第3章 人壽保險躉繳純保費的厘定

1、第三章人壽保險躉繳純保費的厘定本章結(jié)構(gòu)n人壽保險躉繳純保費厘定原理n死亡即刻賠付保險躉繳純保費的厘定n死亡年末賠付保險躉繳純保費的厘定n遞歸方程n計算基數(shù)第三章中英文單詞對照一n躉繳純保費n精算現(xiàn)時值n死亡即刻賠付保險n死亡年末給付保險n定額受益保險nNet single premiumnActuarial present valuenInsurances payable at the moment of death nInsurances payable at the end of the year of deathnLevel benefit insurance第三章中英文單詞對照二n定期

2、人壽保險n終身人壽保險n兩全保險n生存保險n延期保險n變額受益保險nTerm life insurancenWhole life insurancenEndowment insurancenPure endowment insurancenDeferred insurancenVarying benefit insurance第一節(jié)人壽保險躉繳純保費厘定的原理 人壽保險簡介n什么是人壽保險n狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的的一種保險。n 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標底

3、的生存保險和兩全保險。人壽保險的分類n受益金額是否恒定n定額受益保險 n變額受益保險n保單簽約日和保障期期始日是否同時進行n非延期保險n延期保險 n保障標的的不同n人壽保險（狹義）n生存保險n兩全保險 n保障期是否有限n 定期壽險 n 終身壽險人壽保險的性質(zhì)n保障的長期性n這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。n保險賠付金額和賠付時間的不確定性n人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。n被保障人群的大數(shù)性n這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算

4、出平均賠付并可預(yù)測將來的風險。躉繳純保費的厘定n假定條件:n假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。n假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經(jīng)驗生命表進行擬合。n假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益（即預(yù)定利率）。純保費厘定原理n原則n保費凈均衡原則n解釋n所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值 基本符號n 投保年齡 的人。n 人的極限年齡n 保險金給付函數(shù)。n 貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值)(xxtbtvtztttvbz躉繳純保費

5、的厘定n躉繳純保費的定義n在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現(xiàn)時值 n躉繳純保費的厘定n按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于()tE z第二節(jié)死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定死亡即刻賠付n死亡即刻賠付的含義n死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。n由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。主要險種的躉繳純保費的厘定nn年期定期壽險n終身壽險n延期m年的終身壽險nn年期生存

6、保險nn年期兩全保險n延期m年的n年期的兩全保險n遞增終身壽險n遞減n年定期壽險1、n年定期壽險n定義n保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。n假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtnzbvtnbtntn躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：1:nxAdtpedtpvdttfzzEAtxxtnttxxtntTnttnx0001:)()(現(xiàn)值隨機變量的方差n方差公式n記（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）n所以方差等價為 20222)()()()()(t

7、nTttttzEdttfezEzEzVardttfeAnTtnx)(021:221:1:2)()(nxnxtAAzVar例3.1n設(shè)n計算( )1 , 01001000.1xS xxi 130:101 (2)( )tAVar z（）例3.1答案055. 0092. 021. 1ln21. 1701 092. 07011 . 1 )()(2092. 01 . 1ln1 . 1701 7011 . 1)(1001)()()() 1 (2010210022110:30110:30201010010030110:30ttttttTdtAAzVardtdttfvAxxStxStf）（2、終身壽險n定義n

8、保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元終身壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：xA000( )( )xttTtttxx ttxx tAE zz ft dtvpdtepdt現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價為 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例3.2n設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元n保險金在死亡即刻賠付n簽單時，

9、(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為n計算1 , 060(t)600 , Ttf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的例3.2答案0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）例3.2答案0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve3、延期終身壽險n定義n保險人對被保險人在投保m年

10、后發(fā)生的保險責任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzbvtmbtmtm死亡即付定期壽險躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：xmA001:( )( )( )( )mxttTmmtTtTxx mAE zz ft dtz ft dtz ft dtAA現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價于2222( )()( )( )( )ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxmmVar zAA例3.3n假設(shè)（x）

11、投保延期10年的終身壽險，保額1元。n保險金在死亡即刻賠付。n已知n求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA例3.3答案0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 4、n 年定期生存保險n定義n被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險

12、n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 1 , 0 , 0 , ntnttttvvtvtnzbvtnbtntn躉繳純保費的厘定n符號：n躉繳純保費厘定n現(xiàn)值隨機變量的方差：1: x nA1:( )nnx ntnxnxAE zvpep222112:( )()()nntnxnxx nx nVar zvpvpAA5、n年定期兩全保險n定義n被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , , , , 1 ,

13、 0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt躉繳純保費的厘定n符號：n厘定記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則: x nA1z2z3z312zzz11:312( )( )( )xnxnxnE zE zE zAAA現(xiàn)值隨機變量方差因為所以31212121212()( )()( ,)( )()()( )()Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11:312:()( )()x nx nVar zVar zVar zAA例3.4（例3.1續(xù)）n設(shè)n計算( )1 , 010

14、01000.1xS xxi 30:101 (2)( )tAVar z（）例3.4答案1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA由例3.1已知：6、延期m年n年定期兩全保險n定義n被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩

15、全保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttttm ntvtmntmvvtmnzbvvtmntmvtmnbtm 躉繳純保費的厘定n符號：n厘定:mx nA1:11:mx nx mx m nmx nmx nAAAAA現(xiàn)值隨機變量的方差n記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則1z2z3z312zzz11:312:()( )()mx nmx nVar zVar zVar zAA7、遞增終身壽險n定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)

16、n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增一次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定1ttztv011()( )1txttxx tkttxx tkkIAE ztvpdtkvpdt 一年遞增m次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定()01111()( )mtxttxx tmk smmttxx tksmk smmtIAE zvpdtmmksvpdtm 1ttmtzvm一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定ttztv0()( )txttxx tIAE ztvpdt8、遞減定期壽險n定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)n特別

17、：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞減一次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定 ,0,ttntvtnztn 1:011()( )(1)tttxx tx nknttxx tkkDAE zntvpdtnkvpdt一年遞減m次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定(),0,ttnt vtnztn1:0()( )()ntttxx tx nDAE znt vpdt第三節(jié)死亡年末賠

18、付躉繳純保費的厘定死亡年末賠付n死亡年末賠付的含義n 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當年年末給予保險賠付。n由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費時通常先假定的理賠方式。 基本符號n 歲投保的人整值剩余壽命n 保險金在死亡年末給付函數(shù)n 貼現(xiàn)函數(shù)。n 保險賠付金在簽單時的現(xiàn)時值。n 躉繳純保費。kxK)(kbkvkzkkk

19、zbv()kE zx定期壽險死亡年末賠付場合n基本函數(shù)關(guān)系n記k為被保險人整值剩余壽命，則11 , 0,1,11 , 0,1,10 , , 0,1,10 , kkkkkkkvvknknbknvknzb vkn躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：11:011:0()nkkkxx kx nknkxx kx nkAE zvpql Avd1: x nA現(xiàn)值隨機變量的方差n公式n記n等價方差為122220()()()()nkkkkkxx kkkVar zE zE zvpqE z1212:0nkkxx kx nkAvpq2112:()()kx nx nVar zAA死亡年末給付躉繳純保費公式歸納終身壽險延期m

20、年的n年定期壽險延期m年的終身壽險n年期兩全保險延期m年的n年期兩全保險遞增終身壽險遞減n年定期壽險kxxkkkxqpvA0111:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmx m nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxx kx nx njkjDAnkvpqA例3.5n（x）歲的人投保5年期的定期壽險，保險金額為1萬元，保險金死亡年末給付，按附錄2示例生命表計算（1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。（2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純

21、保費。（3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。（4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。例3.5答案4411120:52.5%002345120:56%160:52.5%160:56%(1)100001000099.0569102.0149105.2582108.8135112.7102100009617850.912 1000048.363 10000739.664 10000703kkx kkxx kkkxdAvp qvlvvvvvAAA同理可得（ ）（ ）（ ）.37死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系（剩余壽命在分數(shù)時期均勻分布假定） n以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值

22、剩余壽命加死亡之年分數(shù)生存壽命：n則有 ( )( ) 1( ) 1( )( )( )T xK xS xT xK xS xvvv11110()()()TKSsxxxE vE vE viAAvdsA死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關(guān)系(UDD)n在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的 倍。條件1：條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即 i,lnttvvv tb*1tKbb例3.6n（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄2示例生命表計算n（1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。n（2）60歲的

23、人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。n（3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。n（4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。例3.6答案9404.591000048881.3410000399.431910000258.8841)(10000100008790.049617815.956501000054.5110000005154. 0)1ln(005091. 0) 1 (%65 :60%5 . 25 :60%65 :201%5 . 25201%5 . 25 :20%5 . 2520520551%5 . 25201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 .

24、25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :20AAAAAAvpvAAAiiAiAA）（）（）（再求已知：例3.7n對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據(jù)附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質(zhì)利率6%計算躉繳純保費。例3.7答案307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkk第四節(jié)遞歸公式躉繳純保費遞推公式n公式一：n理解(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。 1xx