隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率

1、第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率相關(guān)變化率 一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 .13xy 由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .又如又如,013 yx顯函數(shù)顯函數(shù)0ee xyy不能顯化不能顯化, 但可確定但可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù).隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法: : 0),( yxF0),(dd yxFx兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo),記住記住(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y ).(xyy 若由方程若由方程

2、0),( yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,函數(shù)為函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù). .則稱此則稱此定義定義. .sin xy 例例如如一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例例1.1.dd )( 0ee xyxyyxyy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程yx)( 解解: : 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)0)ee(dd xyxy得得xyydde).0e( edd xxyxyyyxyxdd 00 03275 xxyy)(xyy 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).0dd xxy解解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)0)32(dd75 xxyyx得得xyydd54xy

3、dd2 1 621x 0 .25211dd46 yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故.210dd xxy確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)例例2 求由方程求由方程 191622 yx在點在點)323,2(處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對橢圓方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)8xyy 920 yk 2323 xyyx169 2323 xy.43 故切線方程為故切線方程為323 y43 ),2( x即即. 03843 yx2 : xyk切切線線斜斜率率例例3 求橢圓求橢圓 xydd 0sin21 yyx所確定的隱函數(shù)的二階所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).dd22xy解解: :在方程兩邊對

4、在方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得1(1) .cos22dd yxy 上式兩邊再對上式兩邊再對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), ,得得222)cos2()cos2(2ddyyxy .)cos2(sin43)1(yy 代代入入xyyddcos21 0 2)cos2(sin2yyy y = y (x)例例4 求由方程求由方程 )0(sin xxyx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 方法方法I. 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法. .xxylnsinln 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy 1xx lncos xxsin )sinlncos(sinxxxxxyx 方法方法II. 指數(shù)求導(dǎo)法指數(shù)求導(dǎo)法. .xxylnsine 函數(shù)化為函數(shù)

5、化為則則)ln(sinelnsin xxyxx兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù), ,化為隱式得化為隱式得y 是隱函數(shù)是隱函數(shù)例例5 求求 1. 對對冪指函數(shù)冪指函數(shù))0( uuyv求導(dǎo)求導(dǎo).uvylnln yy 1uv ln uvu )ln(uvuuvuyv 2. 有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)有些顯函數(shù)用對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便很方便 .1) 可用可用對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)求導(dǎo): :2) 可用可用指數(shù)求導(dǎo)法指數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)求導(dǎo): :uvylne )ln(elnuuvuvyuv 說明：說明： . )4)(3()2)(1( 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxxy 21ln y對對 x 求導(dǎo)求導(dǎo) 21 yy)4)(3()2)(1

6、(21 xxxxy 41312111 xxxx兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)2ln()1ln( xx )4ln()3ln( xx 11x21 x31 x 41 x解解: :先考慮當(dāng)先考慮當(dāng) x 4 時的情形時的情形. .當(dāng)當(dāng)x 1和和2 x 3時時, ,用同樣的方法可得相同的結(jié)果用同樣的方法可得相同的結(jié)果. .例例6 例如例如 ,21 ,221gttvytvx,1vxt ,222112xvgxvvy 則則.2112xvgvvy 所以所以消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 如果消參困難或無法消參如何求導(dǎo)如果消參困難或無法消參如何求導(dǎo)? ?t., 定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間

7、間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若由由參參數(shù)數(shù)方方程程xy )()(tytx 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ),( )( 1xttx 具具有有單單調(diào)調(diào)連連續(xù)續(xù)的的反反函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)).( 1xy 則則, 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得xttyxydddddd txtydd1dd ,)()(tt .ddddddtxtyxy 即即, )()( 中中在方程在方程 tytx 例例5 5解解: :txtyxydddddd ,sincostatb )cos()sin(

8、 tatbtatbxyksincos dd .ab .4 sincos 處處的的切切線線方方程程在在求求橢橢圓圓 ttbytax,4時時當(dāng)當(dāng) t.22,22 000byaxM 的的坐坐標標為為相相應(yīng)應(yīng)點點故所求切線方程故所求切線方程:),22(22axabby . 02 abaybx即即4 t4 t4sin4cos ab 例例6 6. ,21, 221向向的運動速度的大小和方的運動速度的大小和方求拋射體在時刻求拋射體在時刻的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為已知拋射體的運動軌跡已知拋射體的運動軌跡tgttvytvx 解解: : txdd 速度的水平分量速度的水平分量,1v tydd 鉛直分量鉛直分量,2g

9、tv 拋射體的速度大小拋射體的速度大小: :22dddd tytxv;)(2221gtvv xy1v2vv 速度的方向即為軌跡的切線方向速度的方向即為軌跡的切線方向. . , 為為切切線線的的傾傾角角設(shè)設(shè) tan 則則xyddtxtydddd .12vgtv , )0( 時時故故在在拋拋射射體體剛剛射射出出 t 0tant .12vv , 2時時當(dāng)當(dāng)gvt , 0tan2 gvt 這時運動方向是水平的這時運動方向是水平的, , 拋物體達到最高點拋物體達到最高點. .xy1v2vv )(, )(tt 二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 22ddxy)dd(ddxyx )(2t )()(tt )()(tt )(t

10、 .)()()()()(3ttttt )dd(ddxyt txdd)()(ddttxy )(tx 且且,0)( t 則由它確定的函數(shù)則由它確定的函數(shù))(xfy 可求可求二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)利用利用新的參數(shù)方程新的參數(shù)方程,可得可得.dd22xy若在參數(shù)方程中若在參數(shù)方程中 例例7 7解解: :.)cos1()sin(所所確確定定函函數(shù)數(shù)的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求由由擺擺線線方方程程 tayttax),cos1()(tat ,sin)(tat 33222)cos1 (sin)cos1 (costatatta 則則令令 ),cos1()( ),sin()( tatttat ,cos)(tat ,sin)

11、(tat 322)()()()()(dd tttttxy ).,2( )cos1 (12Znntta 方法方法I: 公式法公式法. 方法方法II: :復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法. )sin( )cos1( ttatattcos1sin ) )sin()2(cot ttat)cos1(2csc212tat )cos1(12sin212tat txtyxydddddd xyxxydddddd22),2(2cotZnntt txxytdd)dd(dd ).,2( )cos1 (12Znntta )10(1sin 222 yytttx確定函數(shù)確定函數(shù), )(xyy 求求.ddxy解解: 方程組兩邊對

12、方程組兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故 xydd.)cos1)(1(ytt 0ddcosdd2 tyytyt 22dd ttxyttycos12dd )1(2dd ttxtyddtxdd隱函數(shù)隱函數(shù): y = y ( t )例例8 設(shè)由方程設(shè)由方程 )(, )(tyytxx 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)系之間有聯(lián)系tytxdd,dd之間也有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱為稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題問題: 已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率? ?找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)

13、系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率方法方法: :三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 其速率為其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為 500 m 時時, 觀察員觀察員視線的仰角增加率是多少視線的仰角增加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,則則 tan500h兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd thdd5001 已知已知,minm140dd th h = 500m 時時,1tan 22tan1sec ,2sec2 tdd 140500121 14. 0 ).minrad/(仰角與氣球高度有關(guān)仰角與氣球高度有關(guān)例

14、例9. 一氣球從離開觀察員一氣球從離開觀察員500 m 500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升, 100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點走來的速率向氣球出發(fā)點走來,當(dāng)距離為當(dāng)距離為500 m 時時, 仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少 ?提示提示: tanx500對對 t 求導(dǎo)求導(dǎo) 2sectdd txxdd5002 已知已知,minm100dd tx.ddt x500,m500 x求求設(shè)在設(shè)在 t 時刻氣球出發(fā)點與觀察者的距離為時刻氣球出發(fā)點與觀察者的距離為x, 則則仰角與觀察者到氣球出發(fā)點仰角與觀察者到氣球出發(fā)點的距離有關(guān)的距離有關(guān). .思考題思考題: 當(dāng)氣球升至當(dāng)氣球升至500m 500m 時停住時停住 , , 有一觀測者以有一觀測者以 試求當(dāng)容器內(nèi)水試求當(dāng)容器內(nèi)水Rhxhr今以今以 自頂部向容器內(nèi)注水自頂部向容器內(nèi)注水 ,scm253位等于錐高的一半時水面上升的速度位等于錐高的一半時水面上升的速度.解解: 設(shè)時刻設(shè)時刻 t 容器內(nèi)水面高度為容器內(nèi)水面高度為 x , 水的水的 VhR231 )(312xhr xrh)(33322xhhhR 兩邊對兩邊對 t 求導(dǎo)求導(dǎo)tVdd22hR 2)(xh ,ddtx 而而,)(25222xhRh ,2時時當(dāng)當(dāng)hx hx