反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例1 1.arcsi

2、n的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例2 2.log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx

3、 二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)因變量對(duì)自變量求導(dǎo), ,等于因變量對(duì)中間變等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo)乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxu

4、ufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例3 3.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例4 4.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)arcsin2()2(

5、222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( a例例6 6.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 三、小結(jié)三、小結(jié)反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過(guò)程（注意函數(shù)的復(fù)合過(guò)程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導(dǎo)法

6、）導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或常或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.思考題思考題 若若)(uf在在0u不可導(dǎo)，不可導(dǎo)，)(xgu 在在0 x可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(00 xgu ，則，則)(xgf在在0 x處處（ ）（1）必可導(dǎo)；）必可導(dǎo)；（2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)；思考題解答思考題解答正確地選擇是正確地選擇是（3）例例|)(uuf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 u取取xxgusin)( 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x|sin|)(xxgf 在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 x )1(

7、取取4)(xxgu 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x44|)(xxxgf 在在 處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，0 x )2(一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)4)52( xy, ,則則y = =_._.2 2、 設(shè)設(shè)xy2sin , ,則則y = =_._.3 3、 設(shè)設(shè))arctan(2xy , ,則則y = =_._.4 4、 設(shè)設(shè)xycosln , ,則則y = =_._.5 5、 設(shè)設(shè)xxy2tan10 ，則，則y = =_._.6 6、 設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且)(2xfy ， 則則dxdy= =_._.7 7、 設(shè)設(shè)xkexftan)( , ,則則)(xf = =_， 若若ef 4 ，則，

8、則 k_._.練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：1 1、 xy1arccos ； 2 2、xxy2sin ；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ； 6 6、xeyarctan ；7 7、xxyarccosarcsin ； 8 8、xxy 11arcsin. .三、三、 設(shè)設(shè))(xf，)(xg可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且0)()(22 xgxf, ,求函數(shù)求函數(shù))()(22xgxfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . .四四、設(shè)設(shè))(xf在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，且且0)0( f，0)0( f, ,又又)(xF在在0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)，證證明明 )(xfF在在0 x處處也也可可導(dǎo)導(dǎo) . .一、一、1 1、3)52(8 x； 2 2、x2sin； 3 3、412xx ； 4 4、xtan ； 5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx ； 6 6、)(22xfx ； 7 7、xxkekxk21tansectan , ,21. .二、二、1 1、122 xxx； 2 2、22sin2cos2xxxx ；3 3、221x