現在讓我們看一看

1、 10.商域商域 現在讓我們看一看，由一個環(huán)來得到一個域的第二種方法。 我們知道普通整數的集合作成一個子環(huán)，有理數的集合作成一個域，而整數環(huán)是有理數的一個子域的一個子環(huán)?，F在我們問，給了一個環(huán)R，是不是可以找到一個除環(huán)或包含這個R。一個環(huán)R要能被一個除環(huán)或域包含，有一個必要條件，就是R不能有零因子，因為除環(huán)或域沒有零因子。當R是非交換環(huán)時，這個條件還不充分，因為有例子告訴我們，一個無零因子的非交換環(huán)不一定能被一個環(huán)包含（參看：A.Malcev,On the Immersion of an Algebraic Ring into a Field,Math. Ann. P.113. 1936）.我

2、們這一節(jié)里要證明，當R是交換環(huán)時，以上條件也是充分的。我們所用的方法完全是由整數和有理數的關系到來的。定理定理 1 沒一個沒有零因子的交換環(huán)R都是一個域Q的子環(huán)。在A的元間我們規(guī)定一個關系 ： ，當而且只當 的時候很明顯， 證明證明 當R只包含零元的時候 ，定理顯然是對的。我們看至少有兩個元R。用 來表示R的元。我們作一個集合, , ,a b c ,0aAa bRbb所以符號aabbaba baabbaaaabbbb,aaaaaabbbbbb,aaaabbbb,aba ba ba b abbab ba b ba bba b ba b b （） （） 我們也有 因為：由 可得 （）但 ，R沒有零

3、因子，所以可得 這樣， 是一個等價關系。 這個等價關系把集合A分成若干類 。我們作一個集合 對于的元我們規(guī)定0baba baabbab 0aQb 所有類acadbcbdbd acacbdbd 這樣規(guī)定的是 的加法和乘法。因為： 第一，由于R沒有零因子， 都是 的元。 第二，假定 0Q0,00bdbdadbcacbdbd和0Q,aaccbbdd 那么 另一方面， ,aba bcdc dab dda bddcd bbc dbbadbcb da db cbd adbca db cbdb d ab cda bcdacb dacbd aca cbdb d 兩類加法相乘的結果與類的代表無關。 對于加法來說

4、作成一個加群：0Qaccabddb aceacfdebdfbdf adfbcfbdebdf（1） （2） aceadbcebdfbdfadfbcfbdebdf （3） （4） 0cbccbdbdd 0aabbb 的不等于零的元對于乘法來說作成一個交換群：乘法適合交換律與結合律，顯然； 是單位元； 的逆元是 。我們很容易驗算，分配律也成立。0Qaa ab ba 放在一起，作成一個集合 ，那么 是一個R與 間的一一映射。由于 這樣， 作成一個域。我們把 的所有的元0Q0Q,qaqaq是一個固定的元任意0Rqaaq0R22qabqabqaqbqqqqqabqaqbqqq以上映射是同構映射： 0RR這

5、樣，由，5，定理4，有一個包含R的域Q存在。證完。 這樣得來的域Q的構造似乎相當復雜，但實際上并不如此。Q既然是包含R的域，R的一個元 在Q里有逆元 ，因而在Q里有意義，我們有0b 1b11,0babb aa bR ba定理定理 2 Q剛好是由所有元 ,0ba bR ba11babb aa所作成的，這里 的樣子。我們看 的任意元 。由于 證明證明 要證明Q的沒一個元可以寫成 的樣子，只須證明 的每一個元可以寫成ab0Q1qaqqaqbqqqbq0Qab 1qbqaqq我們的確有122qaqqaqbq aaqqq bbqbq ab至于每一個 多屬于Q，顯然。證完。 Q的元既然都可以寫成 的樣子，

6、由，3，Q的元有以下性質：ab（1） ,acadbcbdacadbcbdbda cacb dbd當而且只當的時候這樣，Q與R的關系正同有理數域與整數環(huán)的關系一樣，Q的構造并不復雜。定義定義 一個域Q叫做環(huán)R的一個商域，假如Q包含R，并且Q剛好是由所有元,0aa bR bb所作成的。 由定理1和2，一個有兩個以上的元的環(huán)，F是一個包含R的域。那么F包含R的一 個商域。 一般，一個環(huán)很可能有兩個以上的商域。我們有定理定理 3 假定R是一個有兩個以上的元，F是一個包含R的域。那么F包含R的一個商域。11,0aabb aa bR bb,0aQa bR bb所有Q證明證明 在F里有意義。作F的子集顯然是R的一個商域。證完。 但R的沒一個商域都適合計