2017年中考數學二輪全等三角形專題復習

1、2017年中考數學二輪全等三角形專題復習九年級二輪專題復習材料專題四：全等三角形、相似三角形【近3年臨沂市中考試題】1. （2016?臨沂T25）如圖1,在正方形ABC前，點E,F分別是邊BQAB上的點，且CE=BF連接DE；過點E作EG!DE使EG=DE連接FGFC.（1）請判斷：FG與CE的數量關系是，位置關系是；（2）如圖2,若點E,F分別是邊CRBA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）如圖3,若點E,F分別是邊BCAB延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷.2. （2015?臨沂T18）如圖，在ABC,BQ

2、CE分別是邊ACAB上的中線，BD與CE相交于點Q則3. （2015?臨沂T25）25（本小題滿分11分）如圖1,在正方形ABCD的外側，作兩個等邊三角形AD臣口DCF連接AF,BE.（1）請判斷：AF與BE的數量關系是，位置關系是；（2）如圖2,若將條件“兩個等邊三角形AD訝口DCF變?yōu)椤皟蓚€等腰三角形AD訝口DCF且EA=ED=FD=FC第（1）問中的結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）若三角形AD臣口DCF為一般三角形，且AE=DFED=FC第（1）問中的結論都能成立嗎？請直接寫出你的判斷.4. （2014臨沂T25）問題情境：如圖1,四邊形ABC虛正方形，M是BC邊上的一點，

3、E是CD邊的中點，AE平分.探究展示：（1）證明：；（2）是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.拓展延伸：（3）若四邊形ABC虛長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2,探究展示（1）、（2）中的結論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明.【知識點】全等圖形的性質：全等多邊形的對應邊、對應角分別相等。全等三角形對應邊上的高，中線相等，對應角的平分線相等；全等三角形的周長，面積也都相等。1.一般三角形全等的判定（1）邊邊邊公理：三邊對應相等的兩個三角形全等（“邊邊邊”或“SS6）。（2）邊角公理：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（“邊角邊”或"SA6）。（3）角邊角

4、公理：兩個角和它們的夾邊分別對應相等的兩個三角形全等（“角邊角”或"ASA）。（4）角角邊定理：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（“角角邊”或"AAS）。2.直角三角形全等的判定（1）利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等.（2）斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（“斜邊、直角邊''或"HL'）.相似三角形的性質1.相似三角形的一切對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比。2.相似三角形周長的比等于相似比。3.相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的判定方法有：

5、1.平行與三角形一邊的直線（或兩邊的延長線）和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似。2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。3.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。4.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。直角三角形相似判定定理1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。【規(guī)律方法】證明兩三角形全等或相似基本方法步驟：1.確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、

6、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關系）；2.證明三角形全等首先找邊，然后再看三角形滿足怎樣的條件，還需要證明什么條件；3.從題目中分析每個條件能導出什么新的條件，或者能組合成什么有幫助的條件。4.從問題倒著思考，考慮回答這個問題需要什么條件，而這個條件是否在題目中出現，或者是否可以重新推理出來、或者是否運用到什么定理、推論、公理、規(guī)律等。5.當求兩線段之比時，通常構造相似三角形得出對應邊之比；6.當出現如右圖形時，要考慮三角形相似和三角形全等；7.當出現“中點+中點”時，要聯想到三角形中位線.【中考集錦】一、選擇題1.（2013貴州安順，5,3分）如圖，已知AE=CF/AFDhCEB那么添

7、加下列一個條件后，仍無法判定AD*zCBE的是：（）A./A=/CB.AD=CB3.BE=DFD.AD/1BC2.（2013河北，11,3分）如圖4,菱形ABC師，點M,N在AC上，MELADNFLAB.若NF=NM=2,ME=3,貝UAN=A.3B.4C.5D.63.（2013湖南湘潭，8,3分）如圖，在ABC中，AB=AC點DE在BC上，連結ADAE.如果只添加一個條件使/DAB=/EAC則添力口的條件不能為A.BD=CEBAD=AECDA=DEDBE=CD4.（2013山東東營，10,3分）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x,那么x的

8、值（）5.（2013西寧市，6,3分）使兩個直角三角形全等的條件是（）A.一銳角對應相等B.兩銳角對應相等C.一條邊對應相等D.兩條邊對應相等6.（2013貴州貴陽，8,3分）如右圖，M是RtzABC的斜邊BC上異于B、C的一定點，過點M作直線截ABC使截得的三角形與ABCffi似，這樣的直線共有（）A.1條B.2條C.3條D.4條7. （2013浙江臺州，10,3分）已知A1B1CKzA2B2c2勺周長相等，現有兩個判斷：若A1B1=A2B2,A1C1=A2c2®A1B1C養(yǎng)A2B2c2若/A1=/A2,ZB1=ZB2,則A1B1C牝zA2B2C2對于上述的連個判斷，下列說法正確的

9、是（）A.正確錯誤B.錯誤正確C.，都錯誤D.，都正確8.（2013重慶A卷，9,3分）如圖，在平行四邊形ABC師，點E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點F,若AE=2EDCD=3cm則AF的長為（）A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm9. （2013哈爾濱，9,3分）如圖，在ABg,MN分別是邊ABAC的中點，則AAMN勺面積與四邊形MBCN面積比為（）.A.12B.13C.14D.2310. （2013廣西桂林，12,3分）如圖，已知邊長為4的正方形ABCDP是BC邊上一動點（與B、C不重合），連結AP,彳PE!AP交/BCD的外角平分線于E,設BP=xPCE®積為

10、V,則y與x的函數關系式是（）A.y=2x+1B.y=x2x2C.y=2xx2D.y=2x二、填空題1.（2013湖南婁底，12,3分）如圖，AB=AC要使AABmAACD應添加的條件是.（添加一個條件即可）2. （2013天津，14,3分）如圖，已知/C=ZD,/ABCWBAD,ACWBD相交于點O,請寫出圖中一組相等的線段.3.（2013黑龍江綏化，3,3分）如圖，AB、C三點在同一條直線上，/A=ZC=90,AB=CD請?zhí)砑右粋€適當的條件，使得4EA單ABCD4.（2013黑龍江農墾牡丹江，13,3分）如圖，在ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD請?zhí)砑右粋€適當的條件使AABSzACD.

11、（只填一個即可）5.（2013浙江臺州，8,4分）如圖，在4ABC中，點D,E分別在邊AB,AC上,且，貝U的值為（）A.1：B.1：2C.1：3D.1：4第4題第5題6.（2013寧夏回族自治區(qū)寧，14,3分）zABC中，DE分別是邊AB與AC的中點，BC=4,下面四個結論：DE=2;AAD曰AAB（CADE的面積與乙ABC的面積之比為1:4;/人口目勺周長與ABC的周長之比為1：4;其中正確的有.（只填序號）7.（2013浙江寧波，18,3分）如圖，等腰直角三角形ABC頁點A,C在x軸上，/BCA=90,AC=BC=,反比例函數的圖象分別與AB,BC交于點D,E.當s時，點E的坐標為8.（

12、2011山西，11,2分）如圖，ABC中，AB=AQ點DE分別是邊ABAC的中點，點GF在BC邊上，四邊形DEF盅正方形.若DE=2?M,則AC的長為（）9.（2011貴州遵義，10,3分）如圖，在直角三角形ABC+（/C=900）,放置邊長分別3,4,的三個正方形，則x的值為（）10.（2013山東荷澤，14,3分）如圖所示，在？ABC中，BC=6,E、F分別是ARAC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D,CBP的平分線交CE于Q當CQ=CE時，EP+BP=.三、解答題1.（2013吉林，20,7分）如圖，在ABC/ACB=90.延長AB至點D,使DB=AB連接CD以CD為直角作等腰三

13、角形CDE其中/DCE=90，連接BE.（1）求證：zAC四BCE（2）若AC=3cm,則BE=cm.2.如圖，在等腰直角三角形ABC中，/ABC=90,D為AC邊上中點，過D點DE?ADF交AB于E,交BC于F,若AE=4FC=3求EF長.3. （2011陜西，18,6分）如圖，在正方形ABCM,點G為BC上任意一點，連接AG過B、D兩點分別作BE1AGDF±AG垂足分別為E、F兩點.求證：AD*ABAE4. （2011山東煙臺，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCDK/ABC=90,CDLADAD4CD2=2AB2（1）求證：AB=BC當BE!AD于E時，試證明：BE=AE+

14、CD5. （2013貴州銅仁，24,12分）如圖，AC是。0的直徑，P是。0外一點，連結PC交。0于B,連結PAAR且滿足PC=50PA=30PB=18.（1）求證：PA&APC;A（2）求證：AP是。0的切線.【特別提醒】（1）根據相似三角形找對應邊時，出現失誤找錯對應邊，因此在寫比例式時出錯，導致解題錯誤信息；（2）在定理的實際應用中，常常忽視“夾角相等”這個重條件，錯誤認為有兩邊對應比相等，再有一組角相等，就能得到兩個三角形相似。（3）兩邊一對角（SSA）和三角（AAA）對應相等的兩個三角形不一定全等。答案：1、【答案】B【考點解剖】本題考查了全等三角形的判定方法，熟練掌握全等三

15、角形常見判定方法是解題的關鍵。【解題思路】已知AE=CF可知AF=CE又/AFDWCEB即知道一組對應邊相等，一組對應角相等，因此添加的條件可以是任意一組對應角，或是加一組對應邊且保證已知的對應角是夾角。2、【答案】B.【考點解剖】本題考查了菱形的性質和相似三角形的判定和性質，找出與所求線段有關的相似三角形是解答本題的關鍵.【解題思路】由菱形對角線平分一組對角可得到/FANhEAM由“兩角對應相等的兩個三角形相似”可得RtFAWRtAEAIM由“相似三角形對應邊成比例”列出含有AN的比例式，解之即可.3、【答案】C【考點解剖】本題考查全等三角形的判定.，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵

16、.【解題思路】本題主要是轉化為證明AB乎zACE因為AB=AC所以/B=/C,此時對四個選項逐一判斷，能否證明得到ABD2AACEBP可.4、【答案】B.【考點解剖】本題考查了相似三角形的性質，勾股定理、正確運用相似三角形的性質對應邊成比例式是解題的關鍵.5、【答案】D【考點解剖】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定定理是解答本題的關鍵.6、【答案】C【考點解剖】本題考查相似三角形判斷，熟練運用兩對角對應相等的兩個三角形相似這一判斷方法是解答此題的關鍵.【解題思路】分兩種可能，(1)過點隨乍直線截AC以M為頂點的角等于/A=90或等于/B,(2)過點M作直線截AR以M為頂點的角等于

17、/A=90或等于/C,因為過一點只有一條直線垂直于已知直線，所以以M為頂點的角等于/A=90°時的兩直線重合.【解答過程】如圖，分別過點M作AABCE邊的垂線11、12、13,易證此時分別形成的三角形均與原三角形相似，所以共3條.7、【答案】D【考點解剖】考察全等三角形的判定，相似三角形的判定及性質，關鍵是根據等量減等量差相等，證邊相等，及相似比等于周長比靈活應用.【解題思路】由周長相等，A1B1=A2B2,A1C1=A2C2得出第三邊也相等，從而得出三角形全等。由兩角對應相等，證明三角形相似，由三角形的相似比等于周長比，得出相似比為1:1,證出三角形全等.【解答過程】;A1B1=A

18、2B2,A1C1=A2c2A1B1+,A1C1+B1C1=A2c2+A2B2+B2C2;B1C1=B2C2.A1B1C牝4A2B2c2(SSS;/Al"A2,/B1=/B2,A1B1CS/M2B2c2,由周長相等，得相似比為1,故A1B1C牝zA2B2c2.8、【答案】B.【考點解剖】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是找到與已知線段和所求線段有關的相似三角形.【解題思路】由平行四邊形的性質可知AB/CD由此可證得AF8ADCE利用相似三角形對應邊成比例即可求解.9、【答案】B.【考點解剖】本題考查了三角形的中位線定理、相似三角形的性質和判定，充分利用中位

19、線的性質是解題的關鍵.【解題思路】先由MN分別是邊ARAC的中點，確定出MNMABC勺中位線，從而得到MINZAR因此AM2AABC再根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，從而求出AMNCfABC勺面積比，再根據比例性質可求得AMN勺面積與四邊形MBCN的面積比.10、【答案】C【考點解剖】本題是一道立足正方形的動點問題，綜合考查了相似三角形判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是“動中取靜”、抓住相似三角形的不變性建立PCE的面積為y與BP長度的函數關系式.【解題思路】過點E作EF,BC垂足為F,結合正方形的性質可證/BAP吆APB=90,/FPE吆APB=90,得/BA

20、PhFPE又/B=/PFE可證AABWPFE得關系式，由于CE為/BCD勺外角平分線，且EF±BC得AECF為等腰直角三角形，CF=EFPF=PC+CF=PC+EF=4（+EF,所以，得EF=x,從而得PCE®積為y=2xx2.二、填空題1、【答案】答案不唯一，如：/C=ZB/C=ZB或/AEBhADJAEBhADC或/CEBWBDQCEBWBDC或AE=ADAC=ABCE=BE.【考點解剖】本題考查了一般三角形全等的判定方法：SSSSASAASASA.【解題思路】根據已知可知兩個三角形已經具備SA對應相等，所以根據全等三角形的判定方法，可以添加一邊或一角都可以全等.2、【

21、答案】AC=BDgBC=ADgOD=O或OA=OB.【考點解剖】本題考查了三角形全等的判定與性質，掌握全等的判定與性質是解決問題的關鍵.【解題思路】先推ADBABC/A根據全等的性質得AC=BDBC=AD勺關系，再推OA=OBOC=OD.3【答案】AE=CB（或EB=BD或/EB氏90或/E=/DBC亨）.【考點解剖】本題是一個條件開放性的問題，考查的是全等三角形的判定和分類的數學思想.掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵.【解題思路】按SASASAAASHL判定，添加缺少的邊和角即可.4、【答案】本題答案不唯一，如/ACD=/B或/ADC=/ACB.【考點解剖】本題主要考查相似三角形的判定方法

22、，兩個相似三角形的判定方法有：（1）有個角相等的三角形；（2）兩邊對應成比例，夾角相等；（3）三邊對應成比例.【解題思路】從圖形可知，ABCffiACDT公共角/A,因此運用判定方法（1）（2）,即只要在添加一對角相等或者添加兩夾邊對應成比例即可.5、【答案】1:3【考點解剖】本題考查了相似三角形的判斷定理及相似三角形的性質，解答本題的關鍵是證相似以及相似比與面積比的關系。【解題思路】根據比例式判定三角形哪兩組邊對應成比例，觀察夾角是否相等？證出兩三角形相似，再由相似三角形面積比等于相似比的平方算出兩三角形的面積比，繼而推出三角形和四邊形的比.6、【答案】.【考點解剖】本題既考查了三角形的中位

23、線，又考查了相似三角形，關鍵是要從三角形的中位線入手.【解題思路】由DE分別是邊AB與AC的中點，知道DE/BC且DE=BC,從而有AD9AABC.7【答案】（，）.【考點解剖】本題將一次函數與反比例函數和相似結合在一起考查，屬于綜合題，難度適中.【解題思路】由相似三角形的對應角相等推知BDE勺等腰直角三角形；根據反比例函數圖象上點的坐標特征可設E(a,),D(b,),由雙曲線的對稱性可以求得ab=3;最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值.【解答過程】解：如圖，BCA=90,AC=BC=2反比例函數y=(x>0)的圖象分別與AB,BC交于點D,E,./BAChABC=45,且可設

24、E(a,),D(b,),/.C(a,0),B(a,2),A(2?a,0),易求直線AB的解析式是：y=x+2?a.又.BDaABCA/BDEhBCA=90,直線y=x與直線DE垂直，.點DE關于直線y=x對稱,則=,即ab=3.又二點D在直線AB上,.=b+2?a,即2a2?2a?3=0,解得，a=,點E的坐標是(，).8、分析：由題意知DE是等腰ABC的中位線，所以DE/ZBCDE=BC因為DE=2?M所以BC=4?M又DE/BC所以AD曰AAB(C且相似比為.過點A作A皿BC于點M.則MC=2?M,由點E是邊AC的中點，EF/AM所以FC=1?M在EFC+,因為正方形DEFG勺邊長是2?M所以根據勾股定理得EC=,所以AC=9、x=7解：二在直角三角形ABC中(/C=90°),放置邊長分別3,4,x的三個正方形，.CEMAOMEAPFfN.OEPN=OMPF,EF=xMO=3PN=4.OE=x3,PF=x-4,(x-3)(x-4)=12,.x=0(不符合題意，舍去)，x=7.10、【答案】12.【解答過程】如圖，當C(Q=CE時，延長BQ交射線EF于點G.BQF分/CBP./CBQ=/QBPEF是ABAC的中點，.EF/ZBC./CBQ=/QGP./QBP=/QGP.PB=PGEP+B