高中數(shù)學 教學教研(名師研討 教學設計 數(shù)學解題 反思 總結) 蜜蜂周報 第20期

1、蜜蜂周報第 20 期 1 / 30蜜 蜂 周 報第期（2020 年月日-月日）Brain用數(shù)學思維思考世界Eye用數(shù)學眼光觀察世界Expression用數(shù)學語言表達世界蜜蜂周報第 20 期 2 / 30關于數(shù)學解題學習的幾個關鍵詞l 聯(lián)系我所解決的每一個問題都將成為一個范例,用來于解決其他問題。笛卡爾l 反思沒有任何一道題可以解決得十全十美，總剩下些工作要做，經過充分的探討總結，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。波利亞l 分類恰當?shù)貙︻}目、對解法進行分類，能讓你的解題經驗更加有序，更有結構化地在大腦里存儲，便于你解題時進行檢索，確定解題

2、思路。蜜蜂周報第 20 期 5 / 302020 年第 20 期目錄第 1 題 7 月 28 日 函數(shù)方程問題 .1第 2 題 7 月 28 日 三次不等式恒成立最值.2第 3 題 7 月 28 日 解三角形問題 .3第 4 題 7 月 29 日 從特殊到一般對蘇步青先生一個問題的變式.4第 5 題 7 月 30 日 一個比較大小的平凡題.7第 6 題 7 月 30 日 三角形最值問題 .7第 7 題 7 月 31 日 單墫老師出的一個題.9第 8 題 8 月 1 日 新人教 A 必修一的一道課后習題.12第 9 題 8 月 1 日 三道有關系的代數(shù)問題.13第 10 題 8 月 2 日 北大

3、強基計劃數(shù)學測試一題.16第 11 題 8 月 2 日 整整齊齊的“等”與“不等” .22數(shù)學解題研究會近期活動 .25蜜蜂周報第 20 期 1 / 30第 1 題 7 月 28 日 函數(shù)方程問題一、題目二、解答我記得這種題應該是在必修一，講完函數(shù)概念-表示法之后，有一種題型叫“求解析式”，會出現(xiàn)。我印象里是構造方程組，把 f（x）看成一個未知數(shù)。但我沒見過三元的，而這個題就是要構造一個三元方程組。這里有個關鍵問題，就是如何知道后面兩個自變量的形式，使其出現(xiàn)后恰好構成三元方程組，這里面有無什么規(guī)律？在解題研究會我們簡單地討論了一下：【小學生】江西宜豐蔡志敏 10:13:59新出現(xiàn)的變量帶進去啊

4、，沒有構造那么玄乎【小學生】江西宜豐蔡志敏 10:14:48解方程組，總要是幾個固定的變量之間的關系式吧【群主】河北唐山齊建民 10:15:34也是。初始條件是，f(x),f(b),然后代 b，得到 f(b），f(c),再代 c，恰好回去了，三元湊齊了。如果說靠“觀察，猜測”，這太沒準了。對比一下解法，就是這樣的：把自變量不斷帶入，直到能構成方程組為止，三元最多了。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 1 / 30蜜蜂周報第 20 期 2 / 30下面的例子是常見的，也符合這個規(guī)律。這就是所謂解題模型。第 2 題 7 月 28 日 三次不等式恒成立最值數(shù)里乾坤大

5、，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 2 / 30蜜蜂周報第 20 期 3 / 30其實這個題，我覺得里面還有些東西沒有挖掘出來。第 3 題 7 月 28 日 解三角形問題數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 3 / 30蜜蜂周報第 20 期 4 / 30這個題，我一直覺得應該有更簡單的方法，五分之四，這個數(shù)太好了，但是一直思考未果。第 4 題 7 月 29 日 從特殊到一般對蘇步青先生一個問題的變式我習慣在晚上睡覺前翻翻訂閱號，看到好的東西就收藏，或者更好的東西就轉到“文件傳輸助手”，留著以后放進周報里。29 日晚上我看到一個公眾號里提到

6、蘇步青先生的一道題，記錄如下：（藍色字體均為公眾號上的原文）題目：在一個無限大的棋盤上，每個小格子都是同樣大小的正方形。能否找到 3個格點，使它們的連線構成正三角形？講解思路：這道題屬于幾何問題，由于正方形棋盤是無限大的，故要說明能找到 3個格點滿足條件，只需要舉出一個例子即可；要說明任意 3個格點都不滿足條件，需要給出嚴格的證明。這類題目大多選擇嚴格的證明，這道題也不例外。蘇步青教授把幾何和數(shù)論結合在一起，給出了一個簡潔美觀的證明。為解題方便，假設每個小正方形的邊長是 1。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 4 / 30蜜蜂周報第 20 期 5 / 30總的

7、解題思路是：假設已經找到了 3 個點滿足條件，如下圖所示，想辦法推出矛盾。先利用矩形面積減去邊上 3 個三角形，得到中間三角形的面積；再利用正三角形的邊長得到其面積；分別考慮這兩種結果是有理數(shù)還是無理數(shù)。步驟 1：先思考第一個問題，用面積相減的方法計算中間三角形面積，得到的結果是有理數(shù)還是無理數(shù)？如上圖所示，A,B,C 這 3 個點都在矩形 CDEF 上 ，每 2 個格點的距離都是 1，故矩形 CDEF 面積一定是整數(shù)。注意到 CD 和 AD 都是整數(shù)，故ACD的面積一定是有理數(shù)，類似可得對AEB 和BCF，其面積也一定是有理數(shù)。故ABC=CDEF-ACD-AEB-BCF,由于有理數(shù)之間做加減

8、法還是有理數(shù)，因此這種方法得到的面積是有理數(shù)。步驟 2：再思考第二個問題，考慮原題目的答案。下面利用邊長 AB 計算ABC 的面積，假設 AB 的長度為 a，首先根據勾股定理，由于 AE 和 BE 都是整數(shù)，故 a2 也一定是整數(shù)，對于正三角形 ABC 來說，面積是 a2/4 乘以根號 3。這是一個典型的無理數(shù)， 這和步驟 1 得到的結論矛盾！矛盾出現(xiàn)的原因是假設不成立，所以任意 3 個格點都 構不成正三角形。這個題我以前在課本上或者什么地方見到過，是用倒角公式證明其不存在的。也是無理與有理產生矛盾。因為等邊三角形內角 60 度的正切是無理數(shù)，而任意兩邊的斜率必然是有理數(shù)，所以用倒角公式計算一

9、個內角的正切也必然是有理數(shù)，產生矛盾。今天再次看到這個題，讓我想到一個類似的問題在格點上，有沒有三邊都是整數(shù)的斜三角形？（這里的斜三角形就是一般意義上的，非直角三角形）。首先我搜索了下，以前有沒有人研究過這個問題，沒搜到，說明這是一個新問題。我感覺是沒有，怎么證明沒想出來?；蛘哒f有的話，沒找到實例。我是按照不存在產生矛盾去思考的，按照習慣的思路可以用到角公式算出，三個內角的正切都是有理數(shù)，如果三邊都是整數(shù)，那么用余弦定理可以算出三個內角的余弦也是有理數(shù)，則正弦也是有理數(shù)。再往下，不知道怎么產生矛盾了。我就把這個問題發(fā)到幾個群里。那時已經很晚了（晚上 11 點多）。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆

10、同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 5 / 30蜜蜂周報第 20 期 6 / 30后來在李啟印老師的啟發(fā)下，得到這兩個存在的例子，第一個稍微特殊了些，第二個更一般些。這就相當于解決了問題，證明了存在性！這應該與勾股數(shù)有關系。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 6 / 30蜜蜂周報第 20 期 7 / 30第 5 題 7 月 30 日 一個比較大小的平凡題是一個網友問我的，碰巧我會做。直接展開肯定是不好的。這么復雜的式子，必然要用換元，換成結構比較簡單的。換元的基礎是，代數(shù)式中重復出現(xiàn)了幾處結構相同的部分，才能換元?，F(xiàn)在是沒有的，那么怎么才能發(fā)現(xiàn)這幾處結構相

11、同的部分呢？如果展開再去觀察，難度太大了，相當于把一根針扔到沙子堆；所以要對原式進行分解因式，重新組合，產生相同的結構，實現(xiàn)換元。第 6 題 7 月 30 日 三角形最值問題這個題據說是某學校高一的考題，算是中規(guī)中矩的題目。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 7 / 30蜜蜂周報第 20 期 8 / 30數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 8 / 30蜜蜂周報第 20 期 9 / 30第 7 題 7 月 31 日 單墫老師出的一個題來自公眾號，數(shù)學望遠鏡。8 月 1 日，我看到公眾號又發(fā)了兩個新解法，補充如下：數(shù)里乾坤大，形中

12、天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 9 / 30蜜蜂周報第 20 期 10 / 30數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 10 / 30蜜蜂周報第 20 期 11 / 30看了三種解法，相當于把題目看了 3 遍，我們會自然地關注到系數(shù)：7,-5,2,根是正負 1?？吹搅耸裁?？很明顯，7-5=2 嘛！這是不是有什么規(guī)律呢。所以，我們可以猜一下： f (x) = 4x3 -3x + c ，如果有一個零點的絕對值不大于 1，那么所有零點的絕對值都不大于 1。（猜測成立?。┳詈笳f一下：很明顯，這個題和今年高考 3 卷理科壓軸那個題比較像：這個題有幾種方

13、法收錄在了第 17 期里，有興趣的老師可以去看。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 11 / 30蜜蜂周報第 20 期 12 / 30第 8 題 8 月 1 日 新人教 A 必修一的一道課后習題7 月 31 日晚上，我在一個教師群看到有一個老師提出這個問題。這個題出現(xiàn)在新人教必修 A 的第一章，1.4 充分條件和必要條件，是課后的習題，按層次看應該屬于難度較大的。第一，給出結論，這個猜測的話應該不難；第二，用初中方法來證明（這個時候學生還沒有學習余弦定理甚至三角函數(shù)也沒學習）。有老師提出了下面的方法，基本和余弦定理的證明差不多，用到的知識確實都是初中的。數(shù)里乾

14、坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 12 / 30蜜蜂周報第 20 期 13 / 30（這個和上面那個差不多）第 9 題 8 月 1 日 三道有關系的代數(shù)問題今天在公眾號“量級研究與數(shù)學學習”又看到一個單墫先生的文章，我最近一直堅持每天抄書，學習不等式，遇到過幾個題和本題有關，所以記錄下來。我遇到的問題是下面兩個，都是比較復雜的不等式問題中的一個環(huán)節(jié)：數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 13 / 30蜜蜂周報第 20 期 14 / 30數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 14 / 30蜜蜂周報第 2

15、0 期 15 / 30可以看出，這三個題的共同之處是：n 個量的乘積為 1，則由他們輪換構成的若干分式的和也為 1。證明的方法也是類似的。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 15 / 30蜜蜂周報第 20 期 16 / 30第 10 題 8 月 2 日 北大強基計劃數(shù)學測試一題下面的解法來自公眾號“數(shù)海漫游”。下面的解法來自遼寧趙春老師：開始我沒仔細看，還以為這是 nesbitt 不等式，仔細一看原來不是。它和 nesbitt 是形似質異。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 16 / 30蜜蜂周報第 20 期 17 / 30n

16、esbitt 不等式有很多解法，楊春波，程漢波兩位老師的這個文章網上很容易找到，此處不再羅列。另外，我腦子里還有一個題也與強基計劃這個題有關，我記得是一道 IMO 早期的試題，它倆才是“形似質同”。我趕緊去翻了一下哈工大劉培杰老師的這本書，果然有，我這記性還不錯。這本書是早就買的，但里面的題我會做的很少，只不過有幾個結構和結論比較簡單的題我還記得。它是 1974 年的第 16 屆 IMO 賽題。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 17 / 30蜜蜂周報第 20 期 18 / 30數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 18 / 3

17、0蜜蜂周報第 20 期 19 / 30數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 19 / 30蜜蜂周報第 20 期 20 / 30數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 20 / 30蜜蜂周報第 20 期 21 / 30可以看出來，要得到這個題的結論，并不是太難，比較難的是怎樣說明可以取到 1 到 2區(qū)間的每個數(shù)，如何嚴格地表達。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 21 / 30蜜蜂周報第 20 期 22 / 30第 11 題 8 月 2 日 整整齊齊的“等”與“不等”這個內容也與單墫老師有關。我忽然發(fā)

18、現(xiàn)單老在微信里挺火的哈哈。今天看到單墫老師發(fā)了一個公眾號文章，如下：數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 22 / 30蜜蜂周報第 20 期 23 / 30這個題難度并不大，初中生就可以做。這種“整整齊齊”的現(xiàn)象，在高中也有，我們的處理方法是，可以相加，相乘。ì =ab 2ï =íac 3 ，這個就需要相乘。ï =bc 6 î讓我們把“整整齊齊”從等式轉移到不等式：ì + ³2 2a b 2abïíb c bc a b c ab ac bc2 + 2 ³ 2 Þ 2 + 2 + 2 ³ + +ï + ³a c 2ac2 2î這種“整整齊齊”的現(xiàn)象似乎在不等式里更多，就拿 nesbitt 不等式的證明來說，很多地方都體現(xiàn)出這種整齊的結構。所謂“整齊”，用數(shù)學語言來說，就是“結構相同、相似，不等式方向相同”。數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 23 / 30蜜蜂周報第 20 期 24 / 30（解法來自楊春波老師的Nesbitt 不等式的十七種證明）數(shù)里乾坤大，形中天地寬。四海皆同道，虛擬一線牽蜜蜂周報 第 20 期 24 / 30蜜蜂周報第 20 期 25 / 30數(shù)