西北工業(yè)大學(xué)自動控制原理-

1、西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院西北工業(yè)大學(xué)自動化學(xué)院 自自 動動 控控 制制 原原 理理 教教 學(xué)學(xué) 組組自動控制原理自動控制原理 本次課程作業(yè)本次課程作業(yè)(15)4 - 2, 3 4 - 4, 8選做選做自動控制原理自動控制原理第第 15 講講4.1 4.1 根軌跡法的根本概念根軌跡法的根本概念4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么4.3 4.3 廣義根軌跡廣義根軌跡 4.4 4.4 利用根軌跡分析系統(tǒng)性能利用根軌跡分析系統(tǒng)性能 4 4 根軌跡法根軌跡法課程回想課程回想1 1 根軌跡：根軌跡： 系統(tǒng)某一參數(shù)由系統(tǒng)某一參數(shù)由 0 0 變化時，閉環(huán)極變化時，閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn) 在在 s s

2、 平面相應(yīng)變化所描畫出來的軌跡平面相應(yīng)變化所描畫出來的軌跡 閉環(huán)極點(diǎn)閉環(huán)極點(diǎn) 與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)及與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)及 K K* * 均有關(guān)均有關(guān)相角條件：相角條件：模值條件：模值條件： 根軌跡方程根軌跡方程 K K與與K K* *的關(guān)系的關(guān)系 閉環(huán)零點(diǎn)閉環(huán)零點(diǎn) = = 前向通道零點(diǎn)前向通道零點(diǎn) + + 反響通道極點(diǎn)反響通道極點(diǎn)課程回想課程回想2 2法那么法那么1 1 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)個數(shù)根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)，終止于開環(huán)零點(diǎn)；當(dāng)開環(huán)極點(diǎn)個數(shù)n n大大于開環(huán)零點(diǎn)個數(shù)于開環(huán)零點(diǎn)個數(shù)m m時，有時，有 n-m n-m 條根軌

3、跡分支趨向于無窮遠(yuǎn)處。條根軌跡分支趨向于無窮遠(yuǎn)處。 法那么法那么2 2 根軌跡的分支數(shù)，對稱性和延續(xù)性：根軌跡的分支數(shù)，對稱性和延續(xù)性： 根軌跡的分支數(shù)根軌跡的分支數(shù) = = 系統(tǒng)階數(shù)；根軌跡延續(xù)且對稱于實軸。系統(tǒng)階數(shù)；根軌跡延續(xù)且對稱于實軸。 法那么法那么3 3 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡： 從實軸上最右端的開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)向左算起，奇數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)從實軸上最右端的開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)向左算起，奇數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn) 到偶數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)之間的區(qū)域必是根軌跡。到偶數(shù)開環(huán)零、極點(diǎn)之間的區(qū)域必是根軌跡。 定理定理: : 假設(shè)系統(tǒng)有假設(shè)系統(tǒng)有2 2個開環(huán)極點(diǎn)，個開環(huán)極點(diǎn)，1 1個開環(huán)零點(diǎn)，且在復(fù)平面存在根軌跡

4、，個開環(huán)零點(diǎn)，且在復(fù)平面存在根軌跡， 那么復(fù)平面的根軌跡一定是以該零點(diǎn)為圓心的圓弧。那么復(fù)平面的根軌跡一定是以該零點(diǎn)為圓心的圓弧。法那么法那么4 4 根之和：根之和： n-m2 n-m2時，閉環(huán)根之和為常數(shù)。時，閉環(huán)根之和為常數(shù)。 4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么7 7法那么法那么5 5 漸近線：漸近線：mnzpnimjiia 11 n m時，時，n-m條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處的規(guī)律。條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處的規(guī)律。mnka )12(證明證明: (1) 根軌跡方程根軌跡方程1*()()njjmiispKsz ()n mas 1()()n mn mn maassnm s 11

5、()nmajijin mpz nnnjjmmmiisp ssz s1111()() nmn mn mjijispz s111() mmmiisz s11() nnnjjsp s11() n ms mnniisz s11() nmnjijipz s111() nmn mjijipz s111()njjmiispsz1()() 4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么8 8法那么法那么5 5 漸近線：漸近線：mnzpnimjiia 11 n m時，時，n-m條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處的規(guī)律。條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處的規(guī)律。mnka )12(證明證明: (2) 由相角條件由相角條件mnij

6、ijszspk11()()(21) ()aaamnmn (21)akn m 4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么9 9法那么法那么5 5 漸近線：漸近線：mnzpnimjiia 11 n m時，時，n-m條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處的規(guī)律。條根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處的規(guī)律。mnka )12(例例1 系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為系統(tǒng)開環(huán)傳送函數(shù)為 )2()(* ssKsG ，試?yán)L制根軌跡，試?yán)L制根軌跡 。解解. 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：-2，0 漸近線：漸近線：1020211 mnzpnimjiia 90)12(mnka 4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么101

7、0例例2 系統(tǒng)構(gòu)造圖如下圖。系統(tǒng)構(gòu)造圖如下圖。)4)(1()2()(* ssssKsG解解. (1) 漸近線：漸近線：23132410 a 9013)12( ka 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：-4,-2, -1,0-4,-2, -1,0 12*vKK1繪制當(dāng)繪制當(dāng)K*= 0時系統(tǒng)的根軌跡；時系統(tǒng)的根軌跡；2當(dāng)當(dāng)Rel1 = -1 時，時，l3=?用根之和法那么分析繪制根軌跡：用根之和法那么分析繪制根軌跡：33211)1(25410 na3253 (2) 4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么11 11法那么法那么6 6 分別點(diǎn)分別點(diǎn) d d： mjjniizdpd11

8、11闡明：闡明：無零點(diǎn)時右端為無零點(diǎn)時右端為0對應(yīng)重根對應(yīng)重根)2()4)(1()(* sKssssD23()()0s dssd *23( )(1)(4)(2)()2()()0s ddD sdds ssKssdsdsdsdsds *(1)(4)(2)(2)(1)(4)(2)2s dddds ssKssdsdsdss ssKss ln(1)(4)ln(2)s ddds sssdsds )2ln()4ln()1ln(ln sdsdsssdsdds2141111 dddd試根試根:5 . 0, 1 d5 . 01 d6 . 02 d55. 03 d589. 024155. 0* ddddddK4.2

9、 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1212例例3 單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為)2)(1()(* sssKsG解解. 漸近線：漸近線：13210 a 180,603)12( ka 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：-,-2, -1,0-,-2, -1,0 12*vKK)2)(1()(* sssKsG，繪制根軌跡。，繪制根軌跡。 分別點(diǎn)：分別點(diǎn)：021111 ddd整理得：整理得：02632 dd解根：解根： 577. 1423. 021dd 與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：? ?385. 021423. 0* dddddK4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法

10、那么繪制根軌跡的根本法那么1313法那么法那么7 7 與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)：解法解法I ：1 1系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定點(diǎn)2 2s = jw s = jw 是根的是根的點(diǎn)點(diǎn)023)2)(1()(*23* KsssKssssD)2)(1()(* sssKsG接例接例3 Routh ：解法解法II ：023)(*23 KjjjD 03)(Re*2 KjD 02)(Im3 jD2 6* K22 穩(wěn)定范圍穩(wěn)定范圍 ：0K34.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1414法那么法那么8 8 出射角出射角/ /入射角入射角 起始角起始角/ /終止角終止角1)(2km1j)jz(s)

11、n1iip(s 180375 .1089059195 .561 例例4 單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為*(1.5)(2j)( )(2.5)(0.5j1.5)KssG ss ss ，繪制根軌跡。，繪制根軌跡。 1805 .63153121199901172 791 5 .1492 4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1515例例5 知系統(tǒng)構(gòu)造圖，繪制根軌跡。知系統(tǒng)構(gòu)造圖，繪制根軌跡。22)2(21)2(1)(2 sssKsssssKsG解解. 漸近線：漸近線：323110 a 180,603)12( ka 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：-,0-

12、,0 12vKKk 與虛軸交點(diǎn)：與虛軸交點(diǎn)： 出射角：出射角： 1801359001 451 022)(23 KssssD 02)(Re2 KjD 02)(Im3 jD2 4 K4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1616例例6 單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為為)42)(20()(*jsssKsG 解解. 漸近線：漸近線：6422200 a 135,454)12( ka 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：-20, 0-20, 0 1400*vKK)204)(20()(2* ssssKsG，繪制根軌跡。，繪制根軌跡。 分別點(diǎn)：分別點(diǎn)：04214212

13、011 jdjddd試根得：試根得：1 .15 d 虛軸交點(diǎn)：虛軸交點(diǎn)：04)2()2(2201122 dddd040010024)(*234 KsssssD 0100)(Re*24 KjD 040024)(Im3 jD1 . 424400 1389* K 出射角：出射角： 1805 .125 .116901 391 138814)2(201 .1522* dddddK4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1717例例6)42)(20()(*jsssKsG 漸近線：漸近線：6 a 135,45a 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：-20, 0-20, 0 分別點(diǎn)：分別點(diǎn)：1

14、 .15 d 虛軸交點(diǎn)：虛軸交點(diǎn)：1 . 4 1389* K 出射角：出射角： 39 13881* dK 1400*vKK穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍：穩(wěn)定的開環(huán)增益范圍：0 K 3.47250 K 3.4725基于根軌跡的系統(tǒng)設(shè)計工具基于根軌跡的系統(tǒng)設(shè)計工具RLToolRLTool4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1818)322)(1()1()(*jssssKsG 解解. 漸近線：漸近線：323)141( a 180,603)12( ka 實軸上的根軌跡：實軸上的根軌跡：(-,-1, 0, 1(-,-1, 0, 1 116*vKK例例6 知知)164)(1()1()(2*

15、sssssKsG，繪根軌跡，繪根軌跡; 求穩(wěn)定的求穩(wěn)定的K范圍。范圍。 分別點(diǎn)：分別點(diǎn)： 26. 249. 021dd11164)2(21112 dddddd 出射角：出射角： 1809 .130120901 .1061 9 .541 6 .7005. 31164149. 026. 22*2,1ddddddddK4.2 4.2 繪制根軌跡的根本法那么繪制根軌跡的根本法那么1919例例6)164)(1()1()(2* sssssKsG 116*vKK零點(diǎn)接近極點(diǎn)時的情況零點(diǎn)接近極點(diǎn)時的情況( (例例3)3) 虛軸交點(diǎn)：虛軸交點(diǎn)：0)16(123)(*234 KsKssssD 012)(Re*24 KjD 0)16(3)(Im*3 KjD 56. 256. 121 1632* K016924 7 .357 .19*2*1KK7 .357 .19* K23. 216234. 1* KK穩(wěn)定的穩(wěn)定的 范圍：范圍：K*K穩(wěn)定的穩(wěn)定的 范圍：范圍：繪制根軌跡法那么小結(jié)繪制根軌跡法那么小結(jié)法那么法那么 5 5 漸漸近線近線mnzpnimjiia 11 mnka )12(法那么法那么 1 1 根軌跡的起點(diǎn)和根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)終點(diǎn)法那么法那么 2 2 根軌跡的分支數(shù)，