達式表示呢？問題：是否所有的函數(shù)都可用一個數(shù)學表達式表示呢？有的函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)有的函數(shù)在其定義域

11、的不同范圍內(nèi), 要用兩個或兩個以要用兩個或兩個以例例3 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù) ,0,0 xxyxxx yxoy = |x|值域值域0, +). 定義域定義域(,+).上的數(shù)學表達式來表示上的數(shù)學表達式來表示, 這一類函數(shù)叫作這一類函數(shù)叫作分段函數(shù)分段函數(shù).201,0sgn()0,01,0 xyxxx 值域值域1，0，1.例例4 符號函數(shù)符號函數(shù)定義域定義域(,+).例例5 狄立克萊函數(shù)狄立克萊函數(shù) 1,(0,(xQyxQ 有有理理數(shù)數(shù)集集) )無無理理數(shù)數(shù)集集) )11oxy21例例6 取整函數(shù)取整函數(shù)(階梯曲線階梯曲線) y = x 為不超過為不超過 x 的最大的最大整數(shù)部分整數(shù)部分. 如圖

12、如圖:個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).實際上是取左端點實際上是取左端點.oxy12112注注 分段函數(shù)雖有幾個表達式分段函數(shù)雖有幾個表達式, 但它們合起來表示一但它們合起來表示一22地的行李費地的行李費 y (元元)與重量與重量 x (千克千克)之間的函數(shù)關系式之間的函數(shù)關系式.0.15 ,05050 0.15 (50) 0.25, 50 xxyxx 解解 例例7 火車站收取行李費規(guī)定如下火車站收取行李費規(guī)定如下: 當行李不超過當行李不超過50千克千克時時, 按基本運費計算按基本運費計算, 如從上海到某地收如從上海到某地收 0.15 元元/千克千克, 當當超過超過50千克時超重部

13、分按千克時超重部分按0.25元元/千克收費千克收費. 試求上海到該試求上海到該確定分段函數(shù)的定義域并求確定分段函數(shù)的定義域并求f (1), f (0), f (1), f (x1).21,10 ( ),2,01xxf xx 例例823,0()()4, 02;5,2xxfxg xxxxx ,0()()36 ,02 .5,2xxfxg xxxxx 21,02,0 ( ),( ),0,025,0 xxxxf xg xxxx 或或求求 f (x) + g (x), f (x) g (x). 例例9解解222,01(1).2,12xxxf xx 解解24六六.復合函數(shù)復合函數(shù)個新的函數(shù)個新的函數(shù).復合而

14、成的復合函數(shù)為復合而成的復合函數(shù)為2 ,1yu ux由由21yx所謂復合函數(shù)就是把兩個或兩個以上的函數(shù)組合成一所謂復合函數(shù)就是把兩個或兩個以上的函數(shù)組合成一 例例10是定義在是定義在 D上的函數(shù)上的函數(shù), 值域為值域為Z. 合而成的復合函數(shù)合而成的復合函數(shù). u 稱作中間變量稱作中間變量.定義定義6 設設 是定義在是定義在U上的函數(shù)上的函數(shù), 而且而且( )ux ( )yf u 若若 , 有有 與之對應，而與之對應，而 通過法則通過法則 與與 對應，對應，xD uuZU fy( )ux ( )yf u 和和( ( )yfx 則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) 復復25例例11 求下列函數(shù)的復合函數(shù)：求下列函數(shù)的復合函數(shù)：(1) (), ();uyfueux 2( 2 ) a r c ta n , ;yuux 222(3) , ; ()(4) , , ;2(5) arcsin , 2.yuuxyxxxyuuctgvvyuux故它們不能復合成一個復合函數(shù)故它們不能復合成一個復合函數(shù).有意義有意義, 因因 的值域為的值域為 不能使不能使22ux 2u u arcsin yu 26將幾個簡單函數(shù)將幾個簡單函數(shù)(基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)與?；境醯群瘮?shù)或由基本初等函數(shù)與常例例12 將下列函數(shù)分解為簡單函數(shù)并求其定義域：將下列函數(shù)分解為簡單函數(shù)并求其定義域：222(56)(