高考數(shù)學(xué)難題-正余弦定理的綜合應(yīng)用（解析版）

1、第11講 正余弦定理的綜合應(yīng)用1（2020秋湖北月考）在中，內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知， （1）求大?。唬?）求的值【解析】解：（1），可得：，可得：（2）由，所以：，解得：由于，所以：，兩邊同除以，得到：解得：（舍去），則：2（2020秋蒙城縣校級(jí)月考）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知的面積為（）求；（）若，求外接圓的半徑【解析】解：（）由面積公式可知，即，由正弦定理可知，所以（）由，可得，又知，則由正弦定理可知，故外接圓的半徑為3（2020化州市二模）設(shè)三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，的面積滿足（1）求角的值；（2）求的取值范圍【解析】解：（1）的面積滿足，可得，即有，則，由，可得；（2）由，即，由，可得

2、，則，即有的取值范圍是，4（2020金安區(qū)校級(jí)模擬）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且滿足，（1）求角的大??；（2）求周長(zhǎng)的最大值【解析】解：（1）由已知，得由正弦定理，得，即，（2分）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以?分）因?yàn)?，所以?分）（2）由余弦定理，得，即（8分）因?yàn)?，?0分）所以即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）所以（12分）5（2020秋安徽期末）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知（1）求；（2）若的面積為2，求周長(zhǎng)的最小值【解析】解：（1）中，由，及二倍角余弦公式可得，即；所以，所以；（2）由，得，所以，所以，所以；又，所以；由余弦定理得：，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）；所以，即周長(zhǎng)的最小值為6（2020春三明期末

3、）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，已知（1）求；（2）若，的面積為2，求【解析】解：（1），兩邊平方，可得：，可得，（2）由（1）可知，可得，由余弦定理可得，可得7（2020秋華安縣校級(jí)月考）如圖，在中，是內(nèi)的一點(diǎn)（）若是等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（）若，設(shè)，求的面積的解析式，并求的最大值【解析】（）解：因?yàn)槭堑妊苯侨切蔚闹苯琼旤c(diǎn)，且，所以，又，則在中，由余弦定理得，所以（）在中，所以由正弦定理可得：，故，所以的面積為：，故：，當(dāng)時(shí)，的最大值為8（2020成都模擬）已知的三個(gè)內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且滿足，（1）求的值；（2）若平分交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)【解析】解：（1）由余弦定理得，即，聯(lián)立

4、，解得，（2），由，得，9（2020福建模擬）四邊形中，（1）求；（2）若，求四邊形的面積【解析】解：（1）在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，即，解得（2）設(shè)，在中，由正弦定理得，即，解得，四邊形的面積：10（2020安慶二模）在中，角，的對(duì)邊分別是，其外接圓的半徑是1，且滿足（）求角的大?。唬ǎ┣竺娣e的最大值【解析】解：（）中，其外接圓的半徑是1，；又，即，；又，；（），即，即，當(dāng)，即時(shí)，的面積取得最大值為11（2020九江三模）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且滿足（）求角的大??；（）若，求面積的最大值【解析】解：（），由正弦定理可得，由余弦定理可得，（）由（）可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即

5、，面積的最大值12（2020秋資陽月考）在中，內(nèi)角，所對(duì)的邊分別為，且滿足（1）求角的大??；（2）若，求的最大值【解析】解：（1）由正弦定理得，則，因?yàn)椋谑?，又，故?）根據(jù)余弦定理，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為413（2020襄陽模擬）在中，內(nèi)角、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是、，已知，（）求的值；（）若，為邊上的點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)【解析】（本題滿分為12分）解：（）由，得：，（2分）、是的內(nèi)角，因此，故（4分）由，得：（6分）（8分）（）由，得：（9分）由正弦定理得：，可得：，（11分）在中，（12分）14（2020廣州一模）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，（）求；（）若的面積是，求【解析】（本題滿分

6、為12分）解：（）在中，因?yàn)?，由余弦定理得，?分）所以，整理得，（2分）解得（3分）所以（4分）所以是等邊三角形（5分）所以（6分）（）法1：由于是的外角，所以（7分）因?yàn)榈拿娣e是，所以（8分）所以（9分）在中，所以（10分）在中，由正弦定理得，（11分）所以（12分）法2：作，垂足為，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以（7分）因?yàn)榈拿娣e是，所以（8分）所以（9分）所以在中，（10分）所以，所以（11分）（12分）15（2020江蘇一模）在中，分別為角，的對(duì)邊若，且（1）求邊的長(zhǎng)；（2）求角的大小【解析】解：（1），化為：，相加可得：，解得另解：在中，則，由正弦定理得，（2）由（1）可得：由正

7、弦定理可得：，又，可得，即，或，解得：另解：由正弦定理得，又，解得，16（2020江蘇一模）在中，分別為角，所對(duì)邊的長(zhǎng)，（1）求角的值；（2）若，求的面積【解析】（本題滿分為14分）解：（1）在中，因?yàn)椋苑忠驗(yàn)?，由正弦定理，得所以分若，則，與矛盾，故于是又因?yàn)?，所以分?）因?yàn)?，由?）及正弦定理，得，所以分又分所以的面積為分17（2020春磐安縣期末）在銳角中，為邊上一點(diǎn)，且（）已知：，求的面積；（）已知：，求【解析】解：，又，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故，的面積為：在中，由正弦定理可得：，在中，由余弦定理可得18（2020秋石景山區(qū)期末）如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，（）若，求的大??；（）若，

8、求的面積【解析】解：（）設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以，即（）過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以；所?9（2020江西模擬）在中，角，的對(duì)邊分別為，已知（1）證明：為鈍角三角形；（2）若的面積為，求的值【解析】（本小題滿分12分）解：（1）證明：由正弦定理：，又，即，所以，所以，所以為鈍角，故為鈍角三角形 （6分）（2）解：因?yàn)椋?，又，所以?（12分）20（2020秋武陵區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)（1）求面積的最大值；（2）若，的面積為4，為銳角，求的長(zhǎng)【解析】解：（1）在中，是邊上一點(diǎn)，由余弦定理，得，面積的最大值為；（2）設(shè)，在中，的面積為4，為銳角，由余弦定理，得，21（2020包頭模擬）在中，角，對(duì)的邊分別為，且，（1）求的值；（2）若，求的面積【解析】解：（1）