高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值的求解方法

1、 函數(shù)最值的解法及其在生活中的應(yīng)用（渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 11級2班） 摘要：函數(shù)最值問題是現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)課程中的重要組成部分，也是高考考查的重要內(nèi)容之一，在高考中占有比較重要的地位.但由于最值問題綜合性較強(qiáng).解法比較靈活.所以對各方面知識及選擇何種解題方法方面都有較高的要求.本文主要對函數(shù)最值問題進(jìn)行研究，探討各種不同的求解方法，闡述函數(shù)最值問題研究的重要性，得到求解函數(shù)最值的幾種方法及求解時(shí)應(yīng)注意的一些問題.關(guān)鍵詞:函數(shù);最值;解法1緒論函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個高中階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要內(nèi)容之一解決函數(shù)最值問題就是實(shí)現(xiàn)未知向已知、新問題向

2、舊問題以及復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化的過程，雖然解決問題的具體方法不完全相同，但就其思維模式來說，一般是將待解決的問題進(jìn)行一次次的轉(zhuǎn)化，直至劃為一類很容易解決或已解決的問題，從而獲得原問題的解答函數(shù)最值問題是一類特殊的數(shù)學(xué)問題，它在生產(chǎn)、科學(xué)研究和日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中也占據(jù)著比較重要的位置，是近幾年數(shù)學(xué)競賽中的常見題型也是歷年高考重點(diǎn)考查的知識點(diǎn)之一由于其綜合性強(qiáng)，解法靈活，因此解決這類問題，要掌握各數(shù)學(xué)分支知識，并能綜合運(yùn)用各種所學(xué)知識技巧，選擇合適的解題方法1.1函數(shù)最值的定義：一般地，函數(shù)的最值分為最小值和最大值:設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且在處的函?shù)值是如果對于定義域內(nèi)

3、任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最小值，記作；如果對于定義域內(nèi)任意，不等式都成立，那么叫做函數(shù)的最大值，記作. 函數(shù)的最值一般有兩種特殊情況：（1）如果函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)， 則是在上的最小值(最大值)，是在上的最大值(最小值).（2）如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極大(小)值，而沒有極小(大)值，則此極大(小)值就是函數(shù)在區(qū)間上的最大(小)值.2函數(shù)最值的求解方法探究中學(xué)數(shù)學(xué)的最值知識是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中最值問題的基礎(chǔ)，因此最值問題歷來是各類考試的熱點(diǎn)。利用中學(xué)數(shù)學(xué)知識解決最值問題方法很多，如定義法、導(dǎo)數(shù)法、配方法、消元法、數(shù)形結(jié)合法、以及不等式的證明等等，選擇合適的方法才能讓問題

4、迎刃而解.2.1定義法利用定義解決函數(shù)最值的相關(guān)問題時(shí)，其重要的一點(diǎn)就是要把握定義的內(nèi)涵，準(zhǔn)確地加以應(yīng)用! 需要注意的是: 函數(shù)一定有值域，但不一定有最值. 例1設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，下列命題中正確的是:（1）若存在常數(shù)，使得對任意，有 ，則是函數(shù)的最小值;（2）若存在，使得對任意的，有，則是函數(shù)的最小值;（3）若存在，使得對任意的，且有，則是函數(shù)的最小值;解析 根據(jù)函數(shù)最小值的定義知，（1）是假命題: 雖然滿足最小值定義中的任意性，但不滿足存在性，故錯誤（2）（3）正確: 實(shí)質(zhì)上，它們是等價(jià)命題，都滿足最值定義中的兩個條件2.2導(dǎo)數(shù)法例2 求函數(shù)在的最值. 解 , 令=3=0 解得 ，可知 比較

5、得 故函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值是105,最小值是-3.2.3單調(diào)性法閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值來源于區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值和函數(shù)在這個區(qū)間上的極值,而極值又來源于的根處的函數(shù)值.所以建議求可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的最值可分以下兩步步驟進(jìn)行:1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù);2.求函數(shù)在a,b內(nèi)令的的值（稱之為”駐點(diǎn)”);3.判斷駐點(diǎn)左右兩側(cè)的正負(fù),以此判斷函數(shù)曲線的走向（為上升,為下降）,左邊上升、右邊下降的駐點(diǎn)處的函數(shù)值為極大值,反之為極小值; 4.如果函數(shù)駐點(diǎn)較多,分段討論,并可以列表、畫圖表達(dá); 5.求最大值,將所有極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值一起比較,取最大的,則為最大值.最小值亦然。2.4 判別式法對于某

6、些特殊形式的函數(shù)的最值問題，經(jīng)過適當(dāng)變形后，使函數(shù)出現(xiàn)在一個有實(shí)根的一元二次方程的系數(shù)中，然后利用一元二次方程有實(shí)根的充要條件來求出的最值.例3 2.5 配方法如果給定函數(shù)是二次函數(shù)或變形后可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題，一般可用此法求解.例3 求在區(qū)間內(nèi)的最值.解：配方得,因?yàn)?所以，從而當(dāng)即，取得最大值；當(dāng)即時(shí)取得最小值1.2.5 消元法 在求多元函數(shù)最值的條件中#若能由條件中的多元關(guān)系解出某些變量，則可考慮通過代入消元法#把多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)來解決，以達(dá)到簡化的目的! 例4 已知，求的最大值 解：由已知得 將代入化為一元函數(shù)，再用配方法即可求得。2.6 數(shù)形結(jié)合求最值 數(shù)形結(jié)合法是一種重

7、要的解題方法#其核心就是利用函數(shù)的幾何意義把函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決!此法直觀性較強(qiáng)#易于理解#有一定的靈活性且常有化難為易的神奇效果。例5 已知直線,求函數(shù)+的最值.解 此題的幾何意義是在直線上求一點(diǎn),使得到點(diǎn),的距離之和最小.(如下圖31）設(shè):點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線的方程為.由幾何光學(xué)原理知當(dāng)點(diǎn)光源從射出后,經(jīng)鏡面反射到點(diǎn),這時(shí)就是所求的最小值.設(shè)點(diǎn)關(guān)于光線的對稱點(diǎn)為,于是 =,由 化簡得 解得 所以 = = 圖312.7 換元法求最值換元變換是一種重要的數(shù)學(xué)變換#在數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用!正確而靈活地運(yùn)用換元法可使問題化繁為簡，化難為易。 例6 設(shè),求的最值. 解 , (為參數(shù)),

8、則 =.從而 =. 因-1,當(dāng)(即)時(shí),故;當(dāng)(即)時(shí),故.2.8 最值不等式的證明定理 設(shè)()若非負(fù)整數(shù)滿足:(1) (2) 那么有(I)滿足條件(1)的值是唯一的;(II)當(dāng)時(shí),的最小值為.例7 證明 ,().證 令,那么 , 這里由條件(1)可得,若方程有解,必須滿足,由此可知的取值只能是1,2.經(jīng)過驗(yàn)證只有是方程的解,且,滿足條件(2),故由結(jié)論(II),可得,即 ,成立.注 文中定理利用高等數(shù)學(xué)知識可推廣為:定理 設(shè)(),若存在常數(shù)滿足 那么.3求解函數(shù)最值時(shí)應(yīng)注意的一些問題3.1注意定義域求最值問題的時(shí)候，在求解的過程當(dāng)中，要注意觀察定義域的變化情況，首先看到題目的時(shí)候，應(yīng)該先把確

9、定函數(shù)的定義域；在解題過程中，當(dāng)函數(shù)變形時(shí)應(yīng)注意定義域是否發(fā)生改變，如果引入新變量也應(yīng)該確定新變量的取值范圍，以免在后面的求解過程中出現(xiàn)錯誤；在解題結(jié)束時(shí)，必須檢驗(yàn)所求得的使函數(shù)取得最值的自變量是否包含在定義域的范圍內(nèi)例 求函數(shù)的最值.錯解：將兩邊同時(shí)平方并去分母得.因?yàn)?，所以，化簡?所以，故，.分析：這個答案致錯原因是兩邊平方及去分母，使函數(shù)的定義域擴(kuò)大了.正解：將兩邊平方并去分母，得.因?yàn)?，所以，化簡?所以，注意到原函數(shù)的定義域是，則有，于是必有. 所以，故，.3.2注意值域求函數(shù)的最值，不但對幾種基本初等函數(shù)的值域要非常熟悉，而且在解題過程中還要注意函數(shù)取值范圍的變化.參考文獻(xiàn)11方

10、曉華，吳鳳香，黃寶存.函數(shù)最問題的解法探討.金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2002,2(2).2潘玉曉.關(guān)于函數(shù)最值問題的探討J.南陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005(9). 3戴寶爾，李杏蓮.初等方法求解函數(shù)最值問題J.科技資訊，2008(20). 4戚雪敏.淺談求函數(shù)最值問題的方法J.2011(11)5人民教育出版社中學(xué)教學(xué)室.數(shù)學(xué)第三冊必修IM.北京:人民教育出版社,2006: 50-51.6袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化理論與方案第5次M.北京:科學(xué)出版社,2005:45-47.7陳傳理,張同君.數(shù)學(xué)建模教程第二版M.北京:高等教育出版社,2005:149.8周漢良.數(shù)學(xué)規(guī)劃及其實(shí)用M超星數(shù)字圖書館,1995:

11、56-60.9人民教育出版社中學(xué)教學(xué)室.數(shù)學(xué)第三冊必修IM.北京:人民教育出版社,2006: 50.7董國陽.關(guān)于求函數(shù)最值問題的探討J.2011(11).13張維進(jìn).一類指數(shù)函數(shù)最小值的初等求法J. 電子學(xué)報(bào),1999,(2).Discussion on the function most value in the application of lifeYang Jing (Weinan Teachers University , Shanxi Weinan) Abstract: Application of mathematics is an important task in the t

12、eaching of mathematics. This paper will through the definition of the value function and the method of solving the most value, the value of the function and system, which is an important and basic properties and functions, which made people realize the function most value question has a close relati

13、onship with the actual the problem. Finally, the value function can use the knowledge, to solve the problems in real life.首先提出函數(shù)最值和函數(shù)最值相關(guān)理論的定義.又給出了函數(shù)最值與上（下）確界的關(guān)系;其次給出了函數(shù)最值的一些求解方法(如最值的導(dǎo)數(shù)一般求法、消元法、數(shù)形結(jié)合法、換元法、以及不等式的證明等);然后利用這些方法對一些實(shí)際生活中的一些問題加以解決(比如成本最低、最大利潤、速度最快等）,還有生活中的一些關(guān)于最值的一些現(xiàn)象;最后是總結(jié)了函數(shù)最值對實(shí)際生活中起到了一定的

14、影響,并對以后函數(shù)最值的進(jìn)一步發(fā)展和研究積極的重要作用. Firstly, the value function and the value function of the definition of related theory. And given the value function and the relationship between the (lower) bound; secondly, gives some methods to solve the value function (such as the value of the derivative of general m

15、ethod, elimination method, combination method, substitution method, and to prove inequality etc.); and then use these some of the problems in real life (for example, to solve the minimum cost maximum profit, the fastest speed, etc.) and the life of some of the most value of some phenomenon; the last is a summary of the value function of the actual life played a certain effect of the value function, and then the further development and research of the positive role.該論文中涉及到的實(shí)際應(yīng)用主要可以分為有